Лекция по теории вероятности2 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОРОНЕЖСКИЙ ИНСТИТУТ ВЫСОКИХ ТЕХНОЛОГИЙ Факультет заочного и послевузовского обучения №2 По дисциплине: "Теория вероятностей и элементы математической статистики" Воронеж 200 4 г. Вариант – 9. Задача № 1 1-20. Найти методом произведений: а) выборочную среднюю; б) выборочную дисперсию; в) выборочное среднее квадратическое отклонение по данному статистическому распределению выборки (в первой строке указаны выборочные варианты х i , а во второй соответственные частоты ni количественного признака Х). 19. xi 14,5 24,5 34,4 44,4 54,4 64,4 74,4 ni 5 15 40 25 8 4 3 Решение: Составим расчетную таблицу 1, для этого: 1) запишем варианты в первый столбец; 2) запишем частоты во второй столбец; сумму частот (100) поместим в нижнюю клетку столбца; 3) в качестве ложного нуля С выберем варианту 34,5, которая имеет наибольшую частоту; в клетке третьего столбца, которая принадлежит строке, содержащей ложный нуль, пишем 0; над нулем последовательно записываем –1, -2, а над нулем 1, 2, 3; 4) произведения частот ni на условные варианты ui запишем в четвертый столбец; отдельно находим сумму (-25) отрицательных чисел и отдельную сумму (65) положительных чисел; сложив эти числа, их сумму (40) помещаем в нижнюю клетку четвертого столбца; 5) произведения частот на квадраты условных вариант, т. е. , запишем в пятый столбец; сумму чисел столбца (176) помещаем в нижнюю клетку пятого столбца; 6) произведения частот на квадраты условных вариант, увеличенных на единицу, т. е. запишем в шестой контрольный столбец; сумму чисел столбца (356) помещаем в нижнюю клетку шестого столбца. В итоге получим расчетную таблицу 1. Для контроля вычислений пользуются тождеством . Контроль: ; . Совпадение контрольных сумм свидетельствует о правильности вычислений. Вычислим условные моменты первого и второго порядков: ; . Найдем шаг (разность между любыми двумя соседними вариантами): . Вычислим искомые выборочные среднюю и дисперсию, учитывая, что ложный нуль (варианта, которая имеет наибольшую частоту) С= 34,5: в) выборочное среднее квадратичное отклонение: Таблица 1. 1 2 3 4 5 6 xi ni ui ni ui 14,5 5 -2 -10 20 5 24,5 15 -1 -15 15 - 34,5 40 0 -25 - 40 44,5 25 1 25 25 100 54,5 8 2 16 32 72 64,5 4 3 12 36 64 74,5 3 4 12 48 75 65 п= 100 Задача №2 №№ 21-40. Найти доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения с надежностью 0,95, зная выборочную среднюю , объем выборки и среднее квадратическое отклонение . Решение: Требуется найти доверительный интервал (*) Все величины, кроме t , известны. Найдем t из соотношения . По таблице приложения 2 [1] находим t= 1,96. Подставим в неравенство t= 1,96, , , п= 220 в (*). Окончательно получим искомый доверительный интервал