Коэффициент детерминации. Значимость уравнения регрессии Федеральное агентство по образованию Всероссийский заочный финансово-экономический институт Кафедра экономико-математических методов и моделей по дисциплине «Эконометрика» Вариант № 3 Исполнитель: Глушакова Т.И. Специальность: Финансы и кредит Курс: 3 Группа: 6 № зачетной книжки: 07ффд41853 Руководитель: Денисов В.П. г. Омск 2009г. Задачи По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений (X, млн. руб.). Требуется: 1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии. - уравнение линейной регрессии, где - параметры уравнения. , где , - средние значения признаков. , где n – число наблюдений. Представим вычисления в таблице 1: Таблица 1. Промежуточные расчеты. t xi yi yi* xi xi*xi 1 38 69 2622 1444 2 28 52 1456 784 3 27 46 1242 729 4 37 63 2331 1369 5 46 73 3358 2116 6 27 48 1296 729 7 41 67 2747 1681 8 39 62 2418 1521 9 28 47 1316 784 10 44 67 2948 1936 средн. знач. 35,5 59,4 2108,7 1260,25 21734 13093 n 10 1,319 12,573 Таким образом, уравнение линейной регрессии имеет вид: Коэффициент регрессии равен 1,319>0, значит связь между объемом капиталовложений и выпуском продукции прямая, увеличение объема капиталовложений на 1 млн. руб. ведет к увеличению объема выпуска продукции в среднем на 1,319 млн. руб. Это свидетельствует об эффективности работы предприятий. 2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков. Вычислим прогнозное значение Y по формуле: Остатки вычисляются по формуле: . Представим промежуточные вычисления в таблице 2. Таблица 2. Вычисление остатков. 69 62,695 6,305 39,75303 52 49,505 2,495 6,225025 46 48,186 -2,186 4,778596 63 61,376 1,624 2,637376 73 73,247 -0,247 0,061009 48 48,186 -0,186 0,034596 67 66,652 0,348 0,121104 62 64,014 -2,014 4,056196 47 49,505 -2,505 6,275025 67 70,609 -3,609 13,02488 Дисперсия остатков вычисляется по формуле: . Построим график остатков с помощью MSExcel. Рис. 1. График остатков. 3. Проверить выполнение предпосылок МНК Проверим независимость остатков с помощью критерия Дарбина-Уотсона. Вычислим коэффициент Дарбина-Уотсона по формуле: . Данные для расчета возьмем из таблицы 2. dw = 0,803 Сравним полученное значение коэффициента Дарбина-Уотсона с табличными значениями границ и для уровня значимости 0,05 при k=1 и n=10. =0,88, =1,32, dw < d , значит, остатки содержат автокорреляцию. Наличие автокорреляции нарушает одну из предпосылок нормальной линейной модели регрессии. Проверим наличие гетероскедастичности. Т.к. у нас малый объем выборки (n=10) используем метод Голдфельда-Квандта. - упорядочим значения n наблюдений по мере возрастания переменной x и разделим на две группы с малыми и большими значениями фактора x соответственно. - рассчитаем остаточную сумму квадратов для каждой группы. Вычисления представим в таблицах 3 и 4. Таблица 3. Промежуточные вычисления для 1-го уравнения регрессии. t xi yi yi* xi xi*xi 1 27 46 1242 729 47 -1 1 2 27 48 1296 729 47 1 1 3 28 47 1316 784 49,5 -2,5 6,25 4 28 52 1456 784 49,5 2,5 6,25 средн. знач. 27,5 48,25 1326,875 756,25 5310,00 3026,00 n 4 2,5 - 20,5 14,5 Таблица 4. Промежуточные вычисления для 2-го уравнения регрессии. t xi yi yi* xi xi*xi 1 37 63 2331 1369 63,789 -0,789 0,623 2 38 69 2622 1444 64,582 4,418 19,519 3 39 62 2418 1521 65,375 -3,375 11,391 4 41 67 2747 1681 66,961 0,039 0,002 5 44 67 2948 1936 69,340 -2,340 5,476 6 46 73 3358 2116 70,926 2,074 4,301 средн. знач. 40,833 66,833 2729,028 1667,361 16424 10067 n 6 0,793 34,448 41,310 = = 2,849 где - остаточная сумма квадратов 1-ой регрессии, - остаточная сумма квадратов 2-ой регрессии. Полученное значение сравним с табличным значением F распределения для уровня значимости , со степенями свободы и ( - число наблюдений в первой группе, m – число оцениваемых параметров в уравнении регрессии). , , m=1. Если > , то имеет место гетероскедастичность. = 5,41 < , значит, гетероскедастичность отсутствует и предпосылка о том, что дисперсия остаточных величин постоянна для всех наблюдений выполняется. 4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента . Расчетные значения t-критерия можно вычислить по формулам: , , , =35,5 Промежуточные расчеты представим в таблице: Таблица 5. Промежуточные вычисления для расчета t- критерия xi 38 6,25 28 56,25 27 72,25 37 2,25 46 110,25 27 72,25 41 30,25 39 12,25 28 56,25 44 72,25 =490,50 для уровня значимости 0,05 и числа степеней свободы n-2=8 Так как и можно сделать вывод, что оба коэффициента регрессии значимые. 5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера , найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели. Коэффициент детерминации определяется по формуле: Из расчетов нам известно, что ; . Рассчитаем : Таблица 6. Промежуточные вычисления для расчета коэффициента детерминации. 69 9,6 92,16 52 -7,4 54,76 46 -13,4 179,56 63 3,6 12,96 73 13,6 184,96 48 -11,4 129,96 67 7,6 57,76 62 2,6 6,76 47 -12,4 153,76 67 7,6 57,76 =930,4 =0,917. Т.к. значение коэффициента детерминации близко к единице, качество модели считается высоким. Теперь проверим значимость уравнения регрессии. Рассчитаем значение F-критерия Фишера по формуле: Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т.к. > . Средняя относительная ошибка аппроксимации находится по формуле: Таблица 7. Промежуточные вычисления для расчета средней относительной ошибки аппроксимации. yi 69 6,305 0,091377 52 2,495 0,047981 46 -2,186 0,047522 63 1,624 0,025778 73 -0,247 0,003384 48 -0,186 0,003875 67 0,348 0,005194 62 -2,014 0,032484 47 -2,505 0,053298 67 -3,609 0,053866 , значит модель имеет хорошее качество. Рассчитаем коэффициент эластичности по формуле: 6. осуществить прогнозирование среднего значения показателя Yпри уровне значимости , если прогнозное значение фактора X составит 80% от его максимального значения. Рассчитаем стандартную ошибку прогноза , где =930,4 ; , для уровня значимости 0,1 и числа степеней свободы n-2=8 Доверительный интервал прогноза: Таким образом, =61,112 , будет находиться между верхней границей, равной 82,176 и нижней границей, равной 40,048. 7. Представить графически фактические и модельные значения Y точки прогноза. Воспользуемся данными из таблицы 2 для построения графиков с помощью MS Excel. Рис. 2. Фактические и модельные значения Y точки прогноза. 8. Составить уравнения нелинейной регрессии: гиперболической, степенной, показательной. Привести графики построенных уравнений регрессии. Построение степенной модели. Уравнение степенной модели имеет вид: Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения: Обозначим . Тогда уравнение примет вид – линейное уравнение регрессии. Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 1: Таблица 8. Расчет параметров уравнения степенной модели регрессии. t xi X Y YX X*X 1 38 1,5798 69 1,839 2,905 2,496 62,347 6,653 9,642 44,26 2 28 1,447 52 1,716 2,483 2,094 50,478 1,522 2,926 2,315 3 27 1,431 46 1,663 2,379 2,048 49,225 -3,225 7,010 10,399 4 37 1,568 63 1,799 2,821 2,459 61,208 1,792 2,845 3,212 5 46 1,663 73 1,863 3,098 2,765 71,153 1,847 2,530 3,411 6 27 1,431 48 1,681 2,406 2,049 49,225 -1,225 2,552 1,5 7 41 1,613 67 1,826 2,945 2,601 65,771 1,289 1,924 1,66 8 39 1,591 62 1,793 2,853 2,531 63,477 -1,477 2,382 2,182 9 28 1,447 47 1,672 2,419 2,094 50,478 -3,478 7,4 12,099 10 44 1,644 67 1,826 3,001 2,701 68,999 -1,999 2,984 3,997 Уравнение регрессии будет иметь вид: Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения: Вычислим коэффициент детерминации : =930,4; (1) Вычислим среднюю ошибку аппроксимации А: % (2) Коэффициент эластичности рассчитывается по формуле: (3) Рис. 3. График степенного уравнения регрессии. Построение показательной функции. Уравнение показательной кривой: Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого осуществим логарифмирование обеих частей уравнения: Обозначим Получим линейное уравнение регрессии: Рассчитаем его параметры, используя данные таблиц 1 и 8. Промежуточные расчеты представим в таблице 9. Таблица 9. Промежуточные расчеты для показательной функции. t xi Y y 1 38 1,839 69,882 69 62,632 6,368 10,167 40,552 2 28 1,716 48,048 52 49,893 2,107 4,223 4,44 3 27 1,663 44,901 46 48,771 -2,771 5,682 7,68 4 37 1,799 66,563 63 61,224 1,776 2,901 3,155 5 46 1,863 85,698 73 75,128 -2,128 2,832 4,528 6 27 1,681 45,387 48 48,771 -0,771 1,581 0,595 7 41 1,826 74,866 67 67,054 -0,054 0,08 0,003 8 39 1,793 69,927 62 64,072 -2,072 3,235 4,295 9 28 1,672 46,816 47 49,893 -2,893 5,798 8,369 10 44 1,826 80,344 67 71,788 -4,788 6,669 22,921 =63,2432 Уравнение будет иметь вид: Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения: Рассчитаем коэффициент детерминации по формуле (1). =930,4; Вычислим среднюю ошибку аппроксимации А по формуле (2): А=0,1*43,170=4,317% Коэффициент эластичности рассчитаем по формуле (3): % Построим график функции с помощью MSExcel. Рис. 4. График показательного уравнения регрессии. Построение гиперболической функции. Уравнение гиперболической функции Произведем линеаризацию модели путем замены Х=1/х. В результате получим линейное уравнение: Рассчитаем параметры уравнения, промежуточные вычисления представим в таблице 10. Таблица 10. Расчет параметров для гиперболической модели. t xi yi X=1/xi y*X 1 38 69 0,02632 1,81579 0,00069 63,5648 5,4352 7,877 29,5409 2 28 52 0,03571 1,85714 0,00128 50,578 1,422 2,7346 2,0221 3 27 46 0,03704 1,7037 0,00137 48,7502 -2,7502 5,9787 7,5637 4 37 63 0,02703 1,7027 0,00073 62,5821 0,4179 0,6634 0,1747 5 46 73 0,02174 1,58696 0,00047 69,8889 3,1111 4,2618 9,6791 6 27 48 0,03704 1,77778 0,00137 48,7502 -0,7502 1,563 0,5628 7 41 67 0,02439 1,63415 0,00059 66,2256 0,7744 1,1559 0,5998 8 39 62 0,02564 1,58974 0,00066 64,4972 -2,4972 4,0278 6,2362 9 28 47 0,03571 1,67857 0,00128 50,578 -3,578 7,6128 12,8021 10 44 67 0,02273 1,52273 0,00052 68,5235 -1,5235 2,2738 2,3209 Уравнение гиперболической модели: Рассчитаем коэффициент детерминации по формуле (1). =930,4; Вычислим среднюю ошибку аппроксимации А по формуле (2): А=0,1*38,1488=3,81488% Коэффициент эластичности рассчитаем по формуле (3): % Построим график функции с помощью MSExcel. Рис. 5 График гиперболического уравнения регрессии. 9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать выводы. Коэффициенты были рассчитаны в задании 8. Для сравнения моделей составим сводную таблицу 11: Таблица11. Сводная таблица характеристик моделей. параметры модель Коэффициент детерминации, R Коэффициент эластичности, (%) Средняя относительная ошибка аппроксимации, А (%) Линейная 0,917 0,788 3,648 Степенная 0,909 0,692 4,22 Показательная 0,896 0,817 4,317 Гиперболическая 0,923 0,638 3,815 Для всех моделей средняя относительная ошибка аппроксимации не превышает 7%, значит, качество всех моделей хорошее. Коэффициент детерминации более приближен к 1 у гиперболической модели, таким образом, эту модель можно взять в качестве лучшей для построения прогноза. Для гиперболической модели степень связи между факторным и результативным признаком самая низкая, т.к. имеет наименьшее значение, а для показательной модели самая высокая, т.к. коэффициент эластичности наибольший.