Контрольная работа по Математике 2 1.01. В группе из 25 человек 10 учится на «отлично», 8 на «хорошо» и 7 на «удовлетворительно». Найти вероятность того, что из взятых наугад 8 человек 3 человека учатся на «отлично». Решение. В данном случае испытание состоит в том, что из 25 человек наугад берутся 8 человек. При этом число всех равновозможных, несовместных и единственно возможных исходов равно . Здесь мы используем сочетания, т.к. подмножества из 8 элементов неупорядочены. Количество способов, которыми из 10 отличников можно взять 3, есть Остальных человек (не отличников) в группе из 8 человек у нас будет 8-3=5. Их мы выбираем из оставшихся 25-8=17 человек следующим числом способов: Далее, вероятность того, что в группе из 8 человек будут 3 отличника, вычисляем по классической формуле 2.01. Программа экзамена состоит из 30 вопросов. Из 20 студентов группы 8 человек выучили все вопросы, 6 человек по 25 вопросов, 5 человек по 20 вопросов, а один человек 10 вопросов. Определить вероятность того, что случайно вызванный студент ответит на два вопроса билета. Решение. Число способов составления билетов по два вопроса из 30 есть Для каждого из 8 человек, знающих все вопросы, число билетов будет тем же самым, т.е., вероятность найти билет с известными вопросами есть 1 или 100%. Доля таких студентов в группе есть . Для следующих 6 человек возможное число билетов с известными вопросами есть . Вероятность для них найти билет с известными вопросами есть . Доля таких студентов в группе есть . Аналогично, для следующих 5 человек , , их доля есть . Для того, кто знает только 10 вопросов, число выигрышных билетов есть , , его доля есть . Теперь воспользуемся формулой полной вероятности =70,9% 3.01. Всхожесть семян некоторого растения составляет 80%. Найти вероятность того, что из 6 посеянных семян взойдёт: три, не менее трёх, не более четырёх. Решение. Так как возможность одновременного всхода и гибели семени нереальна, это несовместные события, то вероятность гибели семени есть q=1-p=0,2. Вероятность появления ровно 3 раза в серии из 6 событий находим по формуле Бернулли, так как число испытаний n = 6 невелико (n £ 10): Не менее трёх ― это означает либо 3, либо 4, либо 5, либо 6. Вычислим вероятность проращивания всех 6 семян: Р6 (6)=0,86 =0,262. Соответственно, Следовательно, вероятность того, что взойдёт не менее 3 семян, есть Рn≥3 (6)= P3 (6)+P4 (6)+P5 (6)+P6 (6)=0,082+0,262+0,246+0,393=0,983 Не более четырёх ― это значит, любое число, кроме 5 и 6, т.е., вероятность такого события есть Рn≤4 (6)=1-(P6 (6)+P5 (6))=1-0,393-0,262=0,345 Ответ: , Рn≥3 (6)=0,983, Рn≤4 (6)=0,345. 4.01. Вероятность производства бракованной детали равна 0,008. Найти вероятность того, что из взятых на проверку 1000 деталей будет 10 бракованных. Решение. В этой задаче число испытаний N = 1000 достаточно велико (N > 10), поэтому используем приближенные формулы Лапласа. Число бракованных деталей равно 10, то есть . Соответствующую вероятность находим по локальной формуле Лапласа. , где . Результат вычислений для x0 округляем с точностью до 0,01, так как значения функции φ(х0 ) табулируются в с такой точностью. По специальной таблице, находим: φ(0,71)=0,3101. Следовательно, 5.01. Из 25 контрольных работ, среди которых 5 оценены на «отлично», наугад извлекаются 3 работы. Найти закон распределения дискретной случайной величины Х ― числа работ, оцененных на отлично. Найти числовые характеристики случайной величины Х. Построить функцию распределения. Решение. Имеем случайную величину Х ― число отличных работ. Её возможные значения . Пусть у нас не попалось ни одной из отличных работ, т.е., вытянули все 3 не отличные. Вероятность этого есть Пусть теперь есть только одна отличная работа. Она может быть вытащена в первый, во второй или только в третий раз. Вероятность такого события есть . Здесь 20 и 5 ― соответственно число не отличных и отличных работ в исходном массиве, 25, 24 и 23 ― число работ, последовательно уменьшающихся по мере того как мы выбираем их по одной. Далее, пусть есть 2 отличных работы и соответственно 1 не отличная. Эта одна не отличная работа может попасться в первый, второй или третий раз: И наконец, единственный исход со всеми отличными работами: Полученные значения заносим в таблицу, которая и будет представлять закон распределения данной случайной величины: xi 0 1 2 3 pi 0,4956 0,4130 0,0870 0,0043 Сумма всех вероятностей Для нахождения интегральной функции распределения воспользуемся её определением применительно к каждому промежутку изменения случайной величины x≤0 F(x)=P(x<0)=0 0≤x≤1 F(x)=P(x<1)=p0 =0,4956 1≤x≤2 F(x)=P(x<2)=p0 +p1 =0,4956+0,4130=0,9086 2≤x≤3 F(x)=P(x<3)=p0 +p1 +p2 =0,9956 3≤x≤∞ F(x)=1 Итак, искомая функция распределения выглядит следующим образом: Чертим график Найдём числовые характеристики случайной величины: Мода М0 =1 Математическое ожидание Дисперсия Среднеквадратичное отклонение 6.01. Случайная величина Х задана плотностью вероятностей Определить параметр А, функцию распределения F( x), моду, математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратичное отклонение, вероятность того, что в четырёх независимых испытаниях случайная величина Х попадёт 3 раза в интервал (0, 2). Построить графики функций f( x), F( x). Решение. Так как ненулевая наша функция распределения только на интервале от 1 до ∞, то воспользуемся свойством нормировки плотности вероятности: , откуда А=4 Таким образом, Чертим график такой функции Найдём моду такой функции. Мо=1, так как наибольшее значение плотность вероятности принимает именно при x=1 Найдём медиану: . Отсюда Найдём математическое ожидание Дисперсия Среднеквадратичное отклонение Найдём интегральную функцию распределения: При x≤1, F(x)=0 При x>1 Таким образом, Вычерчиваем такой график Вероятность того, что случайная величина попадает в интервал (0, 2) или фактически в интервал (1, 2), т.к. невозможны значения меньше 1, вычислим, проинтегрировав плотность вероятности в соответствующих пределах: , так как на промежутке от 0 до 1 вероятность выпадения величины равна нулю. Вероятность того, что только три из четырёх попаданий будет в этот интервал, вычислим по формуле Бернулли 7.01. Срок службы прибора представляет собой случайную величину, подчинённую закону нормального распределения со средним сроком службы в 10 лет и среднеквадратичным отклонением 1,5 года. Определить вероятность того, что прибор прослужит до 15 лет, от 8 до 18 лет, свыше 16 лет. Решение. Вероятность того, что величина Х попадает в некоторый интервал (α, β) есть , где Ф ― функция Лапласа, m ― математическое ожидание распределения, σ ― среднеквадратичное отклонение. В первом случае имеется от 0 до 15 лет, т.е., α=0, β=15 Следовательно, . Аргумент соответствующей функции Лапласа округляем до сотых. Обращаясь к таблице, выписываем: Ф(3,33)=0,4996 и Ф(6,67)=0,5000 Следовательно, вероятность того, что прибор прослужит до 15 лет есть Р1 =0,4996+0,5=0,996 Соответственно, вероятность того, что он прослужит от 8 до 18 лет есть . Обращаясь к таблице, выписываем: Ф(1,33)=0,4082 и Ф(5,33)=0,5000. Следовательно, вероятность того, что он прослужит от 8 до 18 лет есть Р2 =0,5+0,4082=0,9082 Свыше 16 лет ― это означает от 16 до бесконечности. . Обращаясь к таблице, выписываем: Ф(∞)=0,5 и Ф(4)=0,499968. Следовательно, такая вероятность Р3 =0,5-0,499968=3,2·10‑5 . 8.01. Имеются данные о продаже туристических товаров в системе спорткультторга по кварталам за 5 лет в тыс. у.е. рассчитать гарантийный запас товара в тыс. у.е. на квартал с указанной надёжностью γ и проанализировать плановые товарные запасы на квартал Решение. Поскольку σ неизвестно, то гарантийный запас обуви найдём по формуле , где . По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=1-0,96=0,04 и числом степеней свободы k=n-1=19 найдем tγ =2,20. Составляем расчётную таблицу для нахождения и S. № xi № xi 1 396 156816 12 418 174724 2 438 191844 13 412 169744 3 398 158404 14 480 230400 4 412 169744 15 478 228484 5 414 171396 16 519 269361 6 422 178084 17 429 184041 7 436 190096 18 437 190969 8 418 174724 19 391 152881 9 443 196249 20 368 135424 10 474 224676 Σ 8633 3750561 11 450 202500 Параметры вычисляем по формулам: Тогда Границы доверительного интервала ― это 431,65-17,5=414,12 слева и 431,65+17,5=449,18 Таким образом, гарантийный квартальный запас должен быть не менее 414,12 тыс. у.е. и не более 449,18 тыс. у.е. В эти рамки должно укладываться не менее 96% произведённых выборок. План 460 тыс. у.е. не соответствует этому интервалу. Определить тесноту связи между X и Y, составить уравнение регрессии. Решение. Для определения характера зависимости построим точки xi , yi . Видно, что все точки, кроме (14, 1346), (14,3, 1359) группируются около некоторой прямой. Следовательно, можно говорить о линейной регрессии. Будем искать уравнение регрессии в виде № xi yi xi yi 1 13.5 1362.0 182.25 1855044 18387 1364.04 2.04 2 13.6 1368.0 184.96 1871424 18604 1362.34 5.66 3 13.7 1357.0 187.69 1841449 18590 1360.64 3.64 4 13.8 1363.0 190.44 1857769 18809 1358.95 4.05 5 13.9 1360.0 193.21 1849600 18904 1357.25 2.75 6 14.0 1346.0 196.00 1811716 18844 1355.55 9.55 7 14.1 1354.0 198.81 1833316 19091 1353.85 0.15 8 14.2 1347.0 201.64 1814409 19127 1352.16 5.16 9 14.3 1359.0 204.49 1846881 19433 1350.46 8.54 10 14.4 1348.0 207.36 1817104 19411 1348.76 0.76 Σ 139,5 330 1946,85 18398712 189203 - - Искомые параметры a и b найдём из системы уравнений а =-16,96969 и b=1593,12727. Следовательно, искомая аппроксимирующая функция есть y=-16,96969х+1593,12727 Рассчитаем по этому уравнению ожидаемые значения выпечки хлеба. По значениям отклонений можно сделать вывод о том, что ожидаемые значения удовлетворительно согласуются с наблюдаемыми значениями у. Найдём выборочный коэффициент корреляции