Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 51
|
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ НОУ ВПО «С.И.Б.У.П.» Контрольная работа
по
дисциплине «Высшая математика»
Вариант 13.
Выполнила студентка Проверил: Красноярск, 2008г. A = B + C, где B: работает только 1-й (2-й простаивает); C: работает только 2-й (1-й простаивает). Каждое из этих событий есть произведение 2 независимых событий: B = D C = где D, E – события, состоящие в том, что 1-й и 2-й комбайны работают; P (D) = 0,8 P (E) = 0,6 P ( P ( По теоремам сложения и умножения вероятностей P (A) = P (B) + P (C) = P (D) P ( Б) Данное событие (оба комбайна простаивают) есть произведение 2 независимых событий: F = По теореме умножения вероятностей P (F) = P ( Вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда, равна 0,01. Найти наиболее вероятное число опоздавших из 800 пассажиров и вероятность такого числа опоздавших. Происходит n = 800 независимых испытаний, в каждом из которых данное событие (опоздание на поезд) происходит с вероятностью p = 0,01. Наиболее вероятное число наступлений события удовлетворяет неравенствам np – q ≤ k < np + p, где q = 1 – p = 1 – 0,01 = 0,99 800 * 0,01 – 0,99 ≤ k < 800 * 0,01 + 0,01 7,01 ≤ k < 8,01 k = 8 Так как n велико, p мала, соответствующую вероятность найдем по формуле Пуассона: Pn (k) = где a = np = 800 * 0,01 = 8 На двух автоматических станках производятся одинаковые изделия, даны законы распределения числа бракованных изделий, производимых в течение смены на каждом из них для первого и для второго. X 0 1 2 Y 0 2 p 0,1 0,6 0,3 p 0,5 0,5 Составить закон распределения случайной величины Z = X + Y числа производимых в течение смены бракованных изделий обоими станками. Составить функцию распределения и построить ее график. Проверить свойство математического ожидания суммы случайных величин. Величина Z может принимать значения: 0 + 0 = 0 0 + 2 = 2 1 + 0 = 1 1 + 2 = 3 2 + 0 = 2 2 + 2 = 4 Вероятности этих значений (по теоремам сложения и умножения вероятностей): P (Z = 0) = 0,1 * 0,5 = 0,05 P (Z = 1) = 0,6 * 0,5 = 0,3 P (Z = 2) = 0,1 * 0,5 + 0,3 * 0,5 = 0,2 P (Z = 3) = 0,6 * 0,5 = 0,3 P (Z = 4) = 0,3 * 0,5 = 0,15 Закон распределения: Z 0 1 2 3 4 p 0,05 0,3 0,2 0,3 0,15 Проверка: ∑ pi = 0,05 + 0,3 + 0,2 + 0,3 + 0,15 = 1. Функция распределения F (x) = P (X < x) = Математические ожидания: M (x) = ∑ xipi = 0 * 0,1 + 1 * 0,6 + 2 * 0,3 = 1,2 M (y) = ∑ yipi = 0 * 0,5 + 2 * 0,5 = 1 M (z) = ∑ zipi = 0 * 0,05 + 1 * 0,3 + 2 * 0,2 + 3 * 0,3 + 4 * 0,15 = 2,2 M (z) = M (x) + M (y) = 1,2 + 1 = 2,2 Случайная величина X задана функцией распределения F (x) = Найти: 1) вероятность попадания случайной величины X в интервал (1/3; 2/3); 2) функцию плотности распределения вероятностей f (x); 3) математическое ожидание случайной величины X; 4) построить графики F (x) и f (x). f (x) = F`(x) = 3) Математическое ожидание M (X) = 4) Графики: f (x) = Б) Вероятность того, что нормальная величина примет значение из интервала (α; β), равна P (α < X < β) = Значения функции Лапласа Ф (x) = В) Вероятность того, что отклонение нормальной величины от математического ожидания не превышает ε, равна P (|X – a| < ε) = P (|X – 26| < 0,5) = В задаче приведена выборка, извлеченная из соответствующей генеральной совокупности. Требуется: 1) по несгруппированным данным найти выборочную среднюю; 2) найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания признака X генеральной совокупности (генеральной средней), если признак X распределен по нормальному закону; известны γ = 0,98 – надежность и σ = 200 – среднее квадратическое отклонение; 3) составить интервальное распределение выборки с шагом h = 200, взяв за начало первого интервала x1 = 700; 4) построить гистограмму частот; 5) дать экономическую интерпретацию полученных результатов. Проведено выборочное обследования объема промышленного производства за 16 месяцев и получены следующие результаты (тыс. руб.): 750; 950; 1000; 1050; 1050; 1150; 1150; 1150; 1200; 1200; 1250; 1250; 1350; 1400; 1400; 1550 1) Выборочная средняя 2) Доверительный интервал где Ф (t) = γ / 2 = 0,98 / 2 = 0,49. По таблице функции Лапласа находим: t = 2,32. 1178,1 - 1178,1 – 116,3 < a < 1178,1 + 116,3 1061,8 < a < 1294,4 тыс. руб. 3) Подсчитаем границы интервалов: x2 = x1 + h = 700 + 200 = 900 и т.д. Подсчитаем частоты интервалов (т.е. количество значений объема производства, попавших в данный интервал). Интервальное распределение выборки: 4) Гистограмма частот: 5) Экономическая интерпретация. Средний объем промышленного производства за 16 месяцев составил 1178,1 тыс. руб. С надежностью 0,98 можно утверждать, что средний объем производства находится в пределах от 1061,8 до 1294,4 тыс. руб. Наибольшее число месяцев (7) объем производства находился в интервале от 1100 до 1300 тыс. руб. По корреляционной таблице требуется: 1) в прямоугольной системе координат построить эмпирические ломаные регрессии Y на X и X на Y, сделать предположение о виде корреляционной связи; 2) оценить тесноту линейной корреляционной связи; 3) составить линейные уравнения регрессии Y на X и X на Y, построить их графики в одной системе координат; 4) используя полученное уравнение, оценить ожидаемое среднее значение признака Y при заданном x = 98. Дать экономическую интерпретацию полученных результатов. В таблице дано распределение 200 заводов по основным фондам X в млн. руб. и по готовой продукции Y в млн. руб.: 1) Расчетная таблица: X Y Подсчитаем условные средние: Эмпирические ломаные регрессии: Эмпирические линии регрессии близки к прямым. Можно сделать предположение о линейном характере связи между величиной основных фондов и готовой продукцией. 2) Выборочные средние: Выборочные средние квадратические отклонения σx = σy = Выборочный коэффициент корреляции r = 3) Уравнение линейной регрессии Y по X: Уравнение линейной регрессии X по Y: Графики: 4) Ожидаемое среднее значение Y при X = 98: Экономическая интерпретация. Связь между величиной основных фондов и готовой продукций прямая и очень тесная: коэффициент корреляции положителен и близок к 1. При увеличении основных фондов на 1 млн. руб. готовая продукция возрастает в среднем на 0,435 млн. руб. При увеличении готовой продукции на 1 млн. руб. основные фонды возрастают в среднем на 1,951 млн. руб. При величине основных фондов 98 млн. руб. ожидаемое среднее значение готовой продукции 51,5 млн. руб. Даны эмпирические значения случайной величины. Требуется: 1) выдвинуть гипотезу о виде распределения; 2) проверить гипотезу с помощью критерия Пирсона при заданном уровне значимости α = 0,05. За значения параметров a и σ принять среднюю выборочную и выборочное среднее квадратичное отклонение, вычисленные по эмпирическим данным. В таблице дано распределение дохода от реализации некоторого товара: 1) Вычислим середины интервалов дохода: xi = (8 + 12) / 2 = 10 и т.д. Расчетная таблица: Выборочное среднее Выборочное среднее квадратическое отклонение s = Выдвигаем гипотезу о нормальном распределении. 2) Расчетная таблица для применения критерия Пирсона: Наблюдаемое значение χн2 = ∑ (ni - ni`)2 / ni` = 2,7 Критическое значение (из таблиц при уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободы k = 6 – 3 = 3) χкр2 = 7,8
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||