Примеры решения задач по математической статистике и теории вероятности 1. Эксперт оценивает качественный уровень трех видов изделий по потребительским признакам. Вероятность ого, что изделию первого вида будет присвоен знак качества, равна 0,7; для изделия второго вида эта вероятность равна 0,9; а для изделия третьего вида 0,8. Найти вероятность того, что знак качества будет присвоен: а) всем изделиям; б) только одному изделию; в) хотя бы одному изделию РЕШЕНИЕ Испытание: знак качества будет присвоен всем изделиям. Событие: А=07 – присвоен первому изделию, Р(В)=0,9 – присвоен второму изделию, Р(С)=0,8 – присвоен третьему изделию; тогда Р(А)=0,3; Р(В)=0,1; Р(С)=0,2. а) Рвсем изделиям = Р(А)*Р(В)*Р(С) Рвсем изделиям =0,7*0,9*0,8=0,504. в) Ртолько одному =Р(А,В,С или А,В,С или А,В,С) Ртолько .одному =0,7*0,1*0,2+0,3*0,9*0,2+ +0,3*0,1*0,8=0,014+0,054+0,024=0,092 с) Рхотя бы одному =1 - Рни одному =1-Р(А)*Р(В)*Р(С) Рхотя бы одному =1-0,3*0,1*0,2=1-0,006=0,994. 11. Оптовая база снабжает товаром 9 магазинов. Вероятность того, что в течение дня поступит заявка на товар, равна 0,5 для каждого магазина. Найти вероятность того, что в течение дня а) поступит 6 заявок, б) не менее 5 и не более 7 заявок, в) поступит хотя бы одна заявка. Каково наивероятнейшее число поступающих в течение дня заявок и чему равна соответствующая ему вероятность. РЕШЕНИЕ Обозначим событие А – поступила заявка По условию р=Р(А)=0,5 q=P(A)=1-0,5=0,5 n= 9 к=6 а) Так как число повторных испытаний n= 9, применим формулу Бернулли. Р9(6)= * б) К1=5, К2=7 Р9(5≤m≤7)=P9 (5)+P9 (6)+P9 (7) Р9(5)= * Р9(7)= * Р9(5≤m≤7)=0.246+0.0702+0.16=0.4762 в) Рn (событие наступит хотя бы 1 раз)=1-qn Р9 =1-0,59 =1-0,001953=0,998 г) np-q≤K0 ≤np+p 9*0.5-0.5≤K0 ≤9*0.5+0.5 4≤K0 ≤5 K0 =5 K9 (5)= *0.55 *0.59-5 = Ответ: а) 0,16 б) 0,4762 в) 0,998 г) K0 =5 Р(K0 )=0,246. 21. Найти: а) математическое ожидание, б) дисперсию, в) среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины Х по известному закону ее распределения, заданному таблично: Х 8 4 6 5 Р 0,2 0,5 0,2 0,1 Решение а) Найдем математическое ожидание Х: М(Х)=8*0,2+4*0,5+6*0,2+5*0,1=5,3. б) Для нахождения дисперсии запишем закон распределения Х2 : Х2 64 16 36 25 Р 0,2 0,5 0,2 0,1 Найдем математическое ожидание Х2 : М(Х2 )=64*0,2+16*0,5+36*0,2+25*0,1=30,5 Найдем искомую дисперсию: D(X)=M(X2 )-[M(X)]2 D(X)=30.5-(5.3)2 =2.41 в) найдем искомое среднее квадратическое отклонение: Ответ: а) 5,3 б) 2,41 в) 1,55 31. Случайная величина Х интегральной функцией распределения F(Х). Требуется: а) найти дифференциальную функцию распределения (плотность вероятности) б) найти математическое ожидание и дисперсию Х в) построить графики интегральной и дифференциальной функций распределения. F(X Решение: а) = F(X б) М(х)= . М(х2 )= . D(x)=M(x2 )-[M(x)]2 =2- в) построить графики функций F(x) и f(x): 41. Заданы математическое ожидание а=15 и среднее квадратичное отклонение б=2 нормально распределенной величины Х. Требуется найти: а) вероятность того, что Х примет значение, принадлежащие интервалу (9; 19). б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения «Х-а» окажется меньше δ=3 Решение а) воспользуемся формулой: по условию задачи α=9 β=19 а=15 б=2 следовательно, По таблице приложения 2: 0,4772; Искомая вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервал (9; 19) равна: 0,4772+0,49865=0,976065 б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения «Х-а» окажется меньше δ=3, равна Р( Р(|х-а|<3)=2*Ф(3/2)=2*0,4332=0,8664. Ответ: а) 0,976065; б) Р(|х-а|<3)= 0,8664. 51. Даны выборочные варианты х1 и соответствующие им частоты ni количественного признака Х. а) найти выборочные среднюю дисперсию и среднеквадратическое отклонение. б) Считая, что количественный признак Х распределен по нормальному закону и что выборочная дисперсия равна генеральной дисперсии, найти доверительный интервал для оценки математического ожидания с надежностью γ=0,99 хi 10,2 15,2 20,2 25,2 30,2 35,2 40,2 ni 3 15 26 54 12 5 3 Решение 1. Объем выборки n= Средняя выборочная: = Выборочная дисперсия: Dв = 2 – 2 , где =23,76 Средняя выборочная квадратов значений признака γ = Тогда Dв =598,87-(23,76)2 =34,33 Среднее квадратичное отклонение: σв = σв = 5,86 пусть количественный признак Х генеральной совокупности распределен по нормальному закону, причем среднеквадратическое значение отклонение «σ» этого распределения известно. Тогда с вероятностью γ доверительный интервал заданный формулой ; ), покрывает неизвестное математическое ожидание. Здесь число t находится из соотношения 2Ф(t)=γ с помощью таблицы интегральной функции Лапласса. В данной задаче γ=0,99, поэтому 2Ф(t)=0,99, а Ф(t)=0,495, по таблице находим t=2,58. По условию задачи дисперсия генеральной совокупности D=Dв и, следовательно, σ=σв =5,86. ранее найдены значения n=118, и Хв =23,76. Поэтому можно найти доверительный интервал: (23,76-1,39; 23,76+1,39) (22,37; 25,15). Ответ: Хв =23,76; Dв =34,33; σв =5,86; а (22,37; 25,15). 61. По данным корреляционной таблицы найти условные средние Yx и Xy . Оценить тесноту линейной связи между признаками X и Y и составить уравнение линейной регрессии Y по X и X по Y. Сделать чертеж, нанеся на него условные средние и найденные прямые регрессии. Оценить силу связи между признаками с помощью корреляционного отношения. Y\X 5 10 15 20 25 30 Ny 35 4 2 6 45 5 3 8 55 5 45 5 55 65 2 8 7 17 75 4 7 3 14 Nx 4 7 10 57 19 3 n=100 Найдем условные средние воспользовавшись формулами: Үx = Xy = Yx =5 = Xy =35 = Yx =10 = Xy =45 = Yx =15 = Xy =55 = Yx =20 = Xy =65 = Yx =25 Xy =75 = Yx =30 Оценка тесноты линейной связи между признаками X и Y производится с помощью коэффициента линейной корреляции r: Коэффициент r может принимать значения от -1 до +1. Знак r указывает на вид связи: прямая или обратная. Абсолютная величина |r| на тесноту связи. При r>0 связь прямая, то есть с ростом х растет у. При r<0 связь обратная, то есть с ростом х убывает у. Для нахождения rвычислим указанные общие средние: х, у, ху, а также средние квадратические отклонения σх и σу . Вычисления удобно поместить в таблицах, куда вписываем также найденные ранее условные средние. Значение коэффициента линейной корреляции Х nx x*nx x2 *nx yx x*nx *yx 5 4 20 100 35 700 10 7 70 700 42.14 2949.8 15 10 150 2250 54 8100 20 57 1140 22800 57.8 65892 25 19 475 11875 66.05 31373.75 30 3 90 2700 75 6750 100 1945 40425 - 115765.55 Y ny y*ny y2 *ny xy y*ny *xy 35 6 210 7350 6.67 1400.7 45 8 360 16200 11.875 4275 55 55 3025 166375 20 60500 65 17 1105 71825 21.47 23724.35 75 14 1050 78750 24.64 25872 100 5750 340500 - 115772.05 С помощью таблиц находим общие средние, средние квадратов, среднюю произведения и среднеквадратические отклонения: Х= X2 = 5 XY= Y= 57.5 Y2 = σx = = = σy = = =9.94 Отсюда коэффициент корреляции равен: r= т.к r > 0, то связь прямая, то есть с ростом Х растет Y. т.к | r | > 0,78 то линейная связь высокая. Находим линейное уравнение регрессии Y по X: Yx -57.5=0.78* Yx =1.52x+27.94 Аналогично находим уравнение регрессии X поY: Xy -19.45=0.78* Xy =0.4y-3.55 Данные уравнения устанавливают связь между признаками X и Y и позволяют найти среднее значение признака Yx для каждого значения x и аналогично среднее значение признака Xy для каждого значения y. Изобразим полученные результаты графически. Нанесем на график точки (х;ух ) отметив их звездочками( ). Нанесем на график точки (ху ;у) отметив их кружочками ( ). Построим каждое из найденных уравнений регрессии по двум точкам: х 5 30 у 35,54 73,54 Yx =1.52x+27.94 х 10,45 26,45 у 35 75 Xy =0.4y-3.55 Обе прямые регрессии пересекаются в точке (х;у). В нашей задаче это точки (19,45; 57,5). Оценка тесноты любой связи между признаками производится с помощью корреляционных отношений Y по X и X по Y: ηух = Дисперсия называемые внутригрупповыми, определены ранее. Величины называются межгрупповыми дисперсиями и вычисляются по формулам: Они характеризуют разброс условных средних, от общей средней. В данной задаче: бх = бу = Тогда корреляционные отношения равны: ηух = ηху = Ответ: Корреляционная связь между признаками высокая ее можно описать уравнениями: Yx =1.52x+27.94, Xy =0.4y-3.55.