Эконометрическое моделирование расчет коэффициентов корреляции и регрессии, анализ одномерного МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА СТАТИСТИКИ ПО ЭКОНОМЕТРИКЕ Москва 2008 Задача №1. Эконометрическое моделирование стоимости квартир в московской области Таблица 1 - Исходные данные для эконометрического моделирования стоимости квартир Y X1 X2 X3 Цена квартиры Город области Число комнат в квартире Общая площадь квартиры 115 0 4 70,4 85 1 3 82,8 69 1 2 64,5 57 1 2 55,1 184,6 0 3 83,9 56 1 1 32,2 85 0 3 65 265 0 4 169,5 60,65 1 2 74 130 0 4 87 46 1 1 44 115 0 3 60 70,96 0 2 65,7 39,5 1 1 42 78,9 0 1 49,3 60 1 2 64,5 100 1 4 93,8 51 1 2 64 157 0 4 98 123,5 1 4 107,5 55,2 0 1 48 95,5 1 3 80 57,6 0 2 63,9 64,5 1 2 58,1 92 1 4 83 100 1 3 73,4 81 0 2 45,5 65 1 1 32 110 0 3 65,2 42,1 1 1 40,3 135 0 2 72 39,6 1 1 36 57 1 2 61,6 80 0 1 35,5 61 1 2 58,1 69,6 1 3 83 250 1 4 152 64,5 1 2 64,5 125 0 2 54 152,3 0 3 89 Принятые в таблице обозначения: Y – цена квартиры – это зависимая переменная (тыс. долл.). В качестве независимых, объясняющих переменных выбраны Х1 – город области: 1 – Подольск, 0 – Люберцы; Х2 – число комнат в квартире; Х3 – общая площадь квартиры, кв. м. 1) Расчет матрицы парных коэффициентов корреляции; оценка статистической значимости коэффициентов корреляции. Для вычисления матрицы парных коэффициентов корреляции используем инструмент Корреляция (Анализ данных в Excel) Таблица 2 – Матрица парных коэффициентов корреляции Цена квартиры Город области Число комнат в квартире Общая площадь квартиры Цена квартиры 1 Город области -0,403 1 Число комнат в квартире 0,688 -0,155 1 Общая площадь квартиры 0,846 -0,082 0,806 1 Анализ матрицы парных коэффициентов корреляции показывает, что зависимая переменная (цена квартиры) имеет тесную связь с общей площадью квартиры (ryx3=0,846) и с числом комнат в квартире. Оценку статистической значимости коэффициентов корреляции выполняем с использованием t-критерия Стьюдента. Фактическое значение этого критерия определяем по формуле (1): (1) Критическое значение t-статистики Стьюдента при уровне значимости 0,05 и числе степеней свободы 38: tрасч ≈ 2,0244 Таблица 3 tнабл Y-X1 2,717131 Y-X2 5,847482 0,967211 Y-X3 9,762849 0,509262 8,393933 Из таблицы (3) видно что для всех коэффициентов матрицы tнабл > tрасч, следовательно все коэффициенты корреляции статистически значимы. Между параметрами Y и X3 наиболее тесная статистическая взаимосвязь. 2) Построение поля корреляции результативного признака и наиболее тесно связанного с ним фактора. Поле корреляции имеет вид, приведенный на рис.1. Вытянутость облака точек на диаграмме рассеяния вдоль наклонной прямой позволяет сделать предположение, что существует некоторая объективная тенденция прямой линейной связи между значениями переменных Х3 и Y. 3) Расчет параметров линейной парной регрессии для каждого фактора Х. Для расчета коэффициентов регрессии используем инструмент регрессия (Анализ данных в Excel) Коэффициенты Y-пересечение 117,504 X1 -41,484 Коэффициенты Y-пересечение 13,212 X2 33,516 Коэффициенты Y-пересечение -13,109 X3 1,543 Модели линейной регрессии будут иметь вид: для Х1 - Y = 117,504 – 41,484 X1 для Х2 - Y = 13,212 + 33,516 X2 для Х3 - Y = -13,109 + 1,543 X3 4) Оценка качества каждой модели через коэффициент детерминации, средней ошибки аппроксимации и F-критерия Фишера. Выбор лучшей модели. Модель Х1: R2 = 0,163; = 18,259%; F = 7,383. Коэффициент детерминации равен 0,163, он показывает, что около 16,3% вариаций зависимой переменной учтено в модели и обусловлено влиянием включенных факторов, т.е. цена квартиры только на 16,3% зависит от города. Критерий Фишера равен 7,383. Табличное значение (при k1=5, k2=40-5-1=34 и а=0,05) равно 2,48. Отсюда F>Fтабл. Это означает, что уравнение регрессии с вероятностью 0,95 , следует признать адекватным. Средняя ошибка аппроксимации = 18,259%, т.е расчетные значения отличаются от фактических значений на 18,26 %. Модель Х2: R2 = 0,474; = 9,053%; F = 9,217. Коэффициент детерминации равен 0,474. Т.е. цена квартиры на 47,4% зависит от числа комнат в квартире. Критерий Фишера равен 9,217. Табличное значение (при k1=5, k2=40-5-1=34 и а=0,05) равно 2,48. Отсюда F>Fтабл. Это означает, что уравнение регрессии с вероятностью 0.95 95 следует признать адекватным. Средняя ошибка аппроксимации = 9,053 , т.е расчетные значения отличаются от фактических значений на 9,05%. Модель Х3: R2 = 0,715; = 7,452%; F = 95,313. Коэффициент детерминации равен 0,715. Т.е. цена квартиры на 71,5% зависит от общей площади квартиры. Критерий Фишера равен 95,313. Табличное значение (при k1=5, 2=40-5-1=34 и а=0,05) равно 2,48. Отсюда F>Fтабл. Это означает, что уравнение регрессии с вероятностью 0,95 следует признать адекватным. Средняя ошибка аппроксимации = 7,452% , т.е расчетные значения отличаются от фактических значений на 7,45 %. 7,45% - хороший уровень точности модели. Исходя из полученных данных, делаем вывод, что наилучшая модель – модель Х3: Y = -13,109 + 1,543 X3 5) Прогнозирование среднего значения показателя при уровне значимости , если прогнозное значения фактора составит 80% от его максимального значения. Прогнозирование осуществим для модели Х3 Х3max = 169,5 Xпрогноз = = 135,6 из уравнение регрессии находим Yпрогноз : Yпрогноз = -13,109 + Xпрогноз = =196,122 Изобразим графически полученные величины (Рис.3.): 6) Построение модели формирования цены квартиры за счёт значимых факторов. Экономическая интерпретация коэффициентов модели регрессии. В таблице (4) в первом столбце указан номер модели, во втором независимые переменные, в третьем столбце содержатся коэффициенты уравнения, а в четвертом t-статистика. Таблица 4 Модель Независимые переменные Коэффициенты t-статистика 1 (tтабл =2,012894) Y 11,69225872 1,077832949 X1 -35,17686233 -4,884306518 X2 -3,283285149 -0,571843303 X3 1,590356124 7,45908944 2 (tтабл =1,96495) Y 10,25481 0,980733972 X1 -34,558 -4,898238752 X3 1,492126 11,9234164 Уравнение регрессии зависимости цены квартиры от города области и общей площади квартиры, полученное на последнем шаге, можно записать в следующем виде y = 10,255 - 34,558Х1 + 1,492Х3 Коэффициенты уравнения регрессии показывают, что в Подольске цена квартиры меньше, чем в Люберцах на 34,558 тыс. долл., а при увеличении общей площади на один квадратный метр цена квартиры увеличится на 1,492 тыс. долл. 7)Оценка качества построенной модели. Оценка влияния значимых факторов на результат с помощью коэффициентов эластичности,  - и  - коэффициентов Сравним индекс корреляции R и коэффициент детерминации R2 полученной модели с однофакторной моделью. Таблица 5 Коэффициент корреляции R Коэффициент детерминации R2 однофакторная модель 0,846 0,715 двухфакторная модель 0,909 0,827 Из таблицы (5) видно, что качество новой модели лучше предыдущей однофакторной, т.к. коэффициенты ближе к единице. Теперь оценим влияние значимых факторов на результат с помощью коэффициентов эластичности, - коэффициентов с помощью формул: , и , где 1) = = -0,212 = Отсюда видно, что при изменении Х1 на 1% значение Y уменьшится на 21,2%. А при изменении Х3 на 1% значение Y увеличится на 110,3%. 2) Найдем коэффициенты β для параметра Х1 и Х3 . Сначала вычислим среднеквадратические отклонения: = = = Тогда: = = Анализ полученных данных показывает, что при увеличении Х1 на 0,5006 цена квартиры уменьшится на 0,336*51,492 = 17,301 тыс. долл. А при увеличении общей площади на 28,225 м2 Цена квартиры увеличится на 0,817*51,492 = 42,07 тыс. долл. 3) Вычислим коэффициенты Δ для параметров Х1 и Х3: = -0,403 * (-0,336) / 0,827 = 0,164 = 0,846 * 0,817 / 0,827 = 0,836 Из полученных данных мы видим, что доля влияния фактора город (Х1) в суммарном влиянии всех факторов составляет 0,164 или 16,4%, тогда как доля влияния фактора общая площадь – 0,836 или 83,6%. Задача №2. Исследование динамики экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда Таблица 6– Исходные данные t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 yt 20 27 30 41 45 51 51 55 61 1. Выявление аномальных наблюдений Построим график временного ряда Для выявления аномальных наблюдений воспользуемся методом Ирвина. Для всех наблюдений вычисляем величину по формуле: , Где , Результаты расчетов по методу Ирвина приведены в таблице (6) Таблица 6 t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 yt 20 27 30 41 45 51 51 55 61 - 0,502 0,215 0,789 0,287 0,431 0 0,287 0,431 По результатам расчетов аномальных наблюдений нет, т.к. расчетные величины не превышают табличных значений. 2. Построение линейной модели Таблица 7 - Промежуточные расчеты параметров линейной модели t ( )( ) 1 20 -4 16 -22,333 89,332 22,333 -2,333 2 27 -3 9 -15,333 45,999 27,333 -0,333 3 30 -2 4 -12,333 24,666 32,333 -2,333 4 41 -1 1 -1,333 1,333 37,333 3,666 5 45 0 0 2,667 0 42,333 2,666 6 51 1 1 8,667 8,667 47,333 3,666 7 51 2 4 8,667 17,334 52,333 -1,333 8 55 3 9 12,667 38,001 57,333 -2,333 9 61 4 16 18,667 74,668 62,333 -1,333 42,333 60 300 0 Рассчитываем параметры модели: , В результате расчетов получаем, что кривая роста зависимости спроса на кредитные ресурсы финансовой компании от времени имеет вид: Y(t)=17,333+5t 3. Оценка адекватности построенной модели Проверку независимости осуществляем с помощью dw-критерия Дарбина-Уотсона по формуле: Для вычисления коэффициента Дарбина-Уотсона построим вспомогательную таблицу (8): Таблица 8 t Точки поворота 1 -2,333 5,443 2 -0,333 * 0,111 4 3 -2,333 * 5,443 4 4 3,666 * 13,440 35,988 5 2,666 * 7,108 1 6 3,666 * 13,440 1 7 -1,333 1,777 24,99 8 -2,333 * 5,443 1 9 -1,333 1,777 1 0 6 53,982 72,978 Так как dw попало в интервал от d2 до 2, то по данному критерию можно сделать вывод о выполнении свойства независимости. Это означает, что в ряде динамики не имеется автокорреляции, следовательно, модель по этому критерию адекватна. Поверку случайности проводим на основе критерия поворотных точек по формуле, количество поворотных точек р при n=9 равно 6: р> Неравенство выполняется (6>2). Следовательно, свойство случайности выполняется. Модель по этому критерию адекватна. Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения определяем с помощью RS-критерия: RS=(emax -emin )/S Расчетное значение RS=2,86 в интервал (2,7 – 3,7) попадает. Следовательно, по данному критерию модель адекватна. Вывод: модель статистически адекватна. 4) Оценка точности модели Оценку точности модели проводим на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации. Получаем =5,75% Вывод: Еотн =5,75% - хороший уровень точности модели. 5) Прогноз спроса на следующие две недели. Для вычисления точечного прогноза в построенную модель подставляем соответствующие значения фактора t=n+k: Для построения интервального прогноза рассчитываем доверительный интервал. При уровне значимости 0,3, доверительная вероятность равна 70%, а критерий Стьюдента равен 1,119: U(1)=3.841, U(2)=4.065, Далее вычисляем верхнюю и нижнюю границы прогноза. Таблица 9 n+k U(k) Прогноз Верхняя граница Нижняя граница 10 U(1)=3,841 67,333 71,174 63,492 11 U(2)=4,065 72,333 76,398 68,268 6) Графическое представление фактических значений показателя, результатов моделирования и прогнозирования.