Дії з векторами 1.4. Дії з векторами. Означення 5 . Сумою двох векторів та називають вектор , який сполучає початок вектора з кінцем вектора при умові, що початок вектора вміщено в кінець вектора . Наприклад, задані вектори та (мал. 6а). Для побудування суми цих векторів перенесли паралельно самому собі, в його кінець вмістили початок вектора та сполучили початок вектора з кінцем вектора (Мал. 6b). а) b) Мал.6 Суму кількох векторів , , … , визначають аналогічно: початок кожного слідуючого вектора вміщують в кінець попереднього. Одержують ламану лінію і тоді вектор, який сполучає початок першого вектора з кінцем останнього і є сумою цих всіх векторів. Зауваження. Різницю двох векторів та будують як суму вектора та вектора (-). Наприклад, Мал.7 Означення 6 . Добутком вектора на число k називають вектор , колінеарний з вектором , що має довжину в k раз більшу, ніж та напрям такий самий, як , якщо k > 0 і протилежний до , якщо k < 0. Означення 7 . Скалярним добутком векторів та називають число, яке дорівнює добутку модулів цих векторів на косінус кута j між ними. Скалярний добуток векторів та позначають ×, або (,). Отже, згідно з означенням: × = (1) Тепер розглянемо дії з векторами, заданими в координатній формі. ¬Правило множення вектора на число . Щоб помноживши вектор на число k, треба усі координати вектора помноживши на число k , тобто k = ­Правило знаходження алгебраїчної суми векторів . Координати алгебраїчної суми скінченної кількості векторів дорівнюють такій же алгебраїчній сумі відповідних координат цих векторів. Так, у випадку алгебраїчної суми трьох векторів: , , їх алгебраїчна сума знаходиться за формулою = ®Знаходження скалярного добутку векторів та Згідно з правилом множення матриць одержимо: × = (2) тобто скалярний добуток двох векторів дорівнює сумі добутків їх однойменних координат. Якщо =, тоді кут між ними дорівнює нулю, і з формули (1) випливає, що . Звідси одержуємо , або враховуючи формулу (2) (3) Із формули (1) маємо: (4) Підставимо формули (2) та (3) у формулу (4), тоді одержимо формулу для знаходження косінуса кута між векторами та у вигляді: (5) Якщо ^,тоді і одержимо × = 0 (6) Приклад . Знайти кут між діагоналями паралелограма, побудованого на векторах = (2,1,0) та = (0,-2,1). Розв’язування . За умовою задачі паралелограм побудовано на векторах та (дивись Мал.8.) Мал.8 Позначимо цей паралелограм АВСD ( та - довільні); Отже, діогоналі паралелограма, побудованого на векторах та (довільні) будуть вектори та Знайдемо координати цих векторів для заданих векторів та ; = (2+0; 1+(-2); 0+1) = (2; -1; 1) = (2-0; 1-(-2); 0-1) = (2; 3; -1) Тепер за формулою (5) можна знайти косінус потрібного кута, який позначимо :