Кратные интегралы Министерство образования и науки Российской Федерации По дисциплине: Высшая математика (Основы линейного программирования) На тему: КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Выполнил: ______________ Преподаватель:___________ Дата ___________________ Оценка _________________ Подпись ________________ ВОРОНЕЖ 2008 Содержание 1 Кратные интегралы 1.1 Двойной интеграл 1.2 Тройной интеграл 1.3 Кратные интегралы в криволинейных координатах 1.4 Геометрические и физические приложения кратных интегралов 2 Криволинейные и поверхностные интегралы 2.1 Криволинейные интегралы 2.2 Поверхностные интегралы 2.3 Геометрические и физические приложения Список используемой литературы 1 Кратные интегралы 1.1 Двойной интеграл Рассмотрим в плоскости Оху замкнутую область D, ограниченную линией L. Разобьем эту область какими-нибудь линиями на п частей , а соответствующие наибольшие расстояния между точками в каждой из этих частей обозначим d1 , d2 , ..., dn . Выберем в каждой части точку Рi . Пусть в области D задана функция z = f(x, y). Обозначим через f(P1 ), f(P2 ),…, f(Pn ) значения этой функции в выбранных точках и составим сумму произведений вида f(Pi )ΔSi : , (1) называемую интегральной суммой для функции f(x, y) в области D. Если существует один и тот же предел интегральных сумм (1) при и , не зависящий ни от способа разбиения области D на части, ни от выбора точек Pi в них, то он называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области D и обозначается . (2) Вычисление двойного интеграла по области D, ограниченной линиями x = a, x = b( a < b ), где φ1 (х) и φ2 (х) непрерывны на [a, b] (рис. 1) сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов, или так называемого двукратного интеграла: Рис. 1 = (3) 1.2 Тройной интеграл Понятие тройного интеграла вводится по аналогии с двойным интегралом. Пусть в пространстве задана некоторая область V, ограниченная замкнутой поверхностью S. Зададим в этой замкнутой области непрерывную функцию f(x, y, z). Затем разобьем область V на произвольные части Δvi , считая объем каждой части равным Δvi , и составим интегральную сумму вида , (4) Предел при интегральных сумм (11), не зависящий от способа разбиения области V и выбора точек Pi в каждой подобласти этой области, называется тройным интегралом от функции f(x, y, z) по области V: . (5) Тройной интеграл от функции f(x,y,z) по области V равен трехкратному интегралу по той же области: . (6) 1.3 Кратные интегралы в криволинейных координатах Введем на плоскости криволинейные координаты, называемые полярными. Выберем точку О (полюс) и выходящий из нее луч (полярную ось). Рис. 2 Рис. 3 Координатами точки М (рис. 2) будут длина отрезка МО – полярный радиус ρ и угол φ между МО и полярной осью: М(ρ,φ). Отметим, что для всех точек плоскости, кроме полюса, ρ > 0, а полярный угол φ будем считать положительным при измерении его в направлении против часовой стрелки и отрицательным – при измерении в противоположном направлении. Связь между полярными и декартовыми координатами точки М можно задать, если совместить начало декартовой системы координат с полюсом, а положительную полуось Ох – с полярной осью (рис. 3). Тогда x=ρcosφ, у=ρsinφ . Отсюда , tg . Зададим в области D, ограниченной кривыми ρ=Φ1 (φ) и ρ=Φ2 (φ), где φ1 < φ < φ2 , непрерывную функцию z = f(φ, ρ) (рис. 4). Рис. 4 Тогда (7) В трехмерном пространстве вводятся цилиндрические и сферические координаты. Цилиндрические координаты точки Р(ρ,φ,z) – это полярные координаты ρ, φ проекции этой точки на плоскость Оху и аппликата данной точки z (рис.5). Рис.5 Рис.6 Формулы перехода от цилиндрических координат к декартовым можно задать следующим образом: x = ρcosφ, y = ρsinφ, z = z. (8) В сферических координатах положение точки в пространстве определяется линейной координатой r – расстоянием от точки до начала декартовой системы координат (или полюса сферической системы), φ – полярным углом между положительной полуосью Ох и проекцией точки на плоскость Оху, и θ – углом между положительной полуосью оси Оz и отрезком OP (рис.6). При этом Зададим формулы перехода от сферических координат к декартовым: x = rsinθcosφ, y = rsinθsinφ, z = rcosθ. (9) Тогда формулы перехода к цилиндрическим или сферическим координатам в тройном интеграле будут выглядеть так: , (10) где F1 и F2 – функции, полученные при подстановке в функцию fвместо x, y, z их выражений через цилиндрические (8) или сферические (9) координаты. 1.4 Геометрические и физические приложения кратных интегралов 1) Площадь плоской области S: (11) Пример 1. Найти площадь фигуры D, ограниченной линиями у = 2, у = 5. Решение. Эту площадь удобно вычислять, считая у внешней переменной. Тогда границы области задаются уравнениями и где вычисляется с помощью интегрирования по частям: Следовательно, 2) Объем цилиндроида, то есть тела, ограниченного частью поверхности S:z = f(x,y) , ограниченной контуром L, проекцией D этой поверхности на плоскость Оху и отрезками, параллельными оси Оz и соединяющими каждую точку контура L с соответствующей точкой плоскости Оху: (12) 3) Площадь части криволинейной поверхности S, заданной уравнением z = f(x,y), ограниченной контуром L: (13) где D – проекция S на плоскость Оху. 4) Момент инерции относительно начала координат О материальной плоской фигуры D: (14) Пример 2. Найти момент инерции однородной круглой пластинки (x – a)2 + (y – b)2 < 4b2 относительно начала координат. Решение. В силу однородности пластинки положим ее плотность γ(х,у) = 1. Центр круга расположен в точке C(a, b), а его радиус равен 2b. Уравнения границ пластинки имеют вид Вычислим каждый из полученных интегралов отдельно. Для вычисления интеграла I1 сделаем замену: при x = a – 2b при x = a + 2b Для вычисления интеграла I2 преобразуем подынтегральную функцию по формуле разности кубов: Тогда Следовательно, Моменты инерции фигуры D относительно осей Ох и Оу: (15) 5) Масса плоской фигуры D переменной поверхностной плотности γ = γ (х, у): (16) Пример 3. Найти массу пластинки D плотности γ = ух3 , если Решение. Координаты центра масс плоской фигуры переменной поверхностной плотности γ = γ (х, у): (17) Пример 4. Найти центр тяжести однородной пластины D, ограниченной кривыми у2 = ах и Решение. Так как пластина однородна, т.е. ее плотность постоянна, то можно принять ее за единицу. Тогда Найдем массу пластины, а для этого определим абсциссу точки пересечения ограничивающих ее линий: Соответственно 6) Объем тела V: (18) Пример 5. Найти объем тела V, ограниченного поверхностями Решение. Найдем проекцию тела на плоскость Оху (при этом заметим, что плоскость проектируется на эту плоскость в виде прямой х = 0): Определим абсциссу точки пересечения кривых у = х2 и х + у = 2: посторонний корень. Тогда, используя формулу (18), получаем: 7) Масса тела V плотности γ = γ (x, y, z): (19) 8) Моменты инерции тела V относительно координатных осей и начала координат: (20) (21) где γ (х, y, z) – плотность вещества. Статические моменты тела относительно координатных плоскостей Oyz, Oxz, Oxy: (22) 9) Координаты центра масс тела: II . Криволинейные и поверхностные интегралы 2.1 Криволинейные интегралы Рассмотрим на плоскости или в пространстве кривую L и функцию f, определенную в каждой точке этой кривой. Разобьем кривую на части Δsi длиной Δsi и выберем на каждой из частей точку Mi . Назовем d длину наибольшего отрезка кривой: . Криволинейным интегралом первого рода от функции f по кривой L называется предел интегральной суммы , не зависящий ни от способа разбиения кривой на отрезки, ни от выбора точек Mi : (24) Если кривую L можно задать параметрически: x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t), t0 ≤ t ≤ T, то способ вычисления криволинейного интеграла первого рода задается формулой (25) В частности, если кривая L задана на плоскости явным образом: у=φ(х), где х1 ≤ х ≤ х2 , формула (40) преобразуется к виду: . (26) Теперь умножим значение функции в точке Mi не на длину i-го отрезка, а на проекцию этого отрезка, скажем, на ось Ох, то есть на разность xi – xi - 1 = Δxi . Если существует конечный предел при интегральной суммы , не зависящий от способа разбиения кривой на отрезки и выбора точек Mi , то он называется криволинейным интегралом второго рода от функции f(M) по кривой L и обозначается . (27) Подобным образом можно определить и криволинейные интегралы 2-го рода вида Если вдоль кривой L определены функции P(M)=P(x, y, z), Q(M) = Q(x, y, z), R(M) = R(x, y, z), которые можно считать компонентами некоторого вектора , и существуют интегралы , тогда их сумму называют криволинейным интегралом второго рода (общего вида) и полагают . Если кривая L задана параметрическими уравнениями x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t), α ≤ t ≤ β , где φ, ψ, χ – непрерывно дифференцируемые функции, то . (28) Связь между двойным интегралом и криволинейным интегралом 2-го рода задается формулой Грина: (29) где L – замкнутый контур, а D – область, ограниченная этим контуром. Необходимыми и достаточными условиями независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования являются: . (30) При выполнении условий (30) выражение Pdx + Qdy +Rdzявляется полным дифференциалом некоторой функции и. Это позволяет свести вычисление криволинейного интеграла к определению разности значений и в конечной и начальной точках контура интегрирования, так как При этом функцию и можно найти по формуле (31) где (x0 , y0 , z0 ) – точка из области D, aC – произвольная постоянная. 2.2 Поверхностные интегралы Рассмотрим некоторую поверхность S, ограниченную контуром L, и разобьем ее на части S1 , S2 ,…, Sп (при этом площадь каждой части тоже обозначим Sп ). Пусть в каждой точке этой поверхности задано значение функции f(x, y, z). Выберем в каждой части Si точку Mi (xi , yi , zi ) и составим интегральную сумму Если существует конечный предел при этой интегральной суммы, не зависящий от способа разбиения поверхности на части и выбора точек Mi , то он называется поверхностным интегралом первого рода от функции f(M) = f(x, y, z) по поверхности S и обозначается . (32) Если поверхность S задается явным образом, то есть уравнением вида z = φ(x, y), вычисление поверхностного интеграла 1-го рода сводится к вычислению двойного интеграла: (33) где Ω – проекция поверхности S на плоскость Оху. Разобьем поверхность Sна части S1 , S2 ,…, Sп , выберем в каждой части Si точку Mi (xi , yi , zi ), и умножим f(Mi ) на площадь Di проекции части Si на плоскость Оху. Если существует конечный предел суммы , не зависящий от способа разбиения поверхности и выбора точек на ней, то он называется поверхностным интегралом второго рода от функции f(M) по выбранной стороне поверхности S и обозначается (34) Подобным образом можно проектировать части поверхности на координатные плоскости Оxzи Оyz. Получим два других поверхностных интеграла 2-го рода: и . Рассмотрев сумму таких интегралов по одной и той же поверхности соответственно от функций P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z), получим поверхностный интеграл второго рода общего вида: (35) Если D, D΄ и D΄΄ - проекции поверхности S на координатные плоскости Оху, Oxz и Oyz, то (36) Связь между тройным интегралом по трехмерной области V и поверхностным интегралом 2-го рода по замкнутой поверхности S, ограничивающей тело V, задается формулой Гаусса-Остроградского: (37) где запись «S+ » означает, что интеграл, стоящий справа, вычисляется по внешней стороне поверхности S. Формула Стокса устанавливает связь между поверхностным интегралом 1-го рода по поверхности σ и криволинейным интегралом 2-го рода по ограничивающему ее контуру λ с учетом ориентации поверхности: (38) 2.3 Геометрические и физические приложения 1) Длина кривой. Если подынтегральная функция f(x, y, z) ≡ 1, то из определения криволинейного интеграла 1-го рода получаем, что в этом случае он равен длине кривой, по которой ведется интегрирование: (39) 2) Масса кривой. Считая, что подынтегральная функция γ (x, y, z) определяет плотность каждой точки кривой, найдем массу кривой по формуле (40) Пример 6. Найти массу кривой с линейной плотностью заданной в полярных координатах уравнением ρ = 4φ, где Решение. Используем формулу (40) с учетом того, что кривая задана в полярных координатах: 3) Моменты кривой l: - (41) - статические моменты плоской кривой l относительно осей Ох и Оу; - (42) - момент инерции пространственной кривой относительно начала координат; - (43) - моменты инерции кривой относительно координатных осей. 4) Координаты центра масс кривой вычисляются по формулам . (44) 5) Работа силы , действующей на точку, движущуюся по кривой (АВ): , (45) Пример 7. Вычислить работу векторного поля вдоль отрезка прямой от точки А(-2;-3;1) до точки В(1;4;2). Решение. Найдем канонические и параметрические уравнения прямой АВ: 6) Площадь криволинейной поверхности, уравнение которой z = f(x, y), можно найти в виде: (46) (Ω – проекция S на плоскость Оху). 7) Масса поверхности (47) Пример 8. Найти массу поверхности с поверхностной плотностью γ = 2z2 + 3. Решение. На рассматриваемой поверхности Тогда Проекцией D этой поверхности на координатную плоскость Оху является полукольцо с границами в виде дуг концентрических окружностей радиусов 3 и 4. Применяя формулу (47) и переходя к полярным координатам, получим: 8) Моменты поверхности: (48) статические моменты поверхности относительно координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz; (49) - моменты инерции поверхности относительно координатных осей; - (50) - моменты инерции поверхности относительно координатных плоскостей; - (51) - момент инерции поверхности относительно начала координат 9) Координаты центра масс поверхности: . (52) Список используемой литературы 1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, 1999. 2. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. М.: Наука, 2000. 3. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Математический анализ. М.: Наука, 1999. 4. Смирнов В.И. Курс высшей математики.- Т.2. М.: Наука, 2005. 5. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М.: Наука, 2001. 6. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. – Т.2. М.: Наука, 2001. 7. Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа (под редекцией А.В.Ефимова и Б.П.Демидовича). – Т.2. М.: Наука, 2004. 8. Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике. М.: Наука, 2003. 9. Титаренко В.И., Выск Н.Д. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Теория поля. М.: МАТИ, 2006.