Некоторые приложения определенного интеграла в математике Некоторые приложения определенного интеграла в математике студента гр. МТ-21 Нургалиев А.З. Павлодарский университет Павлодар 2005 год. 1. Введение. В курсовой работе рассмотрены вопросы некоторого приложения определенного интеграла. Цель: изучить актуальность применения определенного интеграла и широту его использования в математике, оценить ее практическую и теоретическую значимость. При разработки данного вопроса, был также рассмотрен несобственный интеграл, как частный случай определенного интеграла, его определение и виды. 2. Определенный интеграл. Пусть функция f(x) задана в некотором промежутке [a,b]. Разобьем этот промежуток произвольным образом на части, вставив между a и b точки деления: . Наибольшую из разностей (i=0,1,2, …,n-1) будем впредь обозначать через λ. Возьмем в каждом из частных промежутков по произволу точку и составим сумму . Говорят, что сумма σ при λ→0 имеет (конечный) предел I, если для каждого числа ε>0 найдется такое число δ>0, что, лишь только λ<δ (т.е. основной промежуток разбит на части, с длинами ), неравенство выполняется при любом выборе чисел . Записывают это так: . (1) Этому определению «на языке ε-δ», как обычно, противопоставляется определение «на языке последовательностей». Представим себе, что промежуток [α,b] последовательно разбивается на части, сначала одним способом, затем – вторым, третьим и т.д. Такую последовательность разбиений промежутка на части мы будем называть основной, если соответствующая последовательность значений сходится к нулю. Равенство (1) можно понимать теперь и в том смысле, что последовательность значений суммы σ, отвечающая любой основной последовательности разбиений промежутка, всегда стремится к пределу I, как бы ни выбирать при этом . Второе определение позволяет перенести основные понятия и предложения теории пределов и на этот новый предел. Конечный предел I суммы σ при λ→0 называется определенным интегралом функции f(x) в промежутке от α до b и обозначается символом ; в случае существования такого предела функции f(x) называется интегрируемой в промежутке [α,b]. Числа α и b носят название, соответственно, нижнего и верхнего пределов интеграла. При постоянных пределах определенный интеграл представляет собой постоянное число. 3. Несобственные интегралы. Пусть f непрерывна на луче на луче и F(x) – первообразная для f на луче . Если существует , то этот предел обозначается и называется сходящимся несобственным интегралом. Несобственные интеграл вида и аналогичный интеграл получаются при замене в интеграле Римана с помощью функции t=t(x), непрерывной и дифференцируемой на полуинтервале [a,b) ( или (a,b] ) и являющейся бесконечно большой определенного знака при (или ). Здесь существенно, что особой точкой функции t является именно конец (левый или правый) отрезка [a,b]. Если особой точкой t(x) (как в разобранном выше примере) является внутренняя точка с интервала (a,b), то разбивается на и , и переход к аргументу t делается раздельно в каждом из слагаемых. Пример. Вычислим . Пусть , Другим видом несобственного интеграла является интеграл , если функция f не ограничена на , но непрерывна на при любом , (или на ), т.е. не ограничена в окрестности точки (точки b). Этот интеграл существует (сходится), если существует: Пример. , если f(x) непрерывна на [0,1]. После замены получаем . не ограничена на [0,1], т.к. первообразная функция на при любом , равна: , то . Несобственный интеграл может появится и при интегрировании по частям. , т.е. , где - первообразная для arcsinx на [0,1]. 4.1.Формула Валлиса. Для вывода формулы Валлиса необходимо вычислить следующий интеграл: (при натуральном m). Интегрируя по частям, найдём . Двойная подстановка обращает в нуль. Заменяя через , получим откуда рекуррентная формула: , по которой интеграл последовательно приводится к и . Именно, при m=2n имеем , если же m=2n+1, то . Такие же точно результаты получаются и для . Для более короткой записи найденных выражений воспользуемся символом m!!(произведение натуральных чисел, не превосходящих m и одной с ним чётности). Тогда можно будет написать при m не четном нечётном. (1) Из формулы (1) можно вывести знаменитую формулу Валлиса (J. Wallis). Предполагая 0<x< , имеем неравенства . Проинтегрируем эти неравенства в промежутке от 0 до : Отсюда, в силу (1), находим или . Так как разность между двумя крайними выражениями , очевидно, стремится к 0 при , то является их общим пределом. Итак, или . Отсюда в свою очередь вытекает Эта формула носит название формулы Валлиса. Она дает довольно простое выражение числа p через натуральные числа. Теоретически этот результат интересен. Что касается ценности этой формулы как средства фактического вычисления p, то она невелика. Именно, чтобы получить удовлетворительную точность, надо взять n довольно большим, а тогда выражение оказывается весьма громоздким. 4.2. Применение формулы Валлиса для интеграла Эйлера-Пуассона. Интеграл Эйлера-Пуассона имеет вид: ; Приведём метод его нахождения. Мы знаем что положив: (т.к. ), имеем соотношение: ; отсюда заключаем: , что дает: . Установив это, замечаем, что предел отношения при бесконечно большом n равен единице; действительно, так как убывает при возрастании n, то мы имеем неравенство: или: . Мы видим, следовательно, что заключается между единицей и дробью , которая также равна единице при бесконечном n. Установив это, получаем равенство: , которое нам дает, если заставим n бесконечно возрастать: , и, следовательно: . Полагая теперь в интеграле , мы получим следующее новое выражение: ; заменив затем z на , получаем: и, следовательно, при бесконечном n . Достаточно затем положить , чтобы установить результат, к которому мы стремились: . 4.3. Вывод формулы Тейлора с остаточным членом в интегральной форме. Формула интегрирования по частям: , а обобщенная формула примет вид: . (1) Положим, что в формуле (1) . Тогда , , …, , ; при x=b все функции v, v’, …, обращаются в нуль. Пользуясь для u, u’, u’’, … функциональным обозначением f(x), f’(x), f’’(x), …, перепишем (1) в виде . Отсюда получается формула Тейлора с дополнительным членом в виде определенного интеграла . Заменим здесь b через x, а через : . Новое выражение для дополнительного члена, не содержит никаких неизвестных чисел. Если угодно, из этого выражения можно было бы вывести и уже знакомые нам формы дополнительного члена. Например, воспользовавшись тем, что множитель подинтегральной функции не меняет знака, можно применить к последнему интегралу обобщенную теорему о среднем , где с содержится в промежутке . Таким образом, мы вновь получили лангранжеву форму дополнительного члена. 5. Заключение. В курсовой работе даны определения определенного и несобственного интеграла и его виды, рассмотрены вопросы некоторого приложения определенного интеграла. В частности, формула Валлиса, имеющая историческое значение, как первое представление числа p в виде предела легко вычисляемой рациональной варианты, а также вычисление интеграла Эйлера-Пуассона с помощью этой формулы. Рассмотрен способ получения формулы Тейлора с дополнительным членом в интегральной форме. Формулой Валлиса в теоретических исследованиях пользуются и сейчас (например, при выведении формулы Стирлинга). Что касается фактического приближенного вычисления p, то существуют методы, гораздо более быстро ведущие к цели. Интеграл Эйлера-Пуассона применяется при вычислении более сложных несобственных интегралов, встречается в теории вероятности. Новое выражение для дополнительного члена в формуле Тейлора интересно тем, что оно не содержит никаких неизвестных чисел. Данную курсовую работу можно использовать в качестве лекционного и справочного материала. Список литературы Фихтенгольц Г. М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления»(II том) – Москва, 1970г. Пискунов Н.С. «Дифференциальное и интегральное исчисления»(I том) - Москва, 1970г. Эрмит Ш. «Курс анализа» - Москва, 1936г.