Матричная форма формулы Крамера С.К. Соболев Матричный способ решения СЛАУ, формулы Крамера, свойство присоединенной матрицы и основное свойство линейной зависимости. Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ ), содержащую т уравнений и п неизвестных: (1) Пусть – матрица коэффициентов при неизвестных, столбец свободных членов (чисел стоящих справа от равенства в системе (1)) и столбец неизвестных соответственно системы (1). Матрица А называется основной матрицей системы (1). Тогда очевидно, что система (1) может быть кратко записана в матричной форме . Форма (1) называется координатной записью системы.Если , т.е. число уравнений равно числу неизвестных, то СЛАУ называется «квадратной », она принимает вид: (2) Если же матрица А к тому же не вырождена, т.е. , то тогда СЛАУ (2) можно решить как матричное уравнение по формуле . (3) Этот метод называется матричным способом решения СЛАУ (2). Пример. Решить систему матричным способом, если это возможно: Решение . Запишем эту систему как матричное уравнение , где , . Вычисляем: , следовательно, матричный способ применим. Находим обратную матрицу: Следовательно, . Ответ: Формулы Крамера для решения СЛАУ Эти формулы применимы для решения СЛАУ при тех же условиях, что и матричный способ, а именно, когда матрица А коэффициентов при неизвестных этой СЛАУ квадратная и не вырожденная . Для нахождения неизвестных квадратной системы (2) надо вычислить главный определитель , убедиться что , и затем вычислить п вспомогательных определителей , где определитель ( ) получается из главного определителя заменой в нем k -го столбца на столбец В свободных членов: Тогда решением системы (2) будет: . Вывод формул Крамера . Распишем подробно формулу (3) . Вспомним, что , где – алгебраическое дополнение элемента , равное , а – определитель порядка , полученный из главного определителя D вычеркиванием i -й строки и j -го столбца. Получим . Итак, матричный способ дает формулу (4) Сравним эту формулу с выражением для , полученным по формуле Крамера: . (5) Заметим, что у всех элементов k -го столбца этого определителя алгебраические дополнения точно такие же, как и у элементов k -го столбца матрицы А . Поэтому, разложив определитель в (5) по этому столбцу, получим: . (6) Полученная формула (6) в точности совпадает с (4). Формулы Крамера доказаны. Пример. Решить систему методом Крамера, если это возможно: Решение . Вычислим главный определитель системы: , следовательно, метод Крамера применим. Далее вычислим три вспомогательных определителя: Следовательно, . Дополнение 1. При выводе на лекции в ауд. 220 формулы для обратной матрицы через алгебраические дополнения использовалось основное свойство присоединенной матрицы . Доказательство этого свойства, в свою очередь, опиралось на два свойства определителя: (1) Сумма произведений элементов произвольной строки квадратной матрицы на соответствующие алгебраические дополнения этой же строки равна определителю этой матрицы (и аналогично для столбцов) : (разложение по i -й строке), (разложение по j -му столбцу) (2) Сумма произведений элементов произвольной строки квадратной матрицы на соответствующие алгебраические дополнения другой строки равна нулю (и аналогично для столбцов) : , (для строк, при ), (для столбцов, при ) Свойство (1) нам известно из общих свойств определителя, которые у нас идут без доказательства. Среди этих свойств есть, в частности, такое: если в определителе две строки или два столбца совпадают, то он равен нулю . Теперь докажем свойство (2). Заменим в определителе j - строку на строку с номером i . Понятно что после этого у полученного определителя две одинаковые строки, и потому он равен нулю. Заметим также, что алгебраические дополнения изменённой j -й строки не изменились, т.к. они не зависят от элементов этой строки. Разложим определитель по j -й строке, получим: Аналогично доказывается для столбцов. Дополнение 2. Относительно линейной зависимости векторов теории линейного пространства, просьба не путать: Общий критерий линейной зависимости векторов произвольного линейного пространства: Совокупность векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов выражается в виде линейной комбинации остальных. Основное свойство линейной зависимости : Пусть даны n векторов линейного пространства , и еще какие-то т векторов этого же пространства, каждый из которых линейно выражается через , причем, . Тогда векторы линейно зависимы . Доказательство этого свойства есть в лекциях, присланных на вашу Почту.