Краткое доказательство гипотезы Билля Гипотеза Билля формулируется следующим образом: неопределенное уравнение: А x +В y = С z /1/ не имеет решения в целых положительных числах А, В, С, x , y и z при условии, что x , y и z больше 2. Суть гипотезы Билля не изменится, если уравнение /1/ запишем следующим образом: А x = С z - В y /2/ Уравнение /2/ рассматриваем как параметрическое уравнение с параметром A и переменными B и С . Уравнение /2/ запишем в следующем виде: Аx = (С0,5 z )2 – (В0,5 y )2 /3/ Обозначим: В0,5 y =V /4/ С0,5 z =U /5/ Отсюда: Вy =V2 /6/ Сz =U2 /7/ В = /8/ С = /9/ Тогда из уравнений /2/, /6/ и /7/ следует: Аx = Сz – Вy =U2 -V2 /10/ Уравнение /10/ в соответствии с известной зависимостью для разности квадратов двух чисел запишем в виде: Аx = (U-V)∙(U+V) /11/ Для доказательства гипотезы Билля используем метод замены переменных. Обозначим: U-V=X /12/ Из уравнения /12/ имеем: U=V+X /13/ Из уравнений /11/, /12/ и /13/ имеем: Аx = X· (V+X+V)=X (2V+X)=2VХ+X2 /14/ Из уравнения /14/ имеем: Аx – X2 =2VХ /15/ Отсюда: V= /16/ Из уравнений /13/ и /16/ имеем: U= /17/ Из уравнений /8/, /9/, /16/ и /17/ имеем: B = /18/ C = /19/ Алгебраическое выражение включает в себе возведение чисел в степень, вычитание одного числа из другого и деление их разности на число. Алгебраическое выражение включает в себе возведение чисел в степень, их сложение и деление суммы этих чисел на число. Из анализа этих алгебраических выражений следует, что с помощью указанных математических действий нельзя получить числа, равные и соответственно, т.е.: ; /20/ , /21/ где: S и R – должны быть целыми числами. Поэтому в соответствии с уравнениями /18/, /19/, /20/ и /21/: – дробное число; – дробное число. Таким образом, числа В и С – дробные числа. Следовательно, гипотеза Билля не имеет решения в целых положительных числах.