Высшая математика Матрица Министерство образования Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) 2003 1(Т85.РП). Найдите матрицу D=(AC-AB), если А= 1 0 ,C= 3 4 4 , B= -3 1 4 . 2 -2 1 -3 5 2 -3 4 (В ответ ввести вторую строку матрицы D.) Решение: Размеры матриц А и С согласованны, т.к. число элементов в строке матрицы А равно числу элементов в столбце матрицы В. а*с= 1 0 * 3 4 4 = 1*3+0*1 1*4+0*(-3) 1*4+0*5 = 3 4 4 2 -2 1 -3 5 2*3+(-2)*1 2*4-2*(-3) 2*4-2*5 4 14 -2 А*В= 1 0 * -3 1 4 = 1*(-3)+0*2 1*1+0*(-3) 1*4+0*4 = -3 1 4 2 -2 2 -3 4 2*(-3)-2*2 2*1-2*(-3) 2*4-2*4 -10 8 0 D=А*С-А*В= 3 4 4 _ -3 1 4 = 3-(-3) 4-1 4-4 = 6 3 0 4 14 -2 -10 8 0 4-(-10) 14-8 -2-0 14 6 -2 Ответ :14 , 6 , -2. 2(3ТО).Вычислите определитель D= 2 2 1 0 1 1 1 0 1 2 2 1 0 3 2 2 Решение: 2 2 1 0 1 1 1 0 1 2 2 1 = 0 3 2 2 Умножим третью строку на (-2) и сложим с четвёртой строкой , результат запишем в четвёртую строку: 2 2 1 0 1 1 1 0 = 1 2 2 1 = -2 -1 -2 0 Данный определитель разложим по элементам четвёртого столбца : 3+4 2 2 1 = 1*(-1) * 1 1 1 = -2 -1 -2 Умножим вторую строку на (-2) и сложим с первой, результат запишем в первую строку . Умножим вторую строку на 2 и сложим с третьей , результат запишем в третью строку . 0 0 -1 = - 1 1 1 = - (-1) 1+3 * (-1) * 1 1 = 1-0 =1; 0 1 0 0 1 Ответ: D = 1. 3(598.Р7).Решите матричное уравнение 1 2 1 1 1 -1 X* 4 3 -2 = 16* -1 2 3 -5 -4 -1 0 -1 -2 . Решение: A*X=B , X=A-1 *B Найдём det A: 1 2 1 det A= 4 3 -2 = 1*3*(-1)+1*4*(-4)+2*(-2)*(-5)-1*3*(-5)-2*4*(-1)-1*(-2)*(-4)= -5 -4 -1 =-19+20+15-8+8=16 ; det= 16 ≠ 0; Составим матрицу А -1 , обратную матрицы А: А1 1 = 3 -2 = -3 –8 = -11 -4 -1 А1 2 = - 4 -2 = -(-4-10) = 14 -5 -1 А1 3 = 4 3 = -16+15 = -1 -5 -4 A2 1 = - 2 1 = -(-2+4) = -2 -4 -1 A2 2 = 1 1 = -1+5 = 4 -5 -1 A2 3 = - 1 2 = - (-4+10) = -6 -5 -4 A3 1 = 2 1 = - 4-3 = -7 3 -2 A3 2 = - 1 1 = - (-2-4) = 6 –2 A3 3 = 1 2 = 3 –8 = -5 4 3 -11/16 -2/16 -7/16 А-1 = 14/16 4/16 6/16 -1/16 -6/16 -5/16 -11/16 -2/16 -7/16 1*16 1*16 -1*16 Х = 14/16 4/16 6/16 * -1*16 2*16 3*16 = -1/16 -6/16 -5/16 0*16 -1*16 2*16 -11*1+(-2*(-1))+(-7*0) -11*1+(-2*2)+(-7*(-1)) -11*(-1)+(-2*3)+(-7*2) = 14*1+4*(-1)+6*0 14*1+4*2+6*(-1) 14*(-1)+4*3+6*2 = -1*1+(-6*(-1))+(-5*0) -1*1+(-6*2)+(-5*(-1)) -1*(-1)+(-6*3)+(-5*2) -9 -8 -9 = 10 16 10 5 -8 -27 Ответ : Х = : -9 , -8 , -9 : 10 , 16 , 10 : 5 , -8 , -27 . 4(4П5).При каком значении параметра p , если он существует , 1 2 -2 1 последняя строка матрицы А = 2 -3 3 2 является линейной комбинацией первых 1 -1 1 2 8 -7 p 11 трёх строк? Решение : Вычислим detA: 1 2 -2 1 1 2 -2 1 -7 7 0 -7 7 0 det A = 2 -3 3 2 = 0 -7 7 0 = 3 -3 -1 = 3 -3 -1 = 1 -1 1 2 0 3 -3 -1 23 -16-p -3 14 -7-p 0 8 -7 p 11 0 23 -16-p -3 -1*(-1) 2+3 * -7 7 = 49 + 7p – 98 = 7p - 49 14 -7-p Если detA=0 , то ранг матрицы А равен двум , т.е. 7p – 49 = 0 , p = 7. Третья строка по теореме о базисном миноре является комбинацией первых двух . Обозначим коэффициенты этой комбинации через λ1 и λ2 , λ3 ,тогда (8,-7,7,11) = λ1 (1,2,-2,1)+ + λ2 (2,-3,3,2) + λ3 (1,-1,1,2); Имеем систему : λ1 + 2λ2 + λ3 = 8 * 2 2λ1 - 3λ2 - λ3 = -7 -2λ1 + 3λ2 + λ3 = 7 λ1 + 2λ2 + 2λ3 = 11 Решим данную систему методом Гаусса : λ1 + 2λ2 + λ3 = 8 1) λ3 = 3 7λ2 + 3λ3 = 23 2) 7λ2 + 9 = 23 7λ2 + 3λ3 = 23 7λ2 = 14 λ3 = 3 λ2 = 2 3) λ1 + 2*2 + 3 =8 λ1 = 1 коэффициенты линейных комбинаций λ1 = 1 ; λ2 = 2 ; λ3 = 3 ; Ответ : (8,-7,7,11) = 1(1,2,-2,1)+ 2(2,-3,3,2) + 3(1,-1,1,2) . 5. Относительно канонического базиса в R3 даны четыре вектора f1 (1,1,1) , f2 (1,2,3) , f3 (1,3,6), x(4,7,10). Докажите, что векторы f1 , f2 , f3 можно принять за новый базис в R3 . (ТР0.РП) . Найдите координаты вектора x в базисе fi . Составим определитель из компонент векторов и f1 , f2 , f3 вычислим его : 1 1 1 1 1 1 ∆ = 1 2 3 = 0 1 2 = 1*(-1)1+1 * 1 2 = 5 – 4 = 1 1 3 6 0 2 5 2 5 Так как ∆ ≠ 0 , то векторы f1 , f2 , f3 образуют базис трёхмерного пространства R3 Для вычисления координат вектора x в этом базисе составим систему линейных уравнений : х1 + х2 + х3 = 4 *(-1) х1 + 2х2 + 3х3 = 7 х1 + 3х2 + 6х3 = 10 х1 + х2 + х3 = 4 х2 + 2х3 = 3 *(-2) 2х2 + 5х3 = 6 х1 + х2 + х3 = 4 1) х3 = 0 3) х1 + 3+ 0= 4 х2 + 2х3 = 3 2) х2 + 0= 3 х1 = 4 - 3 х3 = 0 х2 = 0 х1 = 1 х1 = 1 , х2 = 0 , х3 = 0 . Решение этой системы образует совокупность координат вектора x в базисе f1 , f2 , f3 x(1;3;0); x = f1 + 3f2 + 0f3 ; x = f1 + 3f2 . Ответ : координаты вектора x (1;3;0). 6. Докажите , что система 2х1 + 2х2 + х3 = 8, х1 + х2 + х3 = 3, х1 + 2х2 + 2х3 + х4 = 3, 3х2 + 2х3 +2х4 = 3 имеет единственное решение . (362).Неизвестное х2 найдите по формулам Крамера . (0М1.РЛ) . Решите систему методом Гаусса . Решение: Составим матрицу из коэффициентов при переменных 2 2 1 0 А = 1 1 1 0 1 2 2 1 0 3 2 2 Вычислим определитель матрицы А 2 2 1 0 2 2 1 0 2 2 1 1 1 0 ∆ = 1 1 1 0 = 1 1 1 0 = (-1)3+4 * 1 1 1 = - 1 1 1 = 1 2 2 1 1 2 2 1 -2 -1 -2 0 1 0 0 3 2 2 -2 -1 -2 0 = - (-1)2+3 * 1 1 = 1 0 1 ∆ ≠ 0, тогда система имеет решение х2 = ∆ х2 /∆ 2 8 1 0 2 8 1 0 2 8 1 2 8 1 ∆ х2 = 1 3 1 0 = 1 3 1 0 = (-1)3+4 * 1 3 1 = - 1 5 0 = 1 3 2 1 1 3 2 1 -2 -3 -2 0 3 0 0 3 2 2 -2 -3 -2 0 = -(-1)1+3 * 1 5 = ( 3 + 0 ) = 3 0 8 х2 = 3 /1 = 3. Решим систему методом Гаусса 2х1 + 2х2 + х3 = 8 *(-2) *(-1) х1 + х2 + х3 = 3 х1 + 2х2 + 2х3 + х4 = 3 3х2 + 2х3 +2х4 = 3 х1 + х2 + х3 = 3 - х3 = 2 х2 + х3 + х4 = 0 *(-3) 3х2 + 2х3 +2х4 = 3 х1 + х2 + х3 = 3 х2 + х3 + х4 = 0 - х3 - х4 = 3 х3 = -2 1) х3 = - 2 3) х2 - 2 - 1= 0 2) 2 - х4 = 3 х2 = 3 х4 = -1 4) х1 + 3 - 2 = 3 х1 = 2 Проверка : 2 + 3 – 2 =3, 3 = 3 4 + 3*3 – 2 = 8, 8 = 8 2 + 6 – 4 – 2 = 3, 3 =3 9 – 4 – 2 = 3 , 3 = 3. Ответ : х1 = 2 , х2 = 3 , х3 = - 2 , х4 = -1. 7. Дана система линейных уравнений 3х1 + х2 - х3 - х4 = 2, 9х1 + х2 - 2х3 - х4 = 7, х1 - х2 - х4 = -1, х1 + х2 - х3 -3х4 = -2. Докажите ,что система совместна . Найдите её общее решение . (392.БЛ). Найдите частное решение , если х4 = 1 . Доказательство : Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда , когда ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы . Составим расширенную матрицу : 3 1 -1 -1 2 0 -2 2 8 8 0 0 1 6 7 А = 9 1 -2 -1 7 → 0 -8 7 26 25 → 0 0 3 18 21 =0 1 -1 0 -1 -1 0 -2 1 2 1 0 -2 1 2 1 1 1 -1 -3 -2 1 1 -1 -3 -2 1 1 -1 -3 -2 Первая и вторая строка пропорциональны следовательно А = 0. Поэтому ранг матрицы и расширенной матрицы равны 3 поэтому система является совместной . Решим систему методом Гаусса : запишем последнее уравнение на первое место : х1 + х2 - х3 -3х4 = -2 3х1 + х2 - х3 - х4 = 2 9х1 + х2 - 2х3 - х4 = 7 х1 - х2 - х4 = -1 1 1 -1 -3 -2 1 1 -1 -3 -2 1 1 -1 -3 -2 С = 3 1 -1 -1 2 → 0 2 -2 -8 -8 → 0 2 -2 -8 -8 → 9 1 -2 -1 7 0 8 -7 -26 -25 0 0 -1 -6 -7 1 -1 0 -1 -1 0 2 -1 -2 -1 0 0 -1 -6 -7 х1 + х2 - х3 -3х4 = -2 → 2х2 - 2х3 -8х4 = -8 - х3 -6х4 = -7. 1) х3 = 7 - 6х4 2) х2 - х3 -4х4 = -4 х2 = х3 + 4х4 - 4 х2 = 7 - 6х4 + 4х4 - 4 х2 = 3 - 2х4 3) х1 = - х2 + х3 + 3х4 - 2 х1 = - 3+ 2х4 + 7 - 6х4 + 3х4 – 2 х1 = 2-х4 . Получаем общее решение системы : х1 = 2-х4 х2 = 3 - 2х4 х3 = 7 - 6х4. Найдём частное решение , если х4 = 1 тогда х1 = 2– 1 = 1; х2 = 3 – 2*1 = 1; х3 = 7 – 6*1 =1. Ответ : (1;1;1;1) – частное решение . 8. Дана система линейных однородных уравнений 2х1 +3х2 - х3 - х4 + х5 = 0, 3х1 - 2х2 - 3х3 -3х5 = 0, х1 - 3х2 + 2х3 -5х4 -2х5 = 0. Докажите , что система имеет нетривиальное решение . Найдите общее решение системы . Найдите какую-нибудь фундаментальную систему решений Доказательство : Система имеет нетривиальное решение тогда и только тогда , когда ранг её матрицы меньше числа неизвестных .В этом случае ранг матрицы не больше трёх , а переменных в системе пять . Решим систему методом Гаусса . Запишем матрицу системы : 2 3 -1 -1 1 1 -3 2 -5 -2 А = 3 -2 3 0 -3 → 0 9 -5 9 5 │*7 → 1 -3 2 -5 -2 0 7 -3 15 3 │*(-9) 1 -3 2 -5 -2 → 0 9 -5 9 5 0 0 -8 -72 8 х1 -3х2 + 2х3 - 5х4 -2х5 = 0 9х2 - 5х3 + 9х4 +5х5 = 0 -8х3 -72х4 +8х5 = 0 1) 8х3 = -72х4 + 8х5 х3 = - 9х4 + х5 2) 9х2 + 45х4 - 5х5 + 9х4 +5х5 = 0 9х2 + 36х4 = 0 х2 = - 4х4 3) х1 +12х4 - 18х4 + 2х5 - 5х4 -2х5 = 0 х1 - 11х4 = 0 х1 =11х4 Общее решение системы : х1 =11х4 х2 = - 4х4 х3 = - 9х4 + х5 Найдём фундаментальную систему решений , положив х4 = 1 , х5 = 0. х1 =11*1 = 11, х2 = - 4*1 = -4, х3 = - 9*1 + 0 = -9. Пусть х4 = 0, х5 = 1. х1 =11*0 = 0, х2 = - 4*0 = 0, х3 = - 9*0 + 1 = 1. Ответ : (11;-4;-9;1;0) (0; 0; 1; 0; 1). 9 (3СА). Найдите площадь параллелограмма , построенного на векторах а = 2р + 3r, b = p –2r , | p | = √2 , | r | = 3, (p,^r) = 45° . Решение : S =| [а , b] | = | [2р + 3r , p –2r] | = | 2[p , p] - 4[p, r ] + 3[r , p] -6[r , r] | [p , p] = 0 , [r , r] = 0 , [r , p] = - [p, r ] . S = | 7[r , p] | = 7| r | * | p | * sinφ S = 7 * 3 * √2 * sin 45° = 21 * √2 * √2 / 2 =21 . Ответ :S =21 . 10 (78Т). Вычислите ПрBD [BC ,CD] , если B(6,3,3) ; C(6,4,2) ; D(4,1,4) . Решение : Найдём координаты векторов BD = ( 4 – 6 , 1 – 3 , 4 – 3 ) = ( - 2 ; - 2 ; 1 ), BC = ( 6 – 6 , 4 – 3 , 2 – 3 ) = ( 0 ; 1 ; - 1 ), CD = ( 4 – 6 , 1 – 4 , 4 – 2 ) = ( - 2 ; - 3 ; 2 ). Найдём векторное произведение : i j k [BC ,CD] = 0 1 -1 = i (2 – 3) – j (0 –2) + k (0 + 2) = - i + 2j + 2k . -2 -3 2 Пусть [BC ,CD] = а , тогда а = ( -1 ; 2 ; 2 ) ПрBD а = ( BD , a ) /| BD | ( BD , a ) = -2*( -1 ) – 2*2 + 1*2 = 2 –4 + 2 = 0 . ПрBD а = 0 . Ответ : ПрBD а = 0 . 11. Линейный оператор А действует в R3 → R3 по закону Ax = (- х1 + 2х2 + x3 , 5х2 , 3х1 + 2х2 + х3 ), где х( х1 , х2 , х3 ) – произвольный вектор .(125.РП). Найдите матрицу А этого оператора в каноническом базисе . Докажите , что вектор х(1,0 ,3) является собственным для матрицы А .(Т56). Найдите собственное число λ0 ,соответствующее вектору х . (Д25.РП). Найдите другие собственные числа , отличные от λ0 . Найдите все собственные векторы матрицы А и сделайте проверку . Решение : Ax = (- х1 + 2х2 + x3 ; 5х2 ; 3х1 + 2х2 + х3 ) Найдём матрицу в базисе l1 , l2 , l3 Al 1 = (-1 ; 2 ;1) Al 2 = (0 ; 5 ; 0) Al 3 = (3 ; 2 ; 1) -1 2 1 A = 0 5 0 3 2 1 . Докажем , что вектор х = (1 ,0 ,3) является собственным для матрицы А. Имеем -1 2 1 1 -1 + 0 + 3 2 1 Aх = 0 5 0 * 0 = 0 + 0 + 0 = 0 = 2 * 0 3 2 1 3 3 + 0 + 3 6 3 . Отсюда следует , что вектор х = (1 ,0 ,3) собственный и отвечает собственному числу λ = 2 . Составляем характеристическое уравнение : -1 – λ 2 1 0 5 – λ 0 = 0 3 2 1 – λ (5 – λ)*((-1 – λ)*(1 – λ) – 3) = 0 5 – λ = 0 или λ2 –1 – 3 = 0 λ2 = 4 λ= ±2 λ1 = 2 , λ2 = -2 , λ3 = 5 . Запишем систему для определения собственного вектора, отвечающего собственному числу λ = -2. х1 + 2х2 + х3 = 0 х2 = 0 7х2 = 0 3х1 + 2х2 + 3х3 = 0 х1 + х3 = 0 х1 = -х3 3х1 + 3х3 = 0 Пусть х3 = 1 ,тогда х1 = -1 , имеем собственный вектор х1 = (-1 ;0 ;1) . Проверка : -1 2 1 -1 1 + 0 + 1 2 -1 A = 0 5 0 * 0 = 0 + 0 + 0 = 0 = -2 * 0 3 2 1 1 -3 + 0 + 1 -2 1 Следовательно , х1 = (-1 ;0 ;1) собственный вектор и отвечает собственному числу λ = -2. Найдём собственный вектор для λ = 5 -6х1 + 2х2 + х3 = 0 3х1 + 2х2 - 4х3 = 0 -9х1 + 5х3 = 0 х1 = 5/9 х3 -6*(5/9 х3 ) + 2х2 + х3 = 0 -10/3 х3 + х3 + 2х2 = 0 2х2 = 7/3 х3 х2 = 7/6 х3 . Пусть х3 = 18 , тогда х1 = 10 , х2 = 21 . Вектор х2 = (10 ;21 ;18) собственный вектор . Проверка -1 2 1 10 -10 + 42 + 18 50 10 A = 0 5 0 * 21 = 0 + 105 + 0 = 105 = 5 * 21 3 2 1 18 30 + 42 + 18 90 18 . Следовательно , х2 = (10 ;21 ;18) собственный и отвечает собственному числу λ = 5 . Ответ : матрица в каноническом базисе : -1 , 2 , 1 : 0 , 5 , 0 : 3 , 2 , 1; вектор х = (1 ,0 ,3) собственный и отвечает собственному числу λ = 2 , х1 = (-1 ;0 ;1) собственный вектор и отвечает собственному числу λ = -2 , х2 = (10 ;21 ;18) собственный и отвечает собственному числу λ = 5 . 12(Д01.РП).Составьте общее уравнение прямой , проходящей через точку М(1,4) параллельно прямой 2х + 3y + 5 = 0. Решение : Найдём угловой коэффициент прямой 2х + 3y + 5 = 0. 3y = -2x –5 y = -2/3 x – 5/3 κ = -2/3 Так как исходная прямая параллельна данной , то её угловой коэффициент равен κ = -2/3 . Уравнение прямой имеющей угловой коэффициент κ и проходящей через точку М(х0 ,y0 ) записывается в виде y – y0 = κ(x – x0 ). Имеем y – 4 = -2/3 (x – 1) 3y – 12 = -2x + 2 2х + 3y - 14 = 0. Ответ : 2х + 3y - 14 = 0 – уравнение искомой прямой . 13(3А2.РП).Найдите координаты проекции точки М(3,6) на прямую х + 2y – 10 = 0. Решение : Пусть N – проекция точки М на данную прямую . Составим уравнение прямой MN угловой коэффициент заданной прямой х + 2y – 10 = 0 равен κ1 = -1/2 , тогда угловой коэффициент прямой MN равен κ2 = 2 . Тогда уравнение MN имеет вид y – y0 = 2(x – x0 ) . Для определения координат точки N решим систему уравнений х + 2y – 10 = 0 y – y0 = 2(x – x0 ) , x0 = 3 , y0 = 6 . х + 2y – 10 = 0 2х + 4y – 20 = 0 y – 6= 2(x – 3) -2х + y = 0 4y = 20 y = 4 2х = y х = Ѕ y х = Ѕ * 4 = 2 х = 2 . Ответ : координаты проекции точки М(3,6) на прямую х + 2y – 10 = 0 N(2,4). 14(103.БЛ). Запишите общее уравнение плоскости , походящей через три заданные точки M1 (-6,1,-5) , M2 (7,-2,-1) , M3 (10,-7,1) . Решение : Уравнение плоскости , проходящей через 3 точки имеет вид x-x1 y-y1 z-z1 x2-x1 y2-y1 z2-z1 = 0 x3-x1 y3-y1 z3-z1 x-6 y-1 z+5 7+6 -2-1 -1+5 = 0 10+6 -7-1 1-5 x-6 y-1 z+5 13 -3 4 = 0 16 -8 -4 (x –6)* -3 4 - (y – 1)* 13 4 + (z + 5)* 13 -3 = (x –6)*(12+32) – (y – 1)*(-52-64)+ -8 -4 16 -4 16 -8 + (z + 5)*(-104+48) = 0 (x –6)*44 - (y – 1)*(-116) + (z + 5)*(-56) = 0 11*(x –6) + 29*(y – 1) – 14*(z + 5) = 0 11x – 66 + 29y – 29 – 14z – 70 = 0 11x + 29y – 14z – 165 = 0 . Ответ : общее уравнение плоскости 11x + 29y – 14z – 165 = 0 . 15.Дана кривая 4x2 – y2 – 24x + 4y + 28 = 0 . 8.1.Докажите , что эта кривая – гипербола . 8.2 (325.Б7).Найдите координаты её центра симметрии . 8.3 (Д06.РП).Найдите действительную и мнимую полуоси . 8.4 (267.БЛ). Запишите уравнение фокальной оси . 8.5. Постройте данную гиперболу . Решение : Выделим полные квадраты 4(x2 – 6x + 9) – 36 – (y2 – 4y + 4) + 4 + 28 = 0 4(x – 3)2 – (y – 2)2 – 4 = 0 4(x – 3)2 – (y – 2)2 = 4 ((x – 3)2/1) – ((y – 2)2/4) = 1 Положим x1 = x – 3 , y1 = y – 2 , тогда x1 2/1 – y1 2/4 =1 . Данная кривая является гиперболой . Определим её центр x1 = x – 3 = 0 , x = 3 y1 = y – 2 = 0 , y = 2 (3 ; 2) - центр . Действительная полуось a =1 . Мнимая полуось b =2 . Уравнение асимптот гиперболы y1 = ± b/ax1 (y – 2) = (± 2/1)*(x – 3) y –2 = 2x – 6 и y – 2 = -2(x – 8) 2x – y – 4 = 0 2x + 2y – 8 = 0 x + y – 4 = 0 . Определим фокусы гиперболы F1 (-c ; 0) , F2 (c ; 0) c2 = a2 + b2 ; c2 = 1 + 4 = 5 c = ±√5 F1 (-√5; 0) , F2 (√5 ; 0). F1 ′(3 - √5; 2) , F2 ′ (3 + √5; 2). Уравнение F1 ′ F2 ′ (x – 3 + √5) / (3 + √5 – 3 + √5) = (y – 2) /(2 – 2) ; y = 2 Ответ: (3 ; 2) , действительная полуось a =1 , мнимая полуось b =2, (x – 3 + √5) / (3 + √5 – 3 + √5) = (y – 2) /(2 – 2) ; y = 2 . 16.Дана кривая y2 + 6x + 6y + 15 = 0. 16.1.Докажите , что эта кривая – гипербола . 16.2(058.РП). Найдите координаты её вершины . 16.3(2П9). Найдите значения её параметра p . 16.4(289.РП). Запишите уравнение её оси симметрии . 16.5.Постройте данную параболу . Решение : Выделим полный квадрат при переменной y (y2 + 6y + 9) + 6x + 6 = 0 (y + 3)2 = - 6(x + 1) . Положим y1 = y + 3 , x1 = x + 1 . Получим y1 2 = ±6x1 . Это уравнение параболы вида y2 = 2px , где p = -3 . Данная кривая является гиперболой . Так как p<0 , то ветви параболы в отрицательную сторону. Координаты вершины параболы y + 3 = 0 x + 1 = 0 y = -3 x = -1 (-1 ; -3) – вершина параболы . Уравнение оси симметрии y = -3. Ответ : (-1 ; -3) – вершина параболы , p = -3 , уравнение оси симметрии y = -3 .