Методы оптимизации при решении уравнений Контрольная работа «Методы оптимизации при решении уравнений » Задание №1 Определить, существует ли кривая , доставляющая функционалу экстремум и, если существует, то найти ее уравнение. Решение: Составим уравнение Эйлера и найдём его общее решение: Используем краевые условия: Решаем систему уравнений и получаем: Таким образом, экстремаль имеет уравнение вида Так как то функционал на прямой достигает минимума. Задание №2 Найти, используя уравнение Эйлера-Лагранжа, оптимальное управление , минимизирующее функционал для системы, описываемой уравнениями , при начальных и конечных условиях соответственно: A B t0 tf x0 xf a b 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 Решение Формируем задачу по исходным данным: (1) (2) Составим функцию Лагранжа и гамильтониан: и соответственно уравнения Эйлера-Лагранжа (здесь для Н): (3) (4) Используя замену (3), подставим выражения (4) во второе уравнение динамики в (1): и находим общее решение (5) Подставим его в первое уравнение (1): и находим общее решение: (6) Для из (6) и из (5) используем начальные и конечные условия и получаем систему уравнений для констант С1 , С2 , С3 , С4 ,: Таким образом, решение имеет вид: которое удовлетворяет начальным и конечным условиям. Задание №3 Для системы, описываемой уравнениями с заданными условиями на начальное и конечное значение координат, найти оптимальное управление , минимизирующее функционал A B t0 tf x0 xf g0 a b 0 1 0 0 0 1 0 t 1 0 x1 (tf ) = -tf 2 0 0 1 Решение. Формулируем задачу по исходным данным (1) (2) т.е. ,подвижна на правом конце, координата - свободна на правом конце, Составим функцию Гамильтона Н (или функцию Лагранжа L) (3) и соответствующие уравнения Эйлера-Лагранжа: (4) (5) (6) Составим вспомогательную функцию , где .Таким образом: . (7) Поскольку и подвижны, то используем условия трансверсальности: (8) (9) Так как не фиксирован момент времени , то используем условие трансверсальности Найдем значение при из (3), но учтем, что , а из (9). Тогда, учитывая (4): и используя (10) получим: (11) Подставляя (4), (5) и (6) в (2), а потом в (1) и интегрируя получим: (12), (13) Используя начальные условия, можем записать: Запишем условие с учетом (13). Тогда: (14) Уравнения (9), (11) и (14) составляют систему уравнений с тремя неизвестными С1 , С2 и : Подставляя 1-е уравнение во 2-е, получим: , а подставляя 1-е в третье, получим: Таким образом, решение имеет вид: Задание №4 Используя метод динамического программирования найти оптимальное уравнение для системы A B t0 tf F a b 0 1 0 0 0 1 0 ∞ 0 1 0 0 2 1 Решение: Формируем задачу по исходным данным. (1) – не ограничено, то есть . Составим уравнение Беллмана с учетом того, что (S-функция Беллмана) (2) (3) (4) Из (3) находим: (5) Подставим (5) в (4) (6) Представим функцию Беллмана в виде квадратичной формы (7) причем это должна быть положительно определенная квадратичная форма, а значит (8) т.е. матрица должна быть положительно определённой. Вычисляя выражения: (9) подставим их в (6) и обратим коэффициенты при , и в ноль, т.к. справа у нас ноль: Отсюда: (10) (11) (12) Если , то Þ S < 0, что нельзя допустить. Тогда: а следовательно а12 и а22 должны быть одного знака, так как а11 > 0. Тогда а12 = 1/2, а22 = 1, а11 = 1. Таким образом, решение имеет вид (из (5) и (9)): Задача 5 Используя принцип максимума Понтрягина найти оптимальное управление для линейной системы в задаче: А В t0 tf х0 xf |u| 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 x1 ®max 0 0 £1 Решение: Формируем задачу по исходным данным: (4) Составим функцию Гамильтона Уравнения Эйлера-Лагранжа имеет вид: (5) (6) (7) Поскольку – подвижна, то используем условие трансверсальности: Но из (5) видно, что y1 = С1 Þ С1 = 1. Тогда из (7) видно, что y3 = t2 /2-C2 t+C3 , - то есть это квадратичная парабола ветвями вверх, которая может дважды пересечь уровень y3 = 0 и возможных порядок следования интервалов знакопостоянства следующий: +, -, +. Из принципа максимума следует: , а следовательно: Тогда, поскольку y3 меняет знак дважды, (пусть в моменты t1 и t2 ) можем записать (8) Подставим в (3) и получим, проинтегрировав уравнение (3) (9) Используя начальные и конечные условия для х3 и условия непрерывности в t1 и t2 получим: (10) Подставим (9) и константы из (10) в (2) и проинтегрируем. Получим: (11) Используя начальные и конечные условия для х2 и условия непрерывности в t1 и t2 , получим: Используем непрерывность при и : Собрав уравнения (10) и полученное уравнение составим систему уравнений: (12-14) Подставив (12) в (13), получим уравнение . Подставим (13) в полученное уравнение (вместо ): Тогда t1 из (12) равно и, наконец, Подставим (11), с учетом найденных констант в (1): (15) Исходя из начального условия и условия непрерывности получим: Таким образом: моменты переключения: t1 =1/4, t2 =3/4, а заданы уравнениями(15), (11), (9) и (8) с известными константами. Задание №6 Установить управляемость и наблюдаемость линейной системы: где . Решение: Для оценки управляемости составим матрицу управляемости (учтем, что n=3); Y = (B, AB, A2 B): Таким образом Взяв минор из 1,2 и 3 столбцов можно видеть, что . Следовательно, rang(Y)=3=n и система вполне управляема. Для оценки наблюдаемости системы составим матрицу наблюдаемости (n=3): H=(CT , AT CT , (AT )2 CT ); . Таким образом Взяв минор из 1, 2 и 3 столбцов можно видеть, что Таким образом rang(H) = 3 = n, а следовательно система вполне наблюдаема. Задание №7 Для линейной системы и квадратичного критерия выполнить синтез оптимального управления с обратной связью A B Q R 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 Решение: Требуется выполнить синтез стационарного регулятора. Для этого воспользоваться алгебраическим матричным уравнением Риккати: где , причем матрица l>0 (положительно определена). Сравнивая коэффициенты матрицы слева и справа, стоящих на одинаковых местах получим систему уравнений: Решая систему уравнений с учетом положительной определенности матрицы l, получим: Тогда для уравнения, которое имеет вид получим: