ЛІнійні різницеві рівняння зі сталими коефіцієнтами Задача Коші З дисципліни “Вища математика” Розділ 4 “Диференціальні рівняння” на тему: “Лінійні різницеві рівняння зі сталими коефіцієнтами. Задача Коші” План 1. Лінійні однорідні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами 1.1. Розв’язування систем однорідних рівнянь з сталими коефіцієнтами методом Ейлера. 1.2. Розв’язок систем однорідних рівнянь зі сталими коефіцієнтами матричним методом 1.3. Властивості розв’язків лінійних неоднорідних систем 2. Задача Коші Використана література 1. Лінійні однорідні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами Система диференціальних рівнянь вигляду де - сталі величини, називається лінійною однорідною системою з сталими коефіцієнтами. У матричному вигляді вона записується . 1.1. Розв’язування систем однорідних рівнянь з сталими коефіцієнтами методом Ейлера. Розглянемо один з методів побудови розв’язку систем з сталими коефіцієнтами. Розв’язок системи шукаємо у вигляді вектора . Підставивши в систему диференціальних рівнянь, одержимо Скоротивши на , і перенісши всі члени вправо, запишемо Отримана однорідна система лінійних алгебраїчних рівнянь має розв’язок тоді і тільки тоді, коли її визначник дорівнює нулю, тобто . Це рівняння, може бути записаним у векторно-матричній формі і воно називається характеристичним (чи віковим) рівнянням. Розкриємо його . Алгебраїчне рівняння -го ступеня має -коренів. Розглянемо різні випадки. 1. Всі корені характеристичного рівняння (власні числа матриці ) дійсні і різні. Підставляючи їх по черзі в систему алгебраїчних рівнянь одержуємо відповідні ненульові розв’язки системи , , … , що являють собою власні вектори, які відповідають власним числам , . У такий спосіб одержимо - розв’язків , , … , ... Причому оскільки -різні а - відповідні їм власні вектори, то розв’язки - лінійно незалежні, і загальний розв’язок системи має вигляд . Або у векторно - матричної формі запису , де - довільні сталі. 2. Нехай пара комплексно спряжених коренів. Візьмемо один з них, наприклад . Комплексному власному числу відповідає комплексний власний вектор і, відповідно, розв’язок Використовуючи залежність , перетворимо розв’язок до вигляду: . І, як випливає з властивості 4 розв’язків однорідних систем, якщо комплексна функція дійсного аргументу є розв’язком однорідної системи, то окремо дійсна і уявна частини також будуть розв’язками, тобто комплексним власним числам відповідають лінійно незалежні розв’язки ,. 3. Якщо характеристичне рівняння має кратний корінь кратності , тобто , то розв’язок системи рівнянь має вигляд . Підставивши його у вихідне диференціальне рівняння і прирівнявши коефіцієнти при однакових степенях, одержимо - рівнянь, що містять - невідомих. Тому що корінь характеристичного рівняння має кратність , то ранг отриманої системи . Уводячи довільних сталих і розв’язуючи систему, одержимо , , . 1.2. Розв’язок систем однорідних рівнянь зі сталими коефіцієнтами матричним методом Досить універсальним методом розв’язку лінійних однорідних систем з сталими коефіцієнтами є матричний метод. Він полягає в наступному. Розглядається лінійна система з сталими коефіцієнтами, що записана у векторно-матричному вигляді . Робиться невироджене перетворення , де вектор - нова невідома векторна функція. Тоді рівняння прийме вигляд або . Для довільної матриці завжди існує неособлива матриця , що приводить її до жорданової форми, тобто , де - жорданова форма матриці . І система диференціальних рівнянь прийме вигляд . Складемо характеристичне рівняння матриці , або . Алгебраїчне рівняння -го ступеня має коренів. Розглянемо різні випадки. 1. Нехай - дійсні різні числа. Тоді матриця має вигляд . І перетворена система диференціальних рівнянь розпадається на - незалежних рівнянь . Розв’язуючи кожне окремо, отримаємо . Або в матричному вигляді де . Звідси розв’язок вихідного рівняння має вигляд . Для знаходження матриці треба розв’язати матричне рівняння або , де - жорданова форма матриці . Якщо матрицю записати у вигляді , то для кожного з стовпчиків , матричне рівняння перетвориться до , . Таким чином, у випадку різних дійсних власних чисел матриця являє собою набір - власних векторів, що відповідають різним власним числам. 2. Нехай - комплексний корінь. Тоді відповідна клітка Жордана має вигляд , а перетворена система диференціальних рівнянь Неважко перевірити, що розв’язок отриманої системи диференціальних рівнянь має вигляд Або в матричному вигляді Таким чином, комплексно-спряженим власним числам відповідає розв’язок де 3. Нехай - кратний корінь, кратності , тобто і йому відповідають лінійно незалежних векторів. Тоді клітка Жордана, що відповідає цьому власному числу, має вид І перетворена підсистема, що відповідає власному числу , розпадається не дві підсистеми . . Розв’язок першої знаходиться з використанням зазначеного в першому пункті підходу. Розглянемо другу підсистему. Запишемо її в координатному вигляді Розв’язок останнього рівняння цієї підсистеми має вигляд . Підставимо його в передостаннє рівняння. Одержуємо . Загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння має вигляд суми загального розв’язку однорідного і частинного розв’язку неоднорідних рівнянь, тобто . Загальний розв’язок однорідного має вигляд . Частинний розв’язок неоднорідного шукаємо методом невизначених коефіцієнтів у вигляді , де - невідома стала. Підставивши в неоднорідне рівняння, одержимо . Звідси і загальний розв’язок неоднорідного рівняння має вигляд . Піднявшись ще на один крок нагору одержимо . Продовжуючи процес далі, маємо . Або у векторно - матричному вигляді . Додавши першу підсистему, одержимо , Для останніх двох випадків матриця знаходиться як розв’язок матричного рівняння . 2. Лінійні неоднорідні рівняння Система диференціальних рівнянь, що записана у вигляді чи у векторно-матричному вигляді називається системою лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь. 1.3. Властивості розв’язків лінійних неоднорідних систем Властивість 1. Якщо вектор є розв’язком лінійної неоднорідної системи, a розв’язком відповідної лінійної однорідної системи, то сума - є розв’язком лінійної неоднорідної системи. Дійсно, за умовою і . Але тоді і тобто є розв’язком неоднорідної системи. Властивість 2 (Принцип суперпозиції). Якщо вектори , є розв’язками лінійних неоднорідних систем , , де , то вектор , де - довільні сталі буде розв’язком лінійної неоднорідної системи . Дійсно, за умовою виконуються - тотожностей . Склавши лінійну комбінацію з лівих і правих частин, одержимо , тобто лінійна комбінація буде розв’язком системи . Властивість 3. Якщо комплексний вектор з дійсними елементами є розв’язком неоднорідної системи , де , , , то окремо дійсна і уявна частини є розв’язками системи. Дійсно, за умовою . Розкривши дужки і перетворивши, одержимо . Але комплексні вирази рівні між собою тоді і тільки тоді, коли рівні дійсні та уявні частини, що і було потрібно довести. Теорема (про загальний розв ’ язок лінійної неоднорідної системи). Загальний розв’язок лінійної неоднорідної системи складається із суми загального розв’язку однорідної системи і якого-небудь частинного розв’язку неоднорідної системи. Доведення. Нехай - загальний розв’язок однорідної системи і - частинний розв’язок неоднорідної. Тоді, як випливає з властивості 1, їхня сума буде розв’язком неоднорідної системи. Покажемо, що цей розв’язок загальний, тобто підбором сталих , можна розв’язати довільну задачу Коші . Оскільки - загальний розв’язок однорідного рівняння, то вектори лінійно незалежні і система алгебраїчних рівнянь має єдине розв’язок ,. І лінійна комбінація с отриманими сталими , є розв’язком поставленої задачі Коші. 2. Задача Коші Нехай - фундаментальна система, нормована при тобто , де - одинична матриця. Загальний розв’язок однорідної системи має вигляд . Вважаючи невідомою вектором-функцією і повторюючи викладення методу варіації довільної постійний, одержимо . Звідси . Проінтегруємо отриманий вираз . Тут - вектор із сталих, що отриманий при інтегруванні системи. Підставивши у вихідний вираз, одержимо: Якщо - фундаментальна матриця, нормована при , то . Звідси Підставивши початкові значення і з огляду на те, що , одержимо - формулу Коші, загального розв’язку неоднорідного рівняння. Частинний розв’язок неоднорідного рівняння, що задовольняє нульовій початковій умові, має вид . Якщо система з сталою матрицею , то . І формула Коші має вигляд . Використана література: 1. Хусаінов П. Диференційні рівняння. – К., 1999.