Учебная книга: Введение в математический анализ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственный технический университет ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Учебное пособие по математике для студентов всех специальностей заочной формы обучения 2007 ФУНКЦИЯ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Основные определения и понятия Одним из основных понятий математики является число. Числа целые и дробные, как положительные, так и отрицательные, вместе с числом ноль называются рациональными числами. Рациональные числа могут быть представлены в виде конечных или бесконечных периодических дробей. Числа, которые представляются в виде бесконечных, но непериодических дробей, называются иррациональными . Совокупность всех рациональных и иррациональных чисел называется множеством действительных , или вещественных чисел. Действительные числа можно изображать точками числовой оси. Числовой осью называется бесконечная прямая, на которой выбраны: 1) некоторая точка О, называемая началом отсчёта; 2) положительное направление, указываемое стрелкой; 3) масштаб для измерения длин. Между всеми действительными числами и всеми точками числовой оси существует взаимно–однозначное соответствие , т.е. каждому действительному числу соответствует точка числовой оси и наоборот. Абсолютной величиной (или модулем ) действительного числа x называется неотрицательное действительное число ׀x ׀, определяемое следующим образом: ׀x ׀ = x , если x ≥ 0, и ׀x ׀ = –x , если x < 0. Переменной величиной называется величина, которая принимает различные численные значения. Величина, численные значения которой не меняются, называется постоянной величиной. Переменная величина называется упорядоченной , если известна область её изменения и про каждое из двух любых её значений можно сказать, какое из них предыдущее и какое последующее. Частным случаем такой величины является числовая последовательность Переменная величина называется возрастающей (убывающей ), если каждое её последующее значение больше (меньше) предыдущего. Возрастающие и убывающие переменные величины называются монотонными . Переменная величина называется ограниченной , если существует такое постоянное число M > 0, что все последующие значения переменной, начиная с некоторого, удовлетворяют условию: – M ≤ x ≤ M, т.е. ׀x ׀ ≤ M. Переменная величина y называется (однозначной) функцией переменной величины x, если каждому значению переменной величины x, принадлежащему множеству действительных чисел X, соответствует одно определённое действительное значение переменной величины y . Переменная x называется в этом случае аргументом , или независимой переменной , а множество X – областью определения функции. Запись y = f ( x ) означает, что y является функцией x . Значение функции f ( x ) при x = a обозначают через f ( a ). Область определения функции в простейших случаях представляет собой: интервал (открытый промежуток ) (a , b ), т.е. совокупность значений x , удовлетворяющих условию a < x < b ; сегмент (отрезок или замкнутый промежуток ) , т.е. совокупность значений x , удовлетворяющих условию a ≤ x ≤ b ; полуинтервал (т.е. a < x ≤ b ) или (т.е. a ≤ x < b ); бесконечный интервал (a , + ∞) (т.е. a < x < + ∞) или (– ∞, b ) (т.е. – ∞ < x < b ) или (– ∞, + ∞) (т.е. – ∞ < x < + ∞); совокупность нескольких интервалов или сегментов и т. п. Графиком функции y = f ( x ) называется геометрическое место точек плоскости xOy, координаты которых удовлетворяют уравнению y = f ( x ). Функция f ( x ) называется чётной, если для любого значения x . График чётной функции расположен симметрично относительно оси ординат. Функция f(x) называется нечётной , если для любого значения x . График нечётной функции расположен симметрично относительно начала координат. Функция f ( x ) называется периодической , если существует такое положительное число T, называемое периодом функции, что для любого значения x выполняется равенство . Наименьшим же периодом функции называется наименьшее положительное число τ, для которого f ( x + τ) = f ( x ) при любом x . Следует иметь в виду, что f ( x + k τ) = f ( x ) , где k – любое целое число. Функции задаются: 1) аналитически (в виде формулы), например, ; 2) графически (в виде графика); 3) таблично (в виде таблицы), например таблица логарифмов. Основными элементарными функциями являются следующие, аналитически заданные функции: 1. Степенная функция : , где α – действительное число. 2. Показательная функция : , где a > 0, a ≠ 1. 3. Логарифмическая функция : , где a > 0, a ≠ 1. 4. Тригонометрические функции : y = sinx , y = cosx , y = tgx , y = ctgx , y = sec x, y = cosec x. 5. Обратные тригонометрические функции : y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x, y = arcsec x , y = arccosecx . Если y является функцией от u , а u есть функция от x , то y также зависит от x . Пусть y = F(u ), u = φ(x ). Тогда y = F(φ(x )). Последняя функция называется функцией от функции , или сложной функцией. Например, y = sinu , u = . Функция y = sin ( ) есть сложная функция от x . Элементарной функцией называется функция, которая может быть задана одной формулой вида y = f ( x ) , где выражение f ( x ) составлено из основных элементарных функций и постоянных при помощи конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции. Например, y = ׀x ׀ = ; ; . Пример 1 . Найти , если . Решение . Найдём значения данной функции при x = a и x = b : , . Тогда получим Пример 2 . Определить, какая из данных функций чётная или нечётная: а) б) ; в) ; г) . Решение . а) Так как , то т.е. f (– x ) = – f ( x ). Следовательно, функция нечётная. б) Имеем , т.е. f(– x) = f(x). Следовательно, функция чётная. в) Здесь ,т.е. f (– x ) = f ( x ). Следовательно, функция чётная. г) Здесь . Таким образом, функция не является ни чётной, ни нечётной. Пример 3 . Найти область определения функции . Решение . Функция определена, если 2x – 1 ≠ 0, т.е. если . Таким образом, областью определения функции является совокупность двух интервалов: Пример 4 . Найти область определения функции . Решение . Функция определена, если x – 1 ≠ 0 и 1+ x > 0, т.е. если x ≠ 1 и x > – 1. Область определения функции есть совокупность двух интервалов: ( – 1, 1) и (1, + ∞). Пример 5. Найти область определения функции Решение. Первое слагаемое принимает вещественные значения при 1 –2x ≥ 0, а второе при . Таким образом, для нахождения области определения заданной функции необходимо решить систему неравенств: Получаем Следовательно, областью определения будет сегмент . ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ При построении графиков функций применяются следующие приёмы: а) построение «по точкам»; б) действия с графиками (сложение, вычитание, умножение графиков); в) преобразования графиков (сдвиг, растяжение). Исходя из графика функции y = f ( x ) , можно построить графики функций: 1) y = f (x – a ) – первоначальный график, сдвинутый вдоль оси Оx на величину a ; 2) y = f (x ) + b – тот же график, сдвинутый вдоль оси Oy на величину b ; 3) y = A · f (x ) – исходный график, растянутый в A раз вдоль оси Oy; 4) y = f (kx ) – тот же график, сжатый в k раз вдоль оси Ox. Таким образом, можно по графику функции y = f (x ) построить график функции вида . Рис. 1 Пример 6 . Построить график функции y = 2x + 1 + cosx . Решение . График данной функции можно построить путём сложения графиков двух функций: y = 2x + 1, y = cosx . График первой функции есть прямая, её можно построить по двум точкам, график второй функции–косинусоида(Рис. 1). Пример 7 . Построить график функции Решение . При x < 3 графиком является луч прямой, а при x ≥ 3 – ветвь параболы. Искомый график изображен на рис. 2. Рис. 2 Пример 8 . Построить график функции y = 2 sin (2x – 1) или Решение . Здесь Исходный график y = sinx. Затем строим график функции y = sin 2x путём сжатия вдоль оси абсцисс в два раза. После этого строим график функции путём сдвига вправо и, наконец, искомый график функции y = 2 sin (2x – 1) путём растяжения вдоль оси ординат графика (3) в два раза (рис. 3). Рис.3 ПРЕДЕЛЫ Число а называется пределом последовательности если для всякого сколь угодно малого положительного числа ε найдётся такое положительное число N, что при n > N. Число A называется пределом функции f(x) при x → a , если для любого сколь угодно малого ε > 0 найдётся такое δ > 0, что ׀f ( x ) – A׀ < ε при . где M – произвольное положительное число . В этом случае функция f ( x ) называется бесконечно большой величиной при x → a . величиной при x → a . Если x < a и x → a , то условно пишут x → a – 0; если x > a и x → a , то пишут x → a + 0. делом функции f (x ) в точке a . Практическое вычисление пределов основывается на следующих теоремах. 4) 5) при ( ) Используются также первый и второй замечательные пределы: 1) 2) Логарифм числа x по основанию e называется натуральным логарифмом и обозначается lnx . При решении примеров полезно иметь в виду следующие равенства: Пример 9 . Показать, что при n →∞ последовательность имеет пределом число 2. Решение . Здесь n –й член последовательности . Следовательно, . Зададим заранее положительное число ε. Выберем n настолько большим, что будет выполняться неравенство 1/n < ε. Для этого достаточно принять n > 1/ε. При таком выборе n будем иметь . Следовательно, . Пример 10 . Показать, что при n → ∞ последовательность 7/3, 10/5, 13/7, . . . , (3n + 4) /(2n + 1), . . . имеет пределом число 3/2. Решение . Здесь 3/2 = (3n + 4) /(2n + 1) – 3/2 = 5/ . Определим, при каком значении n выполняется неравенство 5/ ; так как 2(2n + 1) > 5/ε, то n > 5/4ε – 1/2. Положив ε = 0,1, заключаем, что неравенство выполняется при n > 12 (например, при n = 13). Неравенство выполняется при n > 124,5 (например, при n = 125). Неравенство выполняется при n > 1249,5 (например, при n = 1250). Пример 11 . Решение . Так как x → 4, то числитель дроби стремится к числу 5 · 4 + 2 = 22, а знаменатель к числу 2 · 4 + 3 = 11. Пример 12 . Решение. Числитель и знаменатель дроби безгранично возрастают при x → ∞. В таком случае говорят, что здесь имеет место неопределённость вида . Разделив на x числитель и знаменатель дроби, получаем Пример 13 . Решение . Здесь числитель и знаменатель дроби стремятся к нулю при x → 3 (принято говорить, что получается неопределённость вида . Пример 14 . Решение . Разложим на множители числитель и знаменатель дроби: Пример 15 . Решение . Имеем Числитель дроби стремится к 300, а знаменатель стремится к нулю, т.е. является бесконечно малой величиной, следовательно, рассматриваемая дробь –бесконечно большая величина и Пример 16 . Решение . Умножим числитель и знаменатель дроби на сумму : Пример 17 . Решение . Положим , тогда Пример 18 . Решение . Имеем Пример 19 . Решение . Имеем Здесь мы воспользовались результатом предыдущего примера, приняв Пример 20 . Решение . Разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень x , т.е. на : Пример 21 . Решение . Разделим числитель и знаменатель на : Пример 22 . Решение . Умножим и разделим рассматриваемое выражение на : Пример 23. Решение . Делением числителя дроби на знаменатель выделим целую часть: Таким образом, так как то Приняв во внимание, что Пример 24 . Найти левый и правый пределы функции при x → 3. Решение . Пример 25 . Найти левый и правый пределы функции при x → a . Решение . НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ Функция f(x) называется непрерывной в точке а , если: 1) эта функция определена в некоторой окрестности точки а ; 2) существует ; 3) этот предел равен значению функции в точке а , т.е. Обозначая (приращение аргумента) и (приращение функции), можно условие непрерывности записать так: тогда, когда в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции. Если функция непрерывна в каждой точке некоторой области (интервала, сегмента и т.п.), то она называется непрерывной в этой области . Точка а , принадлежащая области определения функции или являющаяся граничной для этой области, называется точкой разрыва , если в этой точке нарушается условие непрерывности функции. Если существуют конечные пределы: причём не все три числа равны между собой, то а называется точкой разрыва I рода . В частности, если левый и правый пределы функции в точке а равны между собой: , но не равны , то а называется устранимой точкой разрыва . Точки разрыва, не являющиеся точками разрыва I рода, называются точками разрыва II рода . В точках разрыва II рода не существует хотя бы один из односторонних пределов. Сумма и произведение конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная. Частное от деления двух непрерывных функций есть функция непрерывная во всех точках, где делитель не равен нулю. Пример 26 . Решение . Находим Таким образом, функция при не имеет ни левого, ни правого конечного предела. Следовательно, является точкой разрыва II рода (рис. 4). Пример 27 . Решение . Итак, при функция имеет левый и правый конечные пределы, причём эти пределы различны. Следовательно, является точкой разрыва I рода. Рис. 4 Рис. 5 Разность между правым и левым пределом в точке разрыва I рода (рис. 5). Пример 28 . Решение . В точке функция не определена, так как, выполнив может быть сокращена на , так как . Следовательно, при Легко видеть, что Таким образом, при функция имеет устранимый разрыв. Он будет устранён, если условиться, что при при всех значениях x , не исключая и . В этом случае графиком функции будет прямая линия . Пример 29 . Доказать, что функция непрерывна в точке . Решение . Находим . Значит, функция непрерывна в точке . Пример 30 . Исследовать на непрерывность функцию и изобразить график функции в окрестностях точки разрыва. Решение . Знаменатель при обращается в ноль, и значит, при не существует. Следовательно, точка разрыва функции. Для определения типа разрыва надо найти пределы функции слева и справа при . Таким образом, пределы функции слева и справа при равны между собой, но в точке функция не определена, значит, имеем устранимый разрыв. График функции в окрестности точки разрыва изображён на рис. 6 Рис. 6 Доопределив функцию в точке , положив , получим непрерывную функцию