Великая теорема Ферма два коротких доказательства Великая теорема Ферма – два коротких доказательства Бобров А.В. 123098, г. Москва, ул. Маршала Новикова, д.10, корп. 1, кв. 15 Контактный телефон – 193-42-34 Последняя теорема Ферма, иногда называемая Великой, формулируется следующим образом: В равенстве числа и не могут быть одновременно целыми положительными, если . Предположим, такие числа существуют. Тогда должны выполняться следующие условия: · Равенство справедливо для взаимно простых, не имеющих общих целых множителей, кроме 1, чисел и , т.е. два числа – всегда нечетные. · Существуют числа и , или , то есть для произвольно выбранных натуральных существует бесконечное множество рациональных, действительных или комплексных чисел и , удовлетворяющих приведенному равенству, если в этом множестве выполнимы арифметические действия. Для целых числа и также будут целыми. Вариант№1 Равенство (1) путем последовательного деления на числа и всегда преобразуется в два многочлена (уравнения) -ой степени относительно : (2) (3) Равенства (2) и (3) получены путем тождественных преобразований равенства (1), т.е. должны выполняться при одних и тех же значениях целых положительных чисел и . По определению, необходимым и достаточным условием тождественности двух многочленов над некоторым числовым полем (в нашем случае – над множеством целых чисел) является равенство коэффициентов членов, содержащих одни и те же аргументы в одинаковых степенях, то есть должно выполняться: , , … , (4) Из (1) и (4) следует , то есть число , как общий арифметический корень уравнений (1), (2) и (3) не может быть рациональным при целых , , и . Из равенства свободных членов следует: ,или ,или (5) Вычитая из правой части равенства (5) левую, получим: (6) или, если , сократив на , получим: (7) Из равенства (7) следует, что для числа и не могут быть одновременно положительными. Представленные преобразования позволяют сделать следующие выводы: · для тождественных над множеством рациональных чисел многочленов (2) и (3) при число , как общий арифметический корень уравнений (1), (2) и (3), не может быть рациональным при целых положительных , , и ; · многочлены (2) и (3) для и натуральных и не тождественны над множеством рациональных чисел, если делители и равенства (1) являются иррациональными, откуда следует иррациональность числа ; · числа , и в равенстве (1) для не могут быть одновременно рациональными. Для противоречие исчезает, коэффициенты при равны 1, а равенство свободных членов после подстановки значений и обращается в тождество: . (8) Если правую и левую части равенства (5) обозначить соответственно через и , где и - целые положительные числа, то многочлены (2) и (3) преобразуются в квадратные уравнения относительно : (9), где неизвестное обозначено общепринятым образом через , то есть . Из условий эквивалентности или анализа причин неэквивалентности этих уравнений следуют те же выводы. Это доказательство опубликовано в 1993 г. в журнале РАН «Вопросы истории естествознания и техники», №3. Со стороны оппонентов не поступило никаких возражений по существу, кроме утверждения, что в используемых для доказательства уравнениях известные и неизвестные величины зависят друг от друга – как будто может быть иначе. Любое аналитическое выражение, в котором присутствуют известные и неизвестные величины, есть выражение зависимости между ними, поэтому я не могу согласиться с подобным опровержением. Вариант№2 Пусть в равенстве числа и - взаимно простые, - нечетное. Для любых положительных чисел выполнима операция нахождения арифметического значения квадратного корня, то есть можно записать: (1) где , - действительные положительные множители числа . Из (1) следует: , (2) В соответствии со свойствами показательной функции, для действительных положительных чисел , и целого существуют единственные значения показателей степени , удовлетворяющие равенствам: , (3) где , . Из (3) следует , , или после сокращения на числа , получим: (4) Из (1), (2) и (3) следует: , (5) или, с учетом равенств (3) и (4): (6) Вынесем за скобки общий множитель : (7) Из (5) и (7) следует, что числа , и содержат общий множитель , что противоречит условию их взаимной простоты, если . Из следует , , то есть , , и равенства (5) и (7) принимают вид: (8) Из (8) следует, что при нечетном числа и также целые, причем всегда имеет место тождество: (9) что для одновременно целых , и выполнимо только при , или , , что и требовалось доказать. Доказательство можно вести и несколько иным способом. Все числа равенства , где , и - произвольно выбранные натуральные числа, - действительное положительное число, через преобразования (1)…(4) могут быть выражены в виде слагаемых тождества (5). Вынесем за скобки множитель и поделим на него все слагаемые тождества (5): (10) где . В соответствии со свойствами показательной функции, произвольно выбранным натуральным числам , и , например из равенства (5), соответствует единственное значение , удовлетворяющее условию: (11) тогда , или (12) где , и - целые числа. Из (10), (11) и (12) следует: (13) то есть числа и могут быть одновременно целыми только при , или , . При числа и есть последовательные целые числа. Еще Эвклидом доказано, что всякое нечетное число может быть выражено, как разность квадратов двух последовательных целых чисел, которые и могут быть найдены с помощью тождества (10) для любых целых и нечетных . Отметим, что равенство (12) получено путем деления равенства (5) на множитель , при этом число в этих равенствах одно и то же, откуда следует , , , и тождество (10) принимает вид тождества (8). Отметим также, что тождества (8) и (10) справедливы не только для целых значений . Подставляя вместо любую рациональную дробь и полагая , можно найти все Пифагоровы числа. Приведенные преобразования равенства Ферма над множеством натуральных чисел показывают, что с помощью конечного числа арифметических действий оно всегда приводится к тождеству (13), что и доказывает теорему. Я счел необходимым в дополнение к размещенному на сайте доказательству предложить и эти два варианта, один из которых в сравнении с ранее размещенным является более развернутым. А.В.Бобров Великая теорема Ферма Бобров Александр Владимирович, 1936 г. р., образование высшее, закончил в 1960 году МВТУ им. Баумана по специальности инженер-механик. В настоящее время – пенсионер. Домашний адрес: 123098, г. Москва, ул. Маршала Новикова, д. 10, корп.1, кв. 15. Телефон (495) 193-42-34, моб. тел. 8-903-560-07-15 The evidence of the Fermat theorem Alexander V. Bobrov The evidence of the Fermat great theorem by elementary method is presented