Гамма функции 1. Бэта-функции 6 Бэта – функции определяются интегралом Эйлера первого рода: = (1.1) сходятся при .Полагая =1 – t получим: = - = т.e. аргумент и входят в симетрично. Принимая во внимание тождество по формуле интегрирования почестям имеем Откуда = (1.2) 7 При целом b = n последовательно применяя(1.2) Получим (1.3) при целых = m, = n,имеем но B(1,1) = 1,следовательно: Положим в (1.1) .Так как график функции симметрична относительно прямой ,то 8 и в результате подстановки ,получаем полагая в(1.1) ,откуда ,получим (1.4) разделяя интеграл на два в пределах от 0 до 1 и от 1 до и применение ко второму интегралу подстановки ,получим = 2. Гамма-функция 9 Гамма функцию определяет интеграл Эйлера второго рода G(a) = (2.1) сходящийся при 0.Положим =ty,t > 0 ,имеем G(a) = и после замены , через и t через 1+t ,получим Умножая это равенство и интегрируя по t и пределах от 0 до , имеем: или на основании (1.4) и после изменения в правой части порядка интегрирования ,получаем: 10 откуда (2.2) заменяя в (2,1) ,на и интегрируем по частям получаем рекурентною формулу (2.3) так как но при целом имеем (2.4) то есть при целых значениях аргумента гамма-функция превращается в факториал.Порядок которого на единицу меньше взятого значения аргумента.При n=1 в (2.4) имеем 3. Производная гамма функции 11 Интеграл сходится при каждом ,поскольку ,и интеграл при сходится. В области , где - произвольное положительное число, этот интеграл сходится равномерно, так как и можна применить признак Веерштраса. Сходящимся при всех значениях является и весь интеграл так как и второе слогаемое правой части является интегралом, заведомо сходящимся при любом .Легко видеть что интеграл сходится по в любой области где произвольно.Действительно для всех указаных значений и для всех ,и так как сходится, то выполнены условия признака Веерштрасса. Таким образом , в области интеграл cходится равномерно. Отсюда вытекает непрерывность гамма функции при .Докажем дифференцируемость этой функции при .Заметим что функция непрерывна при и , и покажем ,что интеграл : 12 сходится равномерно на каждом сегменте , . Выберем число так , чтобы ; тогда при .Поэтому существует число такое , что и на .Но тогда на справедливо неравенство и так как интеграл сходится, то интеграл сходится равномерно относительно на . Аналогично для существует такое число , что для всех выполняется неравенство . При таких и всех получим , откуда в силу признака сравнения следует , что интеграл сходится равномерно относительно на . Наконец , интеграл в котором подынтегральная функция непрерывна в области , очевидно, сходится равномерно относительно на . Таким образом , на интеграл 13 сходится равномерно , а, следовательно , гаммма функция бесконечно дифференцируема при любом и справедливо равенство . Относительно интеграла можна повторить теже рассуждения и заключить, что По индукции доказывается , что Г-функция бесконечно дифференцируема при и для ее я -ой производной справедливо равенство Изучим теперь поведение - функции и построим єскиз ее графика . Из выражения для второй производной -функции видно, что для всех . Следовательно, возрастает. Поскольку , то по теореме Роля на сегменте [1,2]производная при и при , т. е. Монотонно убывает на и монотонно возрастает на . Далее , поскольку , то при . При из формулы следует , что при . 14 Равенство , справедливое при , можно использовать при распространении - функции на отрицательное значение . Положим для , что . Правая часть этого равенства определена для из (-1,0) . Получаем, что так продолженная функция принимает на (-1,0) отрицательные значения и при , а также при функция . Определив таким образом на , мы можем по той же формуле продолжить ее на интервал (-2,-1). На этом интервале продолжением окажется функция, принимающая положительные значения и такая, что при и . Продолжая этот процесс, определим функцию , имеющею разрывы в целочисленных точках (см. рис.1) Отметим еще раз, что интеграл определяет Г-функцию только при положительных значениях , продолжение на отрицательные значения осуществлено нами формально с помощью формулы приведения . 15 (рис.1) 4. Вычисление некоторых интегралов. 16 Формула Стирлинга Применим гамма функцию к вычислению интеграла: где m > -1,n > -1.Полагая , что ,имеем и на основании (2.2) имеем (3.1) В интеграле Где k > -1,n > 0,достаточно положить 17 Интеграл Где s > 0,разложить в ряд = где дзетта функция Римана Рассмотрим неполные гамма функции (функции Прима) связанные неравенством Разлагая, в ряд имеем 18 Переходя к выводу формулы Стирлинга , дающей в частности приближенное значение n! при больших значениях n ,рассмотрим предварительно вспомогательную функцию (3.2) Непрерывна на интервале (-1, ) монотонно возрастает от до при изменении от до и обращаются в 0 при u = 0.Так как то при u > 0 и при u < 0 , далее имеем И так производная непрерывна и положительна во всем интервале ,удовлетворяет условию 19 Из предыдущего следует, что существует обратная функция, определенная на интервале непрерывная и монотонно возрастающая в этом интервале, Обращающаяся в 0 при v=0 и удовлетворяющая условие (3.3) Формулу Стирлинга выведем из равенства полагая ,имеем Положим далее введенная выше обратная функция, удовлетворяющая условиям u = -1при ,и при .Замечая что(см.3.2) 20 имеем , полагая на конец , ,получим или в пределе при т.е. при (см3.3) откуда вытекает формула Стирлинга которую можно взять в виде 21 (3.4) где ,при для достаточно больших полагают (3.5) вычисление же производится при помощи логарифмов если целое положительное число, то и (3.5) превращается в приближенную формулу вычисления факториалов при больших значениях n приведем без вывода более точную формулу где в скобках стоит не сходящийся ряд. 5. Примеры вычисления интегралов 22 Для вычисления необходимы формулы: Г( ) Вычислить интегралы 23 Міністерство освіти і науки України Запорізький державний університет ДО ЗАХИСТУ ДОПУЩЕНИЙ Зав. каф. Математичного аналізу д. т. н. проф. ____ С.Ф. Шишканова _________________________ 2002р. ПОЯСНЮВАЛЬНА ЗАПИСКА ДО КУРСОВОГО ПРОЕКТУ ГАМА ФУНКЦІЇ Розробив Ст..гр.. 8221-2 Садигов Р.А. Керівник Ст. викладач Кудря В.І. Запоріжжя 2002. Содержание Задание на курсовую работу........................... ...................................2 ............................................................. ...................................4 введение............................................................ ...................................5 1. Бета функции……………………………………………..............6 2. Гамма функции....................................... ...................................9 3. Производная гамма функции ............... ..................................11 4. Вычисление интегралов формула Стирлинга............................16 5. Примеры вычеслений............................. ..................................22 вывод................................................................ ..................................24 Список литературы……………………………………………..............25 : 24 ст., 5 источников, 1 рис. Обьект иследований: гамма и ее приложения. В работе идет речь о представлении бета и гамма функций с помощью интегралов Эйлера соответствено первого и второго рода. И о их применении для вычисления интегралов. Ключевые слова: ГАММА И БЕТА ФУНКЦИЯ, ИНТЕГРАЛ ЭЙЛЕРА, ПРОИЗВОДНАЯ, ПРЕДЕЛ. Введение Выделяют особый класс функций, представимых в виде собственого либо несобственого интеграла, который зависит не только от формальной переменной, а и от параметра. Такие функции называются интегралами зависящими от параметра. К их числу относятся гамма и бета функции Эйлера. Бета функции представимы интегралом Эйлера первого рода: гамма функция представляется интегралом Эйлера второго рода: Вывод Гамма функции являются удобным средством для вычисления некоторых интегралов в частности многих из тех интегралов, которые не представимы в элементарных функциях. Благодаря этому они широко применяются в математике и ее приложениях, в механике, термодинамике и в других отраслях современной науки. Список литературы 1. Специальные функции и их приложения: Лебедев И.И.,М.,Гостехтериоиздат,1953 2. Математический анализ часть 2: Ильин О.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х.,М.,”Московский университет”,1987 3. Сборник задач по математическому анализу: Демидович Б.П.,М.,Наука,1966 4. Интегралы и ряды специальные функции: Прудников А.П., Брычков Ю.А.,М.,Наука,1983 5. Специальные функции: