Построение математической модели оптимального управления обеспечивающего мягкую посадку при Исходные данные к курсовому проекту Рассматривается последний этап посадки космического аппарата (КА) на планету. При построении математической модели предположим: 1) посадка осуществляется по нормали к поверхности планеты, планета неподвижна и в районе посадки плоская; 2) на КА действуют сила тяжести G=mg, причем g=const и сила тяги , где с=const, а β – секундный расход массы m, ; 3) аэродинамические силы отсутствуют. Уравнения движения КА могут быть представлены в виде: ; ; , где h – текущая высота; или в нормальной форме: ; ; ; . Здесь введены обозначения: ; ; ; ; . Граничные условия имеют вид: ; ; ; ; , причем Т заранее неизвестно. Требуется найти программу управления u*(t), обеспечивающую мягкую посадку при минимальном расходе топлива, то есть . Исходные данные для расчетов Начальная масса КА , кг. Начальная высота , км. Начальная скорость , км/с Отношение силы тяги к начальной массе , м/с2 500 190 2,65 42,5 =190000 м. =2650 м/с Ускорение силы тяжести для планеты g=1,62 м/с2 , величина с=3000 м/с. Задание к курсовому проекту 1.) Составить гамильтониан Н, воспользовавшись необходимыми условиями оптимальности для задачи Майера. 2.) Из условия максимизации Н по u найти оптимальное управление. 3.) Получить каноническую систему уравнений и в результате прийти к краевой задаче, для которой в момент t=0 заданы компоненты x0 , x1 , x2 , а в момент t=T‑компоненты x1 , x2 , ψ0 . 4.) Из условия Н(Т)=0 получить соотношение для определения неизвестного времени Т. 5.) Произвести анализ необходимых условий оптимальности, начав с исследования возможности существования особого вырожденного управления, то есть случая, когда функция переключения . Доказать, что Кu не может обратиться в нуль на конечном интервале времени и, следовательно, особого управления в данной задаче не существует. Показать, что Кu есть монотонная функция t. Рассмотреть четыре возможных случая: а) Ku >0 для всех ; б) Ku <0 для всех ; в) Ku >0 для , Ku <0 для ; г) Ku <0 для , Ku >0 для . Показать, в каких случаях (из физических соображений) мягкая посадка невозможна, в каком из реализуемых случаев расход топлива меньше. Получить программу оптимального управления, когда до некоторого момента t1 управление отсутствует u*=0, а начиная с t=t1 , управление равно своему максимальному значению u*=umax , что соответствует минимальному расходу топлива. 6.) Решить каноническую систему уравнений, рассматривая ее для случаев, когда и управление u*=0, и когда , u*=umax . Приравнивая х1 (Т) и х2 (Т) нулю, получить два уравнения относительно t1 и Т. Таким образом, краевую задачу свести к системе, состоящей из двух нелинейных уравнений относительно двух неизвестных t1 , Т. Составить программу расчета. Получив решение этой системы, решить полностью исходную задачу программирования оптимального управления мягкой посадкой КА на планету. В заключение следует построить фазовую траекторию спуска КА и определить конечную массу m(Т). Выполнение задания курсового проекта Нам известно, что , где с – сила тяги двигателя, m – масса космического аппарата; – ускорение аппарата. То есть, масса · ускорение = сумме сил, действующих на аппарат. β – секундный расход массы m: . Расход массы обеспечивает силу тяги двигателя (P=c·β), ее можно менять в пределах . можно найти из исходных данных – выразив из отношения силы тяги к начальной массе Pmax /m(0): ; ; кг/с. Наш критерий оптимизации . Введем принятые в исходных данных обозначения: ; . Начальный момент времени t=0, конечный момент времени – момент посадки КА (момент столкновения с планетой) t=T. ; Тогда критерий оптимизации: ; . (Здесь .) Теперь необходимо написать уравнение состояния системы. Для этого нужно ввести переменные состояния и входную переменную. Порядок дифференциального уравнения n=3, отсюда 3 уравнения состояния: ; ; . Выберем управление: ; Подставляем уравнения состояния, получим: так как и , отсюда ; ; . Критерий оптимизации: . Введем переменные х0 и хn+1 (то есть х4 ). , где t – текущее время. . Тогда основные уравнения состояния: Составим гамильтониан Н: ; . Оптимальному управлению соответствует максимум функции Гамильтона в заданной области возможных управлений. Причем этот максимум равен нулю. То есть нужно добиться максимума этой функции, меняя u1 . Это и будет оптимальное управление. Для функций ψi тоже получим сопряженные уравнения, которые имеют вид : – так как функция не зависит от х0 , следовательно производная равна нулю; – аналогично, так как функция не зависит от х1 . Итак, нужно найти максимум гамильтониана: Функция переключения: Используя для вычислений Mathcad, получим оптимальное управление: Таким образом оказалось, что оптимальное управление должно осуществляться на предельных ресурсах. То есть либо двигатель должен быть совсем выключен (при Ku <0), либо включен на максимальную мощность (при Ku >0). Посмотрим, как меняется функция переключения Кu во времени: ; Для определения ψ1 и ψ2 решаем сопряженные уравнения: , следовательно, ψ1 = const, обозначим ψ1 =с1 . , следовательно, , где c2 = const. Итак, Масса КА всегда положительна, а с=3000 = const – величина постоянная, поэтому производная имеет всегда постоянный (один и тот же) знак. То есть величина Ku либо всё время монотонно возрастает, либо всё время монотонно убывает. А это означает, что она может пройти через ноль только один раз. Рассмотрим четыре возможных случая: а) Ku >0 для всех ; б) Ku <0 для всех ; в) Ku >0 для , Ku <0 для ; г) Ku <0 для , Ku >0 для . В случаях б) (когда двигатель КА выключен на всем протяжении посадки) и в) (когда двигатель включен на максимальную мощность до какого-то момента времени t=t*, а затем полет происходит с выключенным двигателем до самой посадки) – говорить о мягкой посадке не приходится. Эти варианты означают падение КА на планету. Поэтому оптимальными (и вообще допустимыми) их считать нельзя. Следовательно, остаются два реализуемых варианта – а) и г) . И оптимальное управление предполагает либо всё время включенный на максимальную мощность двигатель, либо полет с выключенным двигателем до какого-то момента t=t*, а затем полет с двигателем, включенным на максимальную мощность до момента посадки. Естественно, что во втором случае (г) расход топлива меньше, так как часть пути проделывается с выключенным двигателем. Поэтому оптимальным управлением в данной ситуации можно считать полет с выключенным двигателем, затем происходит включение двигателя и полет продолжается с двигателем, включенным на максимальную мощность. Итак, оптимальному управлению соответствует На первом участке полета, на котором u1 =0: ; ; ; ; ; . Рассмотрим второй участок полета u1 =7,083: Зададимся условием, что при t=t* (в момент включения двигателя): ; ; . На отрезке полета со включенным двигателем: ; так как , запишем: . Теперь, зная х3 , можно выразить х2 : . Теперь, зная х2 выразим х1 : ; На отрезке пути h(t): В момент посадки t=T высота и скорость должны быть равны нулю, то есть и . На основании этого утверждения приравняем х1 (T) и х2 (Т) нулю и получим таким образом два уравнения относительно t* и T. Таким образом, краевая задача у нас свелась к системе, состоящей из двух нелинейных уравнений относительно двух неизвестных t* и Т: Из второго уравнения системы выразим момент времени, на котором включается двигатель: ; Подставим это выражение в первое уравнение системы, получим уравнение для нахождения времени полета T (оно же время посадки): Для расчета времени полета Т воспользуемся программой Mathcad. На следующем листе приведены эти вычисления[1] : Теперь, зная Т и t*, можно определить конечную массу космического аппарата m(T): кг. Можно рассчитать высоту h (t*), на которой КА должен включить двигатели: м. Таким образом, включение двигателей происходит на 3317-ой секунде полета на высоте около 67 км. от поверхности планеты. Тот же результат мы наблюдаем и на графике. [1] Все дальнейшие вычисления также производились в программе Mathcad