Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 51
|
1. Векторы. Действия над векторами.
Вектором наз. упорядоченная совокупность чисел Х
={X1
,X2
,...Xn
} вектор дан в n-мерном пространстве. Т(X1
,X2
,X3
). n=1,2,3. Геометрический вектор - направленный отрезок. |AB
|=|a
| - длинна. 2 вектора наз. коллинеарными, если они лежат на 1 прямой или ||-ных прямых. Векторы наз. компланарными, если они лежат в 1-ой плоскости или в ||-ных плоскостях. 2 вектора равны, когда они коллинеарны, сонаправленны, и имеют одинак-ую длинну. 1.умножение на число: произведение вектора А на число l наз. такой вектор В, который обладает след. св-ми: а) А
||В.
б) l>0, то А
В,
l<0, то А
¯В
. в)l>1, то А
<В
, )l<1, то А
>В
. 2. Разделить вектор на число n значит умножить его на число, обратное n: а
/n=a
*(1/n). 2.3. Декартова прямоугольная система координат. Базис.
Базисом на плоскости называется совокупность фиксированной точки и 2х неколлинеарных векторов, проведенных к ней. 4. Действия над векторами.
а
=х1
i
+y1
j
+z1
k
; b
=х2
i
+y2
j
+z2
k
l*a
=l(х1
i
+y1
j
+z1
k
)= l(х1
)i
+l (y1
)j
+l(z1)k
a
±b
=(x1
±x2
)i
+(y1
±y2
)j
+(z1
±z2
)k
ab
=x1
x2
ii
+y1
x2
ij
+x2
z1
ki
+x1
y2
ij
+y1
y2
jj
+ z1
y2
kj
+x1
z1
ik
+y1
z2
jk
+z1
z2
kk
=x1
x2
+y1
y2
+z1
z2
ii
=1; ij
=0; и т.д. скалярное произведение 2х векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов. аа
=x2
+y2
+z2
=|a
|2
a
{x,y,z}, aa
=|a
|*|a
|, то a
2
=|a
|
2
ab
=|a|*|b|*cosj а)ав
=0,<=>а
^в
, x1
x2
+y1
y2
+z1
z2
=0 б)а
||в
- коллинеарны, если , x1
/x2
=y1
/y2
=z1
/z2
5. Скалярное произведение векторов и его свойства.
-(“skala”-шкала) 2х векторов а
и в
наз. число, равное произведению длин этих векторов на cos угла между ними. (а
,в
)- скалярное произведение. а
*в
=|а
|*|в
|*cosj, j=p/2, cosp/2=0, a^b=>ab
=0. Равенство “0” скаляргного произведения необходимое и достаточное условие их перпендикулярности (ортогональности). 6. Векторное произведение 2х векторов.
левая ----- правая Тройка векторов а
,в
,с
наз. правоориентированной (правой), если с конца 3го вектора с
кратчайший поворот от 1го ко 2му вектору мы будем видеть против час. стрелки. Если кратчайший поворот от 1го ко 2му по час. стрелки - левая. Векторным произведением 2х векторов а
и в
наз. такой вектор с
, который удовлетворяет условиям: 1. |c
|=|a
|*|b
|*sinj. 2. c
^a
и c
^b
. 3. тройка а
,в
,с
-правая. 7. Смешанное произведение векторов и его свойства.
Смешанным произведением векторов наз. векторно-скалярное произведение, являющееся числом: a
*b
*c
=[a
*b
]*c
=a
*[b
*c
], где a
={ax
,ay
,az
} b
={bx
,by
,bz
} c
={cx
,cy
,cz
} Св-ва: a
*b
*c
=-b
*c
*a
2. не меняется при перестановке циклических сомножителей: a
*b
*c
=c
*a
*b
=b
*c
*a
3.а)(Геометрич. смысл) необходимым и достаточным условием компланарности 3х векторов явл. равенство a
*b
*c
=0 б)если некомпланарные вектора a
,b
,c
привести к 1 началу, то |a
*b
*c
|=Vпараллепипеда, построенного на этих векторах если a
*b
*c
>0, то тройка a
,b
,c
- правая если a
*b
*c
<0, то тройка a
,b
,c
- левая 8. Уравнение линии и поверхности.
1. Уравнение сферы. Сфера- геометрическое место точек, равноудаленных от 1ой точки, называемой центром. |OM
|=r, OM
={x-a,y-b,z-c} r2
=(x-a)2
+(y-b)2
+(z-c)2
- уравнение сферы. x2
+y2
+z2
=r2
- ур-е сферы с центром точке(0,0). F(x,y,z)=0- ур-е поверхности - ур-ю, удовлетворяющему координатам x,y,z любой точки, лежащей на поверхности. 2. Уравнение окружности r2
=(x-a)2
+(y-b)2
+(z-c)2
- ур-е окружности а=b=0, то x2
+y2
=r2
F(x,y)=0- ур-е линии на плоскости. 9. Плоскость в пространстве.
Ур-е в плоскости, проходящей через данную точку, перпендикулярно заданному вектору. M
0
M
{x-x0
,y-y0
,z-z0
} Для того, чтобы точка MÎP, необходимо и достаточно чтобы вектора N
^M
0
M
(т.е. N
*M
0
M
=0) A(x-x0
)+B(y-y0
)+С(z-z0
)=0 - ур-е плоскости, проходящей через данную точку ^вектору. 10. Общее уравнение плоскости.
Ax+By+Сz-Ax0
-By0
-Сz0
=0 -Ax0
-By0
-Сz0
=D, где D=Ax+By+Сz Ax+By+Сz+D=0 Частный случай: Если D=0, то Ax+By+Сz=0(проходит ч/з 0;0) Если A=0, то By+Сz+D=0 Если B=0, то Ax +Сz+D=0 Если C=0, то Ax+By+D=0 Если A=B=0, то Сz+D=0 Если A=C=0, то By+D=0 Если A=D=0, то By+Сz=0 Если B=D=0, то Ay+Сz=0 11. Взаимное расположение плоскостей.
N
1
,N
2
-нормальные векторы плоскости. P:A1
x+B1
y+C1
z+D1
=0 Q:A2
x+B2
y+C2
z+D2
=0 P^Q{A1
,B1
,C1
} Q^N
2
{A2
,B2
,C2
} 1)Пусть P^Q<=>N1
^N
2
A1
A2
+B1
B2
+C1
C2
=0 условие перпендикулярности P^Q. 2) Пусть P^Q<=> N
1
^N
2
A1
/A2
=B1
/B2
=C1
/C2
- Условие параллельности 2х плоскостей. A1
/A2
=B1
/B2
=C1
/C2
=D1
/D2
- Условие совпадения 2х плоскостей. 12. Каноническое уравнение прямой в пространстве.
M0
M
{x-x0
,y-y0
,z-z0
} Чтобы точка МÎпрямой(или лежала на ней) необх. и достаточно, чтобы M
0
M
||S
13. Уравнение прямой в пространстве, проходящей ч/з 2 заданные точки.
lmn S
{x2
-x1
,y2
-y1
,z2
-z1
} 14. прямая, как пересечение плоскостей. Нахождение начальной точки и направляющего вектора прямой.
P:A1
x+B1
y+C1
z+D1
=0 Q:A2
x+B2
y+C2
z+D2
=0 Общее ур-е прямой в пространстве. Для того, чтобы перейти от общего к каноническому ур-ю прямой, надо задать начальную точку и направляющий вектор: 1. Найдем начальную точку: Z=0 M0
(x0
,y0
,0), т.к. Z=0 2. Найдем направляющий вектор S
-? P^N1
{A1
,B1
,C1
} Q^N1
{A2
,B2
,C2
} S
=N1
*N2
16. Взаимное расположение прямой на плоскости.
P:A1
x+B1
y+C1
z+D1
=0^N1
{A1
,B1
} Q:A2
x+B2
y+C2
z+D2
=0^N2
{A2
,B2
} а) то б) в) Сначала запишем ур-е прямой, проходящей через заданную точку ^ заданному вектору. M0
(x0
,y0
) M0
M
{x-x0
,y-y0
} n*M0
M
=0 A(x-x0
)+B(y-y0
)=0 Ax+By-Ax0
-By0
=0 -Ax0
-By0
=C Ax+By+C=0-общее уравнение прямой на плоскости. 18.19. Каноническое ур-е прямой линии на плоскости. Ур-е прямой, проходящей ч/з 2 точки. Ур-е с угловым коэффициентом.
y-y1
=k1
(x-x1
) y=k1
x-k1
x1
+y1
y1
-k1
x1
=b y=k1
x+b ур-е прямой с угловым коэффициентом k. Теперь вид искомой прямой имеет вид: - Ур-е прямой, проходящей ч/з 2 а) S1
{l1
,m1
} S2
{l2
,m2
}, или p:y=k1
x+b1
, k1
=tgj1
q:y=k2
x+b2
, k2
=tgj2
=>tgj=tg(j2
-j1
)= =(tgj2
-tgj1
)/(1+ tgj1
tgj2
)= =(k2
-k1
)/(1+k1
k2
). б) p||q, tgj=0, k1
=k2
в)p^q,то 22. Расстояние от точки до прямой на плоскости и до плоскости в пространстве.
1. Ax+By+C=0, M0
(x0
,y0
) 2. Пусть плоскость задана ур-ем Ax+By+Cz+D=0 23. Кривые линии 2-го порядка.
Кривые 2го порядка описываются с помощью общего ур-я: Ax2
+2Bxy+Cy2
+2Dx+2Ey+F=0, где а) Каноническое ур-е эллипса Если a=b, то x2
+b2
=a2
- ур-е окружности. б) Ур-е гиперболы: x2
/a2
-y2
/b2
=1 в) ур-е параболы: y2
=2px или y=ax2
г) ур-е сферы: x2
+y2
+z2
=а2
(r2
=(x-a)2
+(y-b)2
+(z-c)2
) д) ур-е эллипса: x2
/a2
-y2
/b2
+z2
/c2
=1 24. Парабола и ее свойства.
Множество точек плоскости, координаты которых по отношению к системе декартовых координат удовлетворяет уравнению y=ax2
, где х и у - текущие координаты, а- нек. число, наз. параболой. y2
=2px-симметрично отн. оси ОХ х2
=2pу-симметрично отн. оси ОУ Точка F(p/2,0) наз. фокусом параболы, а прямая x=-p/2 - ее директриса. Любой точке М(х,у), принадлежащей параболе, расстояние до фокуса = r=p/2 Св-ва: 1. парабола предст. собой ¥ точек плоскости, равноотстающих от фокуса и от директрисы y=ax2
. 25.Эллипс и его св-ва:
Кривая второго порядка наз. эллипсом если коэффициенты А и L имеют одинаковые знаки Аx2
+Cy2
=d ур.-е наз. канонич. ур.-ем эллипса, где Точки F1
(-c,0) и F2
(c,0) - наз. фокусами эллипса а. Отношение e=с/а наз. его эксцентриситетом (0<=e<=1) Точки A1
,A2
,B1
,B2
-вершины эллипса. Св-во: 26. Гипербола и ее св-ва.
Кривая 2го порядка наз. гиперболой, если в ур-ии Ax2
+Cy2
=d, коэффициент А и С имеют противоположные знаки, т.е. А*С<0 б) Если d>0, то каноническое ур-е гиперболы примет вид: x2
/a2
-y2
/b2
=1, F1(c,o) и F2
(-c,0) - фокусы ее, e>0, e=c/a - эксцентриситет. Св-во: б) если d=0, ур-е примет вид x2
/a2
-y2
/b2
=0, получаем 2 перекрестные прямые х/а±у/b=0 в) если d<0, то x2
/a2
-y2
/b2
=-1 - ур-е сопряженной гиперболы. 27. Понятие о поверхностях 2го порядка.
Алгебраическим ур-ем 2ой степени наз. ур-е вида Ax2
+Bxy+Cy2
+Dx+ey+F=0, где A,B,C,D,e,F - действительные числа Линии, которые в системе декартовых координат определяются алгебраическим ур-ем 2ой степени наз. линиями 2го порядка. 28. Функции. Определение способа задания. Классификация функций. Основные элементарные функции.
Функция - это зависимость одной величины от другой. Если существует взаимооднозначное соответствие между переменной х одного множества и переменной у другого множества, то она называется функциональной зависимостью. y=f(x). Определение способа задания: -аналитически (y=kx+b) -графический (график) -таблично -алгоритмически (с помощью ЭВМ) Классификация функций: Элементарные:
- функции, которые получаются из основных элементарных ф-ций с помощью алгебраических действий (+,-,*,/,введение в степень). Основные элементарные ф-ции: 1. y=xn
- степенная 2. y=ax
- показательная 3. y=loga
x - логарифмическая 4. y=sinx, y=cosx - тригонометрические. Сложные:
Y=f(U), где U=j(x), Y=f[j(x)] Если ф-ция у зависит от промежуточного аргумента U, который зависит от независимой переменной х, то y=f[j(x)] называется сложным заданием х. 29. Определение пределов последовательности и ф-ции. Осн. св-ва пределов ф-ции 1ой переменной.
а) Предел последовательности: y=f(Un), где U1
,U2
,...Un
, а Un
=n/(n2
+1) limxn
=a n®¥ -e<Xn
-a<e a-e<Xn
<a+e б) Предел ф-ции: Число А называется пределом ф-ции f(x) при х®а, если для каждого, как угодно малого на период заданного числа e. -e>0, найдется такое как угодно малое на период заданного d>0, что будут выполняться неравенства: Если |x-a|<d, то |f(x)-A|<e Основные св-ва: 2. limC=C, где С- постоянная величина 3. Если a-б.м.в., то lima=0 4. предела б.б.в. не существует 5. если limy=a, то y=a+a, где a-б.м.в. 30. Основные теоремы о пределах.
1. Предел суммы = суммы пределов: x±y=(a±b)+w, то lim(x±y)=a±b=limx+limy. 2. Теорема о пределе производной: если сомножители имеют пределы, то и произведение имеет предел, равный произведению пределов сомножителей. limx=a, limy=b, то на основании 5го св-ва x=a+a y=b+b, где a и b - б.м.в. x*y=(a+a)*(b+b)=a*b+(ab+ab+ab), то сумма б.м.в. = d(дельта) xy=ab+d xy®ab, limxy=ab=limx*limy 3. Следствие: постоянная величина выноситься за знак предела. limCx=limC*limx=C*limx 4. Предел от частного = частному пределов (кроме limx/limy=0 limx/y=limx/limy, т.к. limx=a, limy=b x=a+a, y=b+b x/y=(a+a)/(b+b) 31. 1й, 2й замечательный пределы.
1
й
: limsinx/x=1, limx/sinx=1. x
®
0
lim((Sina)/a)=1 x®0 SD
OAC
<Sсектора
OAC
<SD
OCB
SD
OAC
=1/2*OC*AD, OA=OC=1, то SD
OAC
=1/2*OC*OA*Sina=1/2*Sina Sсектора
OAC
=1/2*OA*OC*a=1/2*a(т.к. OA=OC) SD
OCB
=1/2*OC*BC=1/2*OC*OC*tga=1/2*tga 1/2*Sina<1/2*a<1/2tga //*2 sina<a<tga//:sin 1<a/sina<1/cosa, =>cosa<sina/a<1, limCosa<lim((Sina)/a)<lim1, по признаку a®0 a®0 существования предела ф-ции lim((Sina)/a)=1 a®0 2ой: lim(1+1/n)n
=e»2.7183 n®¥ Зная, что 1/n=a - б.м.в., то n=1/a и x®¥a®0 lim(1+1/n)1/
a
=e a®0 32. Основные приемы нахождения пределов.
1. Подстановка: при х®х0
и х0
Îобласти определения ф-ции f(x), предел ф-ции f(x)= его частному значению при х=х0
limf(x)=f(x0
) x®x0
2. Сокращение: при х®¥ и х®х0
f(x)/g(x)=0/0, то сокращают числитель и знаменатель на множитель, стремящийся к 0. 3. уничтожение иррациональности (* числитель и знаменатель на 1 число). 4.деление на наивысшую степень х: при х®¥ и х®х0
f(x)/g(x)=0/0, то делим числитель и знаменатель на наивысшую степень. 5. сведение к известным пределам: lim((Sinx)/x)=1 x®¥ lim(1+1/n)x
=e x®¥ x=x0
+Dx, Dx=x-x0
Dy=f(x0
+Dx)-f(x0
) Ф-ция y=f(x) наз. непрерывной в точке x0
, если она определена в окрестности этой точки, а limDy=0. (б.м. приращению аргумента соответствует б.м. приращению ф-ции). limDy=lim[f(x)-f(x0
)]=limf(x)-limf(x0
)=0, то limf(x)=limf(x0
) x®x0
Ф-ция непрерывна в точке х0
, если ее предел = значению этой ф-ции в точке х0
Ф-ция явл. непрерывной на интервале, если она непрерывна в каждой его точке. 34. Признаки существования а) предела ф-ции и б) предела последовательности.
а) если все значения ф-ции f(x) заключены между значениями ф-ции j(x) и g(x), которые имеют 1 предел при х®а, то и limf(x)=A j(x)<=f(x)<=g(x), где limj(x)=А, limg(x)=А, то limf(x)=A. х®а б) Если последовательность монотонно возрастает и ограниченна сверху, то она имеет предел. Последовательность монотонно возрастает, если последующий член>предыдущего (xn
+1
>xn
) Последовательность ограничена сверху, если существует такое М, что xn
<=M. 35. Бесконечно малые величины и их св-ва:
величина называется б.м.в. в каком-то процессе, если она в этом процессе бесконечно уменьщается.(r=m/V, если V®¥, то r®0) Св-ва б.м.в.: -сумма или разность конечного числа б.м.в. есть б.м.в. (a и b-б.м.в., то a±b=б.м.в.) -произведение б.м.в. на величину ограниченную есть б.м.в. (U<=M, то a*U=б.м.в.) -произведение б.м.величин=б.м.в. -произведение б.м.в. на постоянную = б.м.в 36. Бесконечно большие величины и их св-ва.
б.б.в - величина для которой |Xn
|®¥ (при xn
=1/n, n®0, то xn
®¥) Св-ва: -величина обратная б.б.в. явл. б.м.в. (1/¥=0; 1/0=¥) -сумма б.б.в. (с одинаковым знаком) есть б.б.в. -произведение 2х б.м.величин=б.м.в. -частное от деления 2х б.б.в = неопределенность 38. Св-ва непрерывных ф-ций:в 1. Если ф-ция y=f(x) непрерывна на [a,b] и f(a)*f(b)<0, т.е. знаки f(a) и f(b) противоположны, то на (a,b) найдется хотя бы одна точка х=с, что f(c)=0 (график)-теорема Больцана-Коши. 3. Если ф-ция y=f(x) непрерывна на [a,b], то она достигает на этом отрезке minm и maxM (теорема Вейерштрасса). в точке: 1. если ф-ция f(x) и g(x) непрерывна в х0
, то их сумма, произведение, частное (при j(х0
)¹0) явл-ся ф-циями, непрерывными в х0
2. если ф-ция y=f(x) непрерывна в х0
, и f(x0
)>0, то существует окрестность х0
, в которой f(x)>0 3. если y=f(U) непрерывна в U0
, а U=j(x) непрерывна в U0
=j(x0
), то сложная ф-ция y=f[j(x)] непрерывна в х0
. 39. Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной и ее геометрический смысл.
1. ncp.
=DS/Dt, n=lim(DS/Dt), гдеDt®0 2. pcp.
=Dm/Dl, pT
=lim(Dm/Dl), гдеDl®0 Dy=f(x+Dx)-f(x), y=f(x) lim(Dy/Dx)=lim((f(x+Dx)-f(x))/Dx) Dx®0 Dx®0 Смысл производной - это скорость изменения ф-ции при изменении аргумента. y=f(x+Dx)-f(x), y=f(x). производной в точке а называется предел отношения приращения ф-ции к приращению аргумента: lim(Dy/Dx)=lim((f(x+Dx)-f(x))/Dx)=dy/dx Dx®0 Dx®0 Вычисление производной: lim(Dy/Dx)=y` Dx®0 1) если y=x, Dy=Dx, y`=x=lim(Dy/Dx)=1. 2) если y=x2
, Dy=(x+Dx)2
-x2
=x2
+2xDx+Dx2
-x2
=Dx(2x-Dx), (x2
)`=lim((Dx(2x+Dx))/Dx)=lim(2x+Dx)=2x x®0 Dx®0 Геометрический смысл производной. DMNK/tg2=Dy/Dx вычислим предел левой и правой части: limtga=lim(Dy/Dx) Dx®0 tga0
=y` a®a0
При Dx®0 секущая MN®занять положение касательной в точке M(tga0
=y`, a®a0
) Геометрический смысл производной заключается в том, что есть tg угла наклона касательной, проведенной в точке x0
. 40. Основные правила дифференцирования.
Теорема: Если f(x) и g(x) дифферен. в точке х, то: Теорема о произв. сложной функции: Если y(x)=f(u(x)) и существует f’(u) и u’(x), то существует y’(x)=f(u(x))u’(x). Теорема о произв. обратной функции. Таблица производных: 41. Дифференцирование сложных ф-ций:
Производная сложной ф-ции = произведению производной ф-ции по промежуточному аргументу и производной самого промежуточного аргумента по независимой переменной. y`=f(x)*U`,или yx
`=yU
`*Ux
`, или dy/dx=dy/dU=dU/dx Например: 42. Дифференцирование обратной ф-ции.
y=f(x), то x=j(y) - обратная ф-ция. Для дифференцируемой ф-ции с производной, не = 0, производная обратной ф-ции = обратной величине производной данной ф-ции, т.е. xy
`=1/yx
`. Dy/Dx=1/(Dy/Dx) - возьмем предел от левой и правой части, учитывая, что предел частного = частному пределов: lim(Dy/Dx)=1/(lim(Dy/Dx), т.е. yx
`=1/xy
или f`(x)=1/j`(x) Например: 43. Производные степенных и тригонометрических функций.
Основные формулы: 44. Производные обратных тригонометрических функций.
Основные формулы: Для сложных функций: 45. Производные показательных и логарифмических функций.
Основные формулы: Если z=z(x) – дифференцируемая функция от x, то формулы имеют вид: 46. Логарифмическое дифференцирование. Вывод производной степенной ф-ции.
y=ax
- показательная ф-ция, y=xn
- степенная, y=xx
- показательно-степенная. y=[f(x)]j
(
x
)
- показательно-степенная ф-ция. lny=xlnx - найдем производную от левой и правой части, считая у ф-цией х. (1/y)*y`=(lny) (x*lnx)`=x`lnx+x*(lnx)`=lnx+1 y`=y*(lnx+1)=xx
(lnx+1) Операция, которая заключается в последовательном применении к ф-ции y=f(x) сначала логарифмирование, а затем дифференцирование. Степенная ф-ция: 1.y=xn
, nlnx, y`/y=n/x=n*(x)-1
y`=y*n*(x-1
)=n*xn
*x-1
=n*xn-1
2.y=eU
, где U=sinx U`=cosx, y`=(eU
)`=eU
*U`=esinx
*cosx. 47. Производная высших порядков ф-ции 1й переменной.
y=f(x) y``=(y`)`=lim((f`(x+Dx)-f`(x))/Dx) x®0 y```=(y``)`= lim((f``(x+Dx)-f``(x))/Dx) f(n)
(x)=[f(n-1)
(x)]` 48. Производные 1,2-го порядка неявных ф-ций.
Неявной называется такая ф-ция у аргумента х, если она задана уравнением F(x,y)=0, не разрешенным относительно независимой переменной. y=f(x), y=x2
-1 - явные F(x,y)=0, a2
=x2
+y2
- неявные ф-ции. 1)a2
=x2
+y2
- найдем производную, продифференцируем, считая у - сложной ф-цией х. y`=2x+2y=0, т.к. а- постоянная y*y`=-x, y`=-x/y 2) x3
-3xy+y3
=0 3x3
-3(xy)`+3y2
*y`=0 //:3 x2
-(x`y+y`x)+y2
*y`=0 y`y2
-xy`=y-x2
y`=(y-x2
)/(y2
-x) 49. Дифференциал ф-ции и его геометрический смысл. Св-ва дифференциала.
limy=A, y=A+a limDy/Dx=y`, Dy/Dx=y`+a, Dy=y`Dx+aDx Dx®0 Dy=y`Dx+e, где e-б.м.в., величина более высокого порядка малости,, чем Dx(a), и ее можно отбросить. dy=y`Dx Дифференциалом ф-ции наз. величина, пропорциональная б.м. приращению аргумента Dх и отличающаяся от соответствующего приращения ф-ции на б.м.в. более высокого порядка малости, чем Dх. Если y=x, то dy=dx=x`Dx=Dx, dx=Dx Если y¹x, то dy=y`dx, y`=dy,dx Геометрический смысл: дифференциал - изменение ординаты касательной, проведенной к графику ф-ции в точке (x0
,f(x0
)) при изменении x0
на величину Dx Св-ва: 2. (UV)`=U`V+V`U, то (UV)`dx=V`dU+U`dV 3.d(c)=c`dx=0*dx=0 4. d(U/V)`=(V`dU-U`dV)/V2
. 50.Теорема Ролля.
51
. Теорема Лагранжа.
Если функция f(x) непрерывна на [a,b] и дефференцирована на (a,b), то сущест. т. с(a,b), такая, что: f(b)-f(a)=f’(c)(b-a). Доказательство:
применим т.Коши, взяв только g(x)=x, тогда g’(x)=1¹0. 52. Теорема Коши.
Если f(x), g(x) удовл. трем условиям: 1). f(x), g(x) непрерыв. на промеж [a,b] 2). f(x), g(x) деффер. на интервале (a,b) 3). g’(x)¹0 на интер. (a,b), то сущ. т. с
g(b)¹g(a) (неравны по теореме Ролля). 1). F(x) – непрерывна на [a,b] 2). F(x) – деффиренцирована на (a,b) 3). F(a)=0 ; F(b)=0 по теореме Ролля сущ. сÎ(a,b); F’(с)=0 53
. Необходимые и достаточные признаки монотонности ф-ции:
Если x2
>x1
, f(x2
)>f(x1
), то ф-ция монотонно возрастает Если x2
>x1
, f(x2
)<f(x1
), то ф-ция монотонно убывает Монотонность - постоянство Необходимые признаки:1)если ф-ция f(x) всюду в интервале возрастает, то ее производная в этом интервале неотрицательна (f`(x)>=0) 2)если ф-ция f(x) всюду в интервале убывает, то ее производная в этом интервале неположительная (f`(x)<=0) 3)если ф-ция f(x) всюду в интервале постоянна, то ее производная в этом интервале =0 (f`(x)=0) Достаточные признаки монотонности: 1)если f`(x) в интервале положительна, то ф-ция f(x) возрастает в этом интервале. 2)если f`(x)<0, то ф-ция f(x) возрастает в этом интервале. 3)если f`(x)=0, то ф-ция f(x)=const на интервале. x1
<a<x2
, x2
-x1
>0, x2
>x1
1. если f`(a)>0, то f(x2
)>f(x1
) 2. если f`(a)<0, то f(x2
)<f(x1
) 3. если f`(a)=0, то f(x2
)=f(x1
) 54
. Экстремумы ф-ций. Признаки существования экстремума. Наибольшее и наименьшее значение ф-ции 1й переменной.
Точка х называется точкой max ф-ции, если значение ф-ции в этой точке - наименьшее в некоторой ее окрестности. 1- локальный max 2- локальный min 3- глобальный max 4- глобальный min если tga>0, то f`(x)>0 если tga<0, то f`(x)<0 Необходимый признак экстремума:ф-ия f(x) может иметь max и min только в тех точках, в которых f`(x)=0 или не существует. Достаточный признак: точка х0
является точкой экстремума, если ее производная в этой точке меняет знак: - если с “+” на “-”, то х0
- т. max - если с “-” на “+”, то х0
- т. min 55
. Выпуклость и вогнутость линий точки перегиба.
Линия называется выпуклой, если она пересекается с любой своей секущей не более чем в 2х точках. Линия наз-ся вогнутой, если она целиком лежит по 1 сторону от касательной, проведенной в любой ее точке. Точка перегиба - точка, отделяющая выпуклый участок дуги от вогнутого. Необходимый признак выпуклости и вогнутости: если линия на интервале выпуклая, то ее 2я производная <=0; если линия на интервале вогнутая, то ее f``(x)>=0 Достаточный признак: если f``(x) всюду в интервале “-”, то линия в интервале выпуклая; если f``(x)>0, то линия вогнутая Признаки точки перегиба: чтобы X0
была т. перегиба, <=> чтобы у`` в этой точке = 0 и меняла знак при переходе х через х0
. 56. Асимптота графика ф-ции.
Асимптота - прямая, к которой график ф-ции стремится, но никогда ее не пересекает. 1) прямая х=х0
назыв-ся вертикальной асимптотой графика ф-ции f(x)=y, если при х®х0
|f(x)|®+¥ (вида x=b) 2) y=kx+b, ,y=f(x) - общее ур-е наклонной асимптоты lim[f(x)-(kx+b)]=0, f(x)=kx+b+a(б.м.в.) по св-ву x®¥пределов. разделим левую и правую части на х. Возьмем предел при х®¥ f(x)/x=k+b/x+a/x, lim(f(x)/x)=limk+lim(b/x)+lim(a/x) x®¥ , то k=lim(f(x)/x) b=lim[f(x)-kx] Если эти пределы существуют, то существует и наклонная ассимптота вида kx+b=y 3)k=lim(f(x)/x)=0, y=b - горизонтальная асимптота. 57. Предел и непрерывность ф-ции нескольких переменных.
Величина U наз-ся ф-цией переменных (x1
,x2
...xn
), если каждой, рассматриваемой в совокупности этих величин соотв-ет 1 определенное значение величины U. Пусть f(M)=M0
(x1
0
, x2
0
,... xn
0
), M(x1
, x2
,... xn
) Ф-ция f(M)=f(x1
, x2
,... xn
) имеет предел А при М0
®М, если каждому значению как угодно малого числа d(дельта) соотв-ет, как угодно малое заданное число e>0, если |M0
M
|=d, то |f(M)-A|<e Ф-ция f(M) наз-ся непрерывной в точке М0
, если б.м. приращению любого аргумента соответствует б.м. приращение ф-ции. limf(x1
0
, x2
0
,... xn
0
)=limf(x1
, x2
,... xn
) x1
0
® x1
x2
0
® x2
xn
0
® xn
58. а) Частная производная ф-ции нескольких переменных. б) Частный и полный дифференциалы.
а) рассмотрим на примере ф-ции 2х переменных x=f(x,y), точка A(x0
,y0
) Dz=f(x0
+Dx, y0
+Dy)-f(x0
,y0
) - полное приращение. Частное приращение по х (по у): DxZ=f(x0
+Dx, y)-f(x0
, y0
) DyZ=f(y0
+Dy, x)-f(x0
, y0
) Частная производная ф-ция: Полный дифференциал dZ=dx
Z+dy
Z=Z`x
dx +Z`y
dy dZ=¶Z/¶x*dx+=¶Z/¶y*dy Чтобы найти полный дифференциал ф-ции надо найти частные производные от этой ф-ции по всем независимым переменным, умножить их на дифференциал этих переменных, рез-ты сложить. 59. Производная 2го порядка ф-ции нескольких переменных. Дифференцирование сложной ф-ции 2х переменных.
Частное производной 2го порядка от ф-ции Z явл. частная производная от 1й производной: Z``XX
=(Z`x
)`x
; Z``yy
=(Z`y
)`y
Z``Xy
=(Z`x
)`y
=(Z`y
)`x
60
. Экстремумы ф-ции нескольких переменных. Необходимые и достаточные признаки экстремума ф-ции 2х переменных.
Z=f(x,y), M0
(x0
,y0
), M(x,y) Max ф-ции Z называется такое ее значение f(x0
,y0
), которое является наибольшим среди всех значений, принимаемых в некоторой окрестности точки M0
Min ф-ции Z называется такое ее значение f(x0
,y0
), которое является наименьшим среди всех значений, принимаемых в некоторой окрестности точки M0
Экстремум сущ. в тех точках, в которых частная производная ф-ции Z=0 или не существует: Если Z=f(x1
,x2
,...xn
), то ¶Z/¶xi
=0, i=1,2,...n - необходимое условие. Достаточный признак: где A= Z``XX
(x0
,y0
), C= Z``yy
(x0
,y0
), B= Z``yx
(x0
,y0
), 1) если D>0, то М0
- точка экстремума; если А<0 или С<0, то М0
- точка max; если А>0 или С>0, то М0
- точка min. 2) если D<0, то экстремума нет 3) если D=0, то вопрос о существовании экстремума остается открытым. 61. Общая схема исследования ф-ции необходима для построения графика.
Найти: -точки разрыва и интервалы, где ф-ция явл-ся непрерывной -поведение ф-ции в окрестностях точки разрыва, вертикальной асимптоты -т. пересечения графика с осями координат -симметрия графика (чет./нечет): f(-x)=x симметрична относительно осей f(-x)=-x симметрична относительно О(0,0) -периодичность -интервалы монотонности -точки экстремума -наибольшее и наименьшее значение -выпуклость, вогнутость -точки перегиба -поведение ф-ции в безконечности, наклонная и горизонтальные асимптоты
| |||||||||||||