Контрольная работа по Высшей математике федеральное агентство по образованию ростовский институт (филиал) государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования "российский государственный торгово-экономический университет" Кафедра высшей и прикладной математики Контрольная работа № 1 по дисциплине «Высшая математика» Вариант № 0 Выполнил: Афонин В.П. студент 2-го курса, группы УТ, заочной формы обучения. Преподаватель:______________ Ростов-на-Дону 2006 г . План работы План работы.... 2 Задача 1. 2 Задача 2. 2 Задача 3. 2 Задача 4. 2 Задача 5. 2 Задача 6. 2 Задача 7. 2 Задача 8. 2 Задача 9. 2 Задача10. 2 Использованная литература.. 2 Задача 1. Вычислить пределы функций а) - е): а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; Решение а) = Мы имеем дело с неопределенностью вида . Приводим выражение к общему знаменателю: Тогда вынесем х в старшей степени за скобку в числителе и знаменателе 1-й дроби и знаменателе второй дроби после чего - сократим. Получим: Устремим х к ∞, получим| Ответ: б) Так как функция непрерывна на (0;∞) , то Мы имеем дело с неопределенностью вида . Тогда вынесем х2 скобку в числителе и знаменателе и сократим. Получим: Ответ: в) ; В данном случаем м ы имеем дело с неопределенностью вида . Выражение является сопряженным по отношению к выражению , а к выражению соответственно. Умножая числитель и знаменатель дроби на произведение сопряженных выражений , и используя формулу , получим: Ответ: г) Подстановка числа 6 вместо х показывает, что пределы числителя и знаменателя равны нулю. Следовательно, нам потребуется раскрыть неопределённость 0/0. Для этого можно либо провести тождественные преобразования выражения , либо применить правило Лопиталя. Уравнение тождественно уравнению где x1 и x2 корни квадратного уравнения Исходя из этого получаем: = ,аналогично Таким образом: Другое решение задачи. Воспользуемся правилом Лопиталя так как функция непрерывна в точке х=6, подставляем х=6 Ответ: д) Подстановка числа 0 вместо х показывает, что предел числителя и предел знаменателя при х→0 равны нулю. Поэтому имеет место неопределённость 0/0. Для того, чтобы раскрыть неопределённость можно либо провести тождественные преобразования выражения , либо применить правило Лопиталя. 1. Совершим необходимые тождественные, тригонометрические преобразования: 2. Другое решение задачи. Воспользуемся вновь правилом Лопиталя Снова имеем неопределенность 0/0. Применяем правило Лопиталя: Ответ: е) Решение. замена переменной ; так как =0, то y→0, следовательно: используем второй замечательный предел Ответ: Задача 2. Вычислить производные функции а)-г). а) ; б) в) у = (sinx) • e2 x • ln(sinx); г) у =(sinx)lnx . Решение а) ,Используем формулу производной дроби: и формулу производной степенной функции: Ответ: .б) ,Найдём сначала производную функции , используя формулу производной степенной функции: Теперь находим в таблице производных сложных функций формулу подставляя , получаем Ответ: в) у = (sinx) • e2 x • ln(sinx); Функция у(х) представляет собой произведение трёх функций u(х)= (sinx), v(x)= e2 x и w(x)= ln(sinx). Используя правило Лейбница, можно вывести общую формулу: (u·v·w) '=u'·(vw)+u· (vw)'=u'vw+u· (v'·w+v·w') Следовательно, (uvw)'=u'· v·w+u·v'·w+u·v·w' Далее используя формулу производной сложной функции Получаем: Ответ: г) у =(sinx)lnx Пользуясь основным логарифмическим тождеством y=elny , представим y(x) в виде y(x)=(eln ( sinx ) )lnx . Так как (ab )c =abc , то y(x)= e lnx ln ( sinx ) . и поэтому В последнем равенстве мы вновь воспользовались формулой у =(sinx)lnx = e lnx ln ( sinx ) . Ответ: Задача 3. а). Исследовать функцию у(х)=2 x 3 - 9 x 2 + 12 x - 5. Решение 1). Так как 2 x 3 - 9 x 2 + 12 x - 5 — многочлен, то функция у(х) определена и непрерывна на всей числовой прямой. Таким образом, область определения данной функции вся — числовая прямая: D(y)=(–∞;+∞). 2). Функция не является ни чётной ни нечётной, поскольку y(1)=0; y(–1)=–28; у(–1)≠у(1); y(1)≠y(-1). 3). Заметим, что при х→+∞ и при х→–∞ поведение многочлена у(х) определяется поведением его старшего члена 2х3 , который неограниченно возрастает при х→+∞ и неограниченно убывает при х→–∞. Поэтому y(x)= +∞, l y(x)=–∞, Так как функция у(х) определена на всей числовой оси и , график функции не имеет асимптот. 4). у(0) = -5 → A(0; -5) — точка пересечения графика с осью Оу. Для определения точек пересечения графика с осью Оx решим уравнение у(х)=0 ↔ 2x3 - 9x2 + 12x - 5=0 ↔ x•(2х2 + 15x + 24) = 0; Методом подбора определяем корень уравнения х1 =1. Разделим многочлен на многочлен x -1 2x3 - 9x2 + 12x – 5 x -1 2x3 - 2x2 2x2 - 7x + 5 - 7x2 +12х - 7x2 +7х 5x – 5 5x – 5 0 2x2 - 7x + 5= 0, D=b2 –4ac=-72 –4•2•5=49- 40=9 Точки пересечения с осью Ох: B(1;0), С(5/2;0), 5). Находим локальные экстремумы, а также промежутки возрастания и убывания функции. Для этого вычисляем производную функции у(х): у'(х)=(2x3 - 9x2 + 12x - 5)´, у'(х)=6x2 - 18x + 12 , у'(х)=x2 - 3x + 2 , и решаем уравнение у'(х)=0: x2 - 3x + 2 = 0, критические точки х1 = 1, x2 = 2. Так как производная не имеет точек разрыва, других критических точек нет. Определяем знак производной справа и слева от каждой критической точки и составляем таблицу: x (–∞;1) 1 (1;2) 2 (2; +∞) y' + 0 – 0 + y Максимум Минимум Итак, функция возрастает при х [–∞; 1] и при х [2; +∞] и убывает при х [1; 2]; локальный минимум — у(2)=–1, локальный максимум — у(1)=0. 6). Используя пункт 3), получаем, что множество значений функции Е(y) — вся числовая прямая, Е(у) = (—∞; +∞). 7). Находим точки перегиба функции и устанавливаем промежутки, на которых график функции обращен выпуклостью вверх и вниз. Для этого, прежде всего, вычисляем производную второго порядка и приравниваем её к нулю: у''(х)= (у'(х))'=(x2 - 3x + 2)'=2х-3 у"(х)=0 ↔ 2х - 3= 0 ↔ х=3/2=1,5. Для определения знаков второй производной подставляем в неё числа из промежутков и : у"(0)=–3; у"(2)=1. x (–∞; ) ( ; +∞;) y'' – 0 – y Выпуклость вверх Перегиб Выпуклость вниз Теперь необходимо найти значение функции в точке перегиба и определить угол наклона касательной к графику функции в этой точке: у(1,5)=-0,5, тангенс угла наклона равен значению производной в данной точке у'(1,5)=tgα=1,5. Следовательно, касательная к графику проходит через точки D(1,5; -0,5) Е(3,5;-3,5). Проводим через точки D и E прямую (DE). График функции у(х) должен касаться прямой (DE) в точке D. 8). На этом исследование функции закончено и остаётся лишь вычислить её значения в некотором числе точек, достаточном для построения графика, и построить график. б ). Исследовать функцию . Решение 1). Так как D 2(х - 6)2 = R и D( )=М, то функция g(х) определена и непрерывна на всей числовой прямой. 2). Функция не является ни чётной ни нечётной, поскольку g(1)= ; g(-1) = и g(–1)≠g(1) 3) Следовательно, nак как функция g(х) определена на всей числовой оси и функция имеет левую горизонтальную асимптоту y =0. 4). Так как g(0)=2(0-6)2 • =72 ≈3,58, то А(0;72 ) — точка пересечения графика с осью Оу. Для определения точек пересечения графика с осью Ох решим уравнение g(х)=0, т. е. 2•(x-6)2 • =0. Так как любая степень числа е положительна, мы можем разделить на 2 обе части уравнения: (x-6)2 = 0; D=144-144=0; x=6. График функции пересекает ось Ох в точке B(6;0) и в силу своей непрерывности, функция g(х) не меняет своего знака на протяжений всей числовой оси т.к. и 2•(x-6)2 >0. Отсюда вытекает, что g(х)>0 для всех действительных чисел x. 5). Экстремумы. Промежутки возрастания и убывания. Для определения критических точек функции решим уравнение g(х)=0 ↔ –(х2 + 5х + 4) • е-1/2( x +3) =0 ↔ х2 + 5х + 4 = 0; критичαеские точки — х1 = 6, x2 = 2. x (–∞;2) 2 (2;6) 6 (6; +∞) g' + 0 – 0 + g 32/e2 Максимум 0 Минимум Локальный максимум— g(2)= 2•(2-6)2 • ≈32/e2 , локальный минимум — g(6)= 2•(6-6)2 • =0• =0. 6). Используя пункты 3) - 5), получаем, что Е(у)=(0;+∞). ´ββ 7). Находим точки перегиба и промежутки выпуклости. x (–∞; ) ( ) ( ; ) ( ; +∞) g' + 0 – 0 + g Выпуклость вниз Перегиб Выпуклость вверх Перегиб Выпуклость вниз Теперь необходимо найти значение функции и значение производной (тангенс угла наклона касательной к графику функции) в точках перегиба: Вычислить значение функции в некотором числе промежуточных точек: 9). Строим график функции. Задача 4. Вычислить неопределённые интегралы а) - г): а) б) в) г) Решение a) Сделаем подстановку Тогда , памятуя что получаем Ответ: б) Решение данной задачи основано на формуле интегрирования по частям по формуле: (1) В этой формуле принимаем за u функцию x и du=dx. Тогда и (так как мы находим первообразную, то «+С» не пишем). Подставим найденные u',v', u, v' в формулу интегрирования по частям b используя получаем: Ответ: в) Найдем корни уравнения . Так как корнями уравнения является х1 =-7 и х2 =5, то по формуле ах2 +bх+с=а(х+7)(x—5), знаменатель раскладываются на множители . Представим дробь в виде следующей суммы: и найдём коэффициенты А и В. Приведём дроби в правой равенства части к общему знаменателю: Приравняв числители, получим Подставляя в последнее равенство х = 5, находим, что 5 = А(5 – 5) +B(5+7) ↔ 5 = B • (12) ↔ B= 5/12. Подставляя х=-7 в равенство (2), находим, что -7 = A(-7–5) +B(-7+7) ↔ -7=A • (-12) ↔ А = 7/12. Таким образом, Итак, Ответ: г) Напомним, что в том случае, когда дискриминант квадратного ах2 + bх + с двучлена отрицателен, D=b2 —4ас<0, справедливо равенство: Для вычисления интеграла найдем дискриминант знаменателя D=182 —4•9•10=324-360=-36<0 и рассмотрим функцию у=9х2 -18x+10. Для последующей замены переменной вычислим производную знаменателя у'=(9х2 -18x+10)'=18x-18 и заметим, что 18х-3=(18x-18)+15. Отсюда, Вычислим получившиеся интегралы по отдельности. 1) 2) Подставляя полученные выражения, окончательно получаем следующий ответ: Ответ: Задача 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций g (х)=3х+4 и f (х) = -3х2 +21 x -11. Изобразить эту фигуру на координатной плоскости. Решение Графиком функции f(х) является парабола, ветви которой направлены вверх. Вычисляем производную функции f'(х)= - 6х+21 и находим координаты вершины параболы С: Графиком функции g(x)=3x+4 является прямая, проходящая через точки (0;4), (-4/3;0). Найдём точки пресечения графиков функции: g(х)=f(x) -3х2 +21x-11= 3x+4 ↔ -3х2 + 18х -15 = 0 ↔ х2 - 6х + 5 = 0 Заметим, что g(1) = f(1) = 7, g(5) = f(5) = 19. Пусть S — площадь фигуры ABC, ограниченной графиками функций. Так как f(x)≥ g(х) при х [1;5], то Ответ: 32 кв.ед Задача 6. Найти общее решение дифференциального уравнения . Построить графики двух частных решений этого уравнения. Решение. 1). Преобразуем уравнение к виду . 2) , где - const. Графиком частных решений данного уравнения является множество парабол с общей вершиной в точке А(-1;0) Положив С1 =1, и С2 =-1 построим графики двух частных решений y1 =(x+1)2 , y2 = -(x+1)2 , Ответ: Задача 7. Найти частное уч .(х) решение дифференциального уравнения у' cosx + у sinx =2, удовлетворяющее (начальному) условию: уч ( )=2. Решение. 1). Разделим обе части уравнения на cosx: Подставляя вместо у произведение двух функций y=uv, y'=u'v+uv' получаем уравнение: (1) 2). Найдём теперь какую-нибудь функцию u для которой выполняется равенство Для этого найдём частное решение дифференциального уравнения Если функции равны, то и неопределённые интегралы от них равны: Так как нам нужно найти частное решение, полагаем С=0, т.е. приравниваем первообразные подынтегральных функций: ln u= ln cos x ↔ u= cos x. 3). Подставляя у = cos x в уравнение (1), получим Так как всякая функция с точностью до константы равна неопределённому интегралу от собственной производной, то у=u•v =cosx•(2•tgx + C) = cosx• =2•sinx+C•cosx. Итак, общее решение дифференциального уравнения имеет вид у=2•sinx+C•cosx. 4). Для отыскания частного решения необходимо и достаточно определить значение неопределённой постоянной С по начальному условию, данному в задаче. Используя то условие, что уч =2 при , получаем равенство: 2=2•sinπ+C•cosπ; памятуя, что sinπ=0 и cosπ=-1, получаем: 2=2•0-C; Отсюда С=-2. Подставляя найденное значение неопределённой постоянной, получаем частное решение уч .=2(sinx-cosx), удовлетворяющее условию, данному в задаче. Ответ: у=2•sinx+C•cosx – общее решение, уч .=2(sinx-cosx) – частное решение Задача 8. Найти частное решение дифференциального уравнения y ''– у'–6 y =2 sin 2 x –10 cos 2 x , удовлетворяющее начальным условиям у(0)=2, у'(0) = 3. Решение. 1). Уравнение вида у" + bу' + су =0, где b и с — некоторые числа, называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение уо o .(x) этого уравнения в зависимости от знака дискриминанта D = b2 — 4aс характеристического уравнения k2 + bk + с =0 В нашем случае характеристическое уравнение: k2 —k — 6=0. D=1+24=25>0 Так как D>0 используем формулу уо .о .=С1 еαх + С2 еβх , , где k=α, k=β — два различных действительных корня (α≠β) характеристического уравнения. В нашем случае: α=3, β=-2. Общее решение однородного уравнения: уoo (х)= С1 е3х + С2 е-2х 2). Так как правая часть f(х)= 2sin2x–10cos2x и k2 +22 ≠ k2 —k — 6 частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде: уч (х) = Аcos2x + Вsin2x + С, у'ч. (x) = -2Аsin2х + 2Вcos2x, у"ч. (х) =-4Аcos2х -4Вsin2x,. Подставляя у = уч .(x) в данное в задаче уравнение, получаем: -4Аcos2х - 4Вsin2x + 2Аsin2х - 2Вcos2x - 6Аcos2x - 6Вsin2x = 2sin2x–10cos2x cos2х(-4А - 2В - 6А) +sin2x(- 4В + 2А- 6В) = 2sin2x–10cos2x, cos2х(-10А - 2В) +sin2x(2А- 10В) = 2sin2x–10cos2x, Сравнивая коэффициенты при cos2x и sin2x, находим: Отсюда уч. (x)=cos2x, поэтому так, как уо .н .(х) = уoo (х) + уч. (x), общее решение неоднородного уравнения имеет вид уо .н .(х) = С1 е3х + С2 е-2х + cos2x. 3). Находим частное решение, удовлетворяющее начальным условиям, данным в задаче: у(0) = 2 → C1 e0 + С2 е0 + cos 0 = 2 => С1 • 1 + С2 • 1 = 1, => С1 + С2 = 1, у'(x) = 3С1 е3х -2С2 е-2х – 2sin2x. у'(0) = 3C1 е0 -2C2 е0 -2sin 0= 3 → 3C1 - 2C2 - 0= 3 => 3C1 - 2C2 =3. Ответ: у (х) = ех cos 2x + ½ еx sin2x + х2 . Следовательно, частное решение, удовлетворяющее начальным условиям, данным в задаче: у(х) = 1 • е3х + 0 • е-2х + cos2x= е3х + cos2x. Ответ: у(х) = е3х + cos2x. Задача 9. Исследовать сходимость ряда Решение. Используем признак Даламбера . Если существует предел , то числовой ряд сходится при q < 1 и расходится при q > 1. В нашем случае и . Вычисляем предел: так как q = ∞ > 1, то ряд расходится. Ответ: Так как q > 1, то ряд расходится. Задача10. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда Решение. Каждый степенной ряд сходится внутри интервала (с —R; с + R), где R≥0 — радиус сходимости, определяемый по формуле . Определяем радиус сходимости: Так как с = -2; с–R=–2–1,5=–3,5; с+R==–2+1,5=–0,5, находим интервал сходимости: (–3,5; –0,5). Исследуем на сходимость в точках x=-3,5 и x=-0,5. При x=-3,5 ряд имеет вид: При x=-0,5 ряд имеет вид: . Поэтому интервал сходится и будет (-3,5;-0,5], R=1,5 Ответ: R = 1,5; (-3,5;-0,5]. Использованная литература 1. Высшая и прикладная математика. Конспект лекций. Часть I. Высшая математика. Выпуск 1. Основы математического анализа. М.: МКУ, 1993. 2. Зайцев М.В., Лавриненко Т.А. Высшая математика. Сборник задач, часть 1. М.: изд. МГУК, 1998. 3. Карасев А. И., Аксютина 3. М., Савельева Т. И. Курс высшей математики для экономических вузов. Ч. 1. М.: Высшая школа, 1982. 4. Кудрявцев В. А., Демидович Б. П. Краткий курс высшей математики. М.: Наука, 1989. 5. Маркович Э. С. Курс высшей математики с элементами теории вероятностей и математической статистики. М.: Высшая школа, 1972. 6. Минорский В. И. Сборник задач по высшей математике. М.: Наука, 1986. 7. Шипачев B.C. Задачник по высшей математике. М.: Высшая школа, 1998.