Математическое программирование 2 Математическое программирование 1. Общая задача линейного программирования (ЗЛП): Здесь (1) называется системой ограничений , ее матрица имеет ранг r £ n, (2) - функцией цели (целевой функцией). Неотрицательное решение (х1 0 , x2 0 , ... , xn 0 ) системы (1) называется допустимым решением (планом) ЗЛП. Допустимое решение называется оптимальным, если оно обращает целевую функцию (2) в min или max (оптимум). 2. Симплексная форма ЗЛП. Для решения ЗЛП симплекс - методом необходимо ее привести к определенной (симплексной) форме: (2`) f+cr+1 xr+1 + ... + cs xs + ... + cn xn = b0 ® min Здесь считаем r < n (система имеет бесчисленное множество решений), случай r = n неинтересен: в этом случае система имеет единственное решение и если оно допустимое, то автоматически становится оптимальным. В системе (1`) неизвестные х1 , х2 , ... , хr называются базисными (каждое из них входит в одно и только одно уравнение с коэффициентом +1), остальные хr+1 , ... , xn - свободными. Допустимое решение (1`) называется базисным (опорным планом), если все свободные неизвестные равны 0, а соответствующее ему значение целевой функции f(x1 0 , ... , xr 0 ,0, ... ,0) называется базисным. В силу важности особенностей симплексной формы выразим их и словами: а) система (1`) удовлетворяет условиям : 1) все ограничения - в виде уравнений; 2) все свободные члены неотрицательны, т.е. bi ³ 0; 3) имеет базисные неизвестные; б) целевая функция (2`) удовлетворяет условиям : 1) содержит только свободные неизвестные; 2) все члены перенесены влево, кроме свободного члена b0 ; 3) обязательна минимизация (случай max сводится к min по формуле max f = - min(-f)). 3) Матричная форма симплекс-метода. Симплексной форме ЗЛП соответствует симплекс - матрица : 1 0 ... 0 ... 0 a1,r+1 ... a1s ... a1n b1 0 1 ... 0 ... 0 a2,r+1 ... a2s ... a2n b2 ................................................................. 0 0 ... 1 ... 0 ai,r+1 ... ais ... ain bi ................................................................. 0 0 ... 0 ... 1 ar,r+1 ... ars ... arn br 0 0 ... 0 ... 0 cr+1 ... cs ... cn b0 Заметим, что каждому базису (системе базисных неизвестных ) соответствует своя симплекс - матрица , базисное решение х = (b1 ,b2 , ... ,br , 0, ... ,0) и базисное значение целевой функции f(b1 ,b2 , ... ,br , 0, ... ,0) = b0 (см. Последний столбец !). Критерий оптимальности плана . Если в последней (целевой) строке симплекс-матрицы все элементы неположительны, без учета последнего b0 , то соответствующий этой матрице план оптимален, т.е. сj £ 0 (j = r+1, n) => min f (b1 , ... ,b2 ,0, ... ,0) = b0 . Критерий отсутствия оптимальности. Если в симплекс-матрице имеется столбец (S-й), в котором последний элемент сs > 0, a все остальные элементы неположительны, то ЗЛП не имеет оптимального плана, т.е. сs > 0, ais £ 0 ( i= 1,r ) => min f = -¥. Если в симплекс-матрице не выполняются оба критерия, то в поисках оптимума надо переходить к следующей матрице с помощью некоторого элемента ais > 0 и следующих преобразований (симплексных): 1) все элементы i-й строки делим на элемент a+ is ; 2) все элементы S-го столбца, кроме ais =1, заменяем нулями; 3) все остальные элементы матрицы преобразуем по правилу прямоугольника, что схематично показано на фрагменте матрицы и дано в формулах: akl ` = akb ais - ail aks = akl - ail aks ; ais ais bk ` = bk ais - bi aks ; cl ` = cl ais - cs ail ais ais Определение . Элемент ais + называется разрешающим, если преобразование матрицы с его помощью обеспечивает уменьшение (невозрастание) значения, целевой функции; строка и столбец, на пересечении которых находится разрешающий элемент, также называются разрешающими. Критерий выбора разрешающего элемента. Если элемент ais + удовлетворяет условию bi = min bk ais 0 aks 0 + где s0 - номер выбранного разрешающего столбца, то он является разрешающим. 4. Алгоритм симплекс-метода (по минимизации). 1) систему ограничений и целевую функцию ЗЛП приводим к симплексной форме; 2) составим симплекс-матрицу из коэффициентов системы и целевой функции в симплексной форме; 3) проверка матрицы на выполнение критерия оптимальности; если он выполняется, то решение закончено; 4) при невыполнении критерия оптимальности проверяем выполнение критерия отсутствия оптимальности; в случае выполнения последнего решение закончено - нет оптимального плана; 5) в случае невыполнения обоих критериев находим разрешающий элемент для перехода к следующей матрице, для чего : а) выбираем разрешающий столбец по наибольшему из положи тельных элементов целевой строки; б) выбираем разрешающую строку по критерию выбора разрешающего элемента; на их пересечении находится разрешающий элемент; 6) c помощью разрешающего элемента и симплекс-преобразований переходим к следующей матрице; 7) вновь полученную симплекс-матрицу проверяем описанным выше способом (см. п. 3) Через конечное число шагов, как правило получаем оптимальный план ЗЛП или его отсутствие Замечания. 1) Если в разрешающей строке (столбце) имеется нуль, то в соответствующем ему столбце (строке) элементы остаются без изменения при симплекс-преобразованиях. 2) преобразования - вычисления удобно начинать с целевой строки; если при этом окажется, что выполняется критерий оптимальности, то можно ограничиться вычислением элементов последнего столбца. 3) при переходе от одной матрицы к другой свободные члены уравнений остаются неотрицательными; появление отрицатель ного члена сигнализирует о допущенной ошибке в предыдущих вычислениях. 4) правильность полученного ответа - оптимального плана - проверяется путем подстановки значений базисных неизвестных в целевую функцию; ответы должны совпасть. 5. Геометрическая интерпретация ЗЛП и графический метод решения (при двух неизвестных) Система ограничений ЗЛП геометрически представляет собой многоугольник или многоугольную область как пересечение полуплоскостей - геометрических образов неравенств системы. Целевая функция f = c1 x1 + c2 x2 геометрически изображает семейство параллельных прямых, перпендикулярных вектору n (с1 ,с2 ). Теорема. При перемещении прямой целевой функции направлении вектора n значения целевой функции возрастают, в противоположном направлении - убывают. На этих утверждениях основан графический метод решения ЗЛП. 6. Алгоритм графического метода решения ЗЛП. 1) В системе координат построить прямые по уравнениям, соответствующим каждому неравенству системы ограничений; 2) найти полуплоскости решения каждого неравенства системы (обозначить стрелками); 3) найти многоугольник (многоугольную область) решений системы ограничений как пересечение полуплоскостей; 4) построить вектор n (с1 ,с2 ) по коэффициентам целевой функции f = c1 x1 + c2 x2 ; 5) в семействе параллельных прямых целевой функции выделить одну, например, через начало координат; 6) перемещать прямую целевой функции параллельно самой себе по области решения, достигая max f при движении вектора n и min f при движении в противоположном направлении. 7) найти координаты точек max и min по чертежу и вычислить значения функции в этих точках (ответы). 7. Постановка транспортной задачи. Приведем экономическую формулировку транспортной задачи по критерию стоимости: Однородный груз, имеющийся в m пунктах отправления (производства) А1 , А2 , ..., Аm соответственно в количествах а1 , а2 , ..., аm единиц, требуется доставить в каждый из n пунктов назначения (потребления) В1 , В2 , ..., Вn соответственно в количествах b1 , b2 , ..., bn единиц. Стоимость перевозки (тариф) единицы продукта из Ai в Bj известна для всех маршрутов Ai Bj и равна Cij (i=1,m; j=1,n). Требуется составить такой план перевозок, при котором весь груз из пунктов отправления вывозиться и запросы всех пунктов потребления удовлетворяются (закрытая модель), а суммарные транспортные расходы минимальны. Условия задачи удобно располагать в таблицу, вписывая в клетки количество перевозимого груза из Ai в Bj груза Xij > 0, а в маленькие клетки - соответствующие тарифы Cij : 8. Математическая модель транспортной задачи. Из предыдущей таблицы легко усматривается и составляется математическая модель транспортной задачи для закрытой модели Число r = m + n - 1, равное рангу системы (1), называется рангом транспортной задачи. Если число заполненных клеток (Xij ¹ 0) в таблице равно r, то план называется невырожденным, а если это число меньше r, то план вырожденный - в этом случае в некоторые клетки вписывается столько нулей (условно заполненные клетки), чтобы общее число заполненных клеток было равно r. Случай открытой модели Σаi ¹ Σbj легко сводится к закрытой модели путем введения фиктивного потребителя Bn+1 c потребностью bn+1 =Σai -Σbj , либо - фиктивного поставщика Аm+1 c запасом am+1 =Σbj -Σai ; при этом тарифы фиктивных участников принимаются равными 0. 9. Способы составления 1-таблицы (опорного плана). I. Способ северо-западного угла (диагональный). Сущность способа заключается в том, что на каждом шаге заполняется левая верхняя клетка (северо-западная) оставшейся части таблицы, причем максимально возможным числом: либо полностью вывозиться груз из Аi , либо полностью удовлетворяется потребность Bj . Процедура продолжается до тех пор, пока на каком-то шаге не исчерпаются запасы ai и не удовлетворяются потребности bj . В заключение проверяют, что найденные компоненты плана Xij удовлетворяют горизонтальным и вертикальным уравнениям и что выполняется условие невырожденности плана. II. Способ наименьшего тарифа. Сущность способа в том, что на каждом шаге заполняется та клетка оставшейся части таблицы, которая имеет наименьший тариф; в случае наличия нескольких таких равных тарифов заполняется любая из них. В остальном действуют аналогично предыдущему способу. 10. Метод потенциалов решения транспортной задачи. Определение: потенциалами решения называются числа ai ®Ai , bj ®Bj , удовлетворяющие условию ai +bj =Cij (*) для всех заполненных клеток (i,j). Соотношения (*) определяют систему из m+n-1 линейных уравнений с m+n неизвестными, имеющую бесчисленное множество решений; для ее определенности одному неизвестному придают любое число (обычно a1 =0), тогда все остальные неизвестные определяются однозначно. Критерий оптимальности. Если известны потенциалы решения X0 транспортной задачи и для всех незаполненных клеток выполняются условия ai +bj £ Ci j , то X0 является оптимальным планом транспортной задачи. Если план не оптимален, то необходимо перейти к следующему плану (таблице) так, чтобы транспортные расходы не увеличились. Определение: циклом пересчета таблицы называется последовательность клеток, удовлетворяющая условиям: 1) одна клетка пустая, все остальные занятые; 2) любые две соседние клетки находятся в одной строке или в одном столбце; 3) никакие 3 соседние клетки не могут быть в одной строке или в одном столбце . Пустой клетке присваивают знак « + », остальным - поочередно знаки « - » и « + ». Для перераспределения плана перевозок с помощью цикла перерасчета сначала находят незаполненную клетку (r, s), в которой ar +bs >Crs , и строят соответствующий цикл; затем в минусовых клетках находят число X=min{Xij }. Далее составляют новую таблицу по следующему правилу: 1) в плюсовые клетки добавляем X; 2) из минусовых клеток отнимаем Х; 3) все остальные клетки вне цикла остаются без изменения. Получим новую таблицу, дающее новое решение X, такое, что f(X1 ) £ f(X0 ); оно снова проверяется на оптимальность через конечное число шагов обязательно найдем оптимальный план транспортной задачи, ибо он всегда существует. 11. Алгоритм метода потенциалов. 1) проверяем тип модели транспортной задачи и в случае открытой модели сводим ее к закрытой; 2) находим опорный план перевозок путем составления 1-й таблицы одним из способов - северо-западного угла или наименьшего тарифа; 3) проверяем план (таблицу) на удовлетворение системе уравнений и на невыражденность; в случае вырождения плана добавляем условно заполненные клетки с помощью « 0 »; 4) проверяем опорный план на оптимальность, для чего: а) составляем систему уравнений потенциалов по заполненным клеткам; б) находим одно из ее решений при a1 =0; в) находим суммы ai +bj =C¢ij («косвенные тарифы») для всех пустых клеток; г) сравниваем косвенные тарифы с истинными: если косвенные тарифы не превосходят соответствующих истинных(C¢ij £ Cij ) во всех пустых клетках, то план оптимален (критерий оптимальности). Решение закончено: ответ дается в виде плана перевозок последней таблицы и значения min f. Если критерий оптимальности не выполняется, то переходим к следующему шагу. 5) Для перехода к следующей таблице (плану): а) выбираем одну из пустых клеток, где косвенный тариф больше истинного (C¢ij = ai +bj > Cij ); б) составляем цикл пересчета для этой клетки и расставляем знаки « + », « - » в вершинах цикла путем их чередования, приписывая пустой клетке « + »; в) находим число перерасчета по циклу: число X=min{Xij }, где Xij - числа в заполненных клетках со знаком « - »; г) составляем новую таблицу, добавляя X в плюсовые клетки и отнимая X из минусовых клеток цикла 6) См. п. 3 и т.д. Через конечное число шагов (циклов) обязательно приходим к ответу, ибо транспортная задача всегда имеет решение.