Задача по Экономико-математическое моделирование ФЕДЕРАЛЬНОЕ Вариант № . Нефтеперерабатывающий завод производит в месяц 1500000 л алкилата, 1200000 л крекинг - бензина и 1300000 л изопентола. В результате смешения этих компонентов в пропорциях 1:1:1 и 3:1:2 получается бензин сорта А и Б соответственно. Стоимость 1000 л бензина сорта А и Б соответственно равна 90 и 120 усл. ед.. Определить месячный план производства бензина сорта А и Б, приносящий предприятию максимальную прибыль. Решите задачу графическим и симплекс-методом. Выполните постановку и найдите решение двойственной задачи. 1. Графический метод решения Характеристика Бензин Ограничения А Б Алкилат 1 3 1500 Крекинг – бензина 1 1 1200 Изопентол 1 2 1300 Прибыль (за 1000л) 90 120 План х1 х2 х1 + 3х2 < 1500, х1 + х2 < 1200, х1 + 2х2 < 1300, х1 > 0, х2 > 0. Целевая функция: f = 90х1 + 120х2 → max. Строим прямые х1 + 3х2 = 1500, 1 х1 + х2 = 1200, 2 х1 +2 х2 = 1300. 3 Строим направляющий вектор q {90, 120}. Строим прямую, перпендикулярную направляющему вектору и проходящую через область допустимых решений. Находим оптимальный план: х1 + х2 = 1200, х1 = 1100, х1 +2 х2 = 1300. х2 = 100. Максимальная прибыль допускается при выпуске 1100 бензина А и 100 бензина Б. Оптимальное значение целевой функции: f = 90х1 + 120х2 , f = 90∙1100 + 120∙100 = 111000. 2. Симплекс-метод. Характеристика Бензин Ограничения А Б Алкилат 1 3 1500 Крекинг – бензина 1 1 1200 Изопентол 1 2 1300 Прибыль (за 1000л) 90 120 План х1 х2 Ограничения: х1 + 3х2 < 1500, х1 + х2 < 1200, х1 + 2х2 < 1300, х1 > 0, х2 > 0. Целевая функция: f = 90х1 + 120х2 → max, Введем дополнительные переменные у1 , у2 , у3 . 1х1 + 3х2 + у1 = 1500, 1х1 + 1х2 + у2 = 1200, 1х1 + 2х2 + у3 = 1300, х1 > 0, х2 > 0, у1 > 0, у2 > 0, у3 > 0. у1 = 1500 – (1х1 + 3х2 ), у2 = 1200 – (1х1 + 1х2 ), у3 = 1300 – (1х1 + 2х2 ), х1 > 0, х2 > 0, у1 > 0, у2 > 0, у3 > 0. f = 0 – (-90х1 – 120х2 ) → max. Составим симплекс таблицу: Базисные переменные Свободные члены x1 x2 у1 1500 1 3 у2 1200 1 1 у3 1300 1 2 Индексная строка 0 -90 -120 Так как в столбце свободных членов нет отрицательных элементов, то найдено допустимое решение. Так как в индексной строке есть отрицательные элементы, то полученное решение не оптимально. Для определения ведущего столбца найдем максимальный по модулю отрицательный элемент в индексной строке (-120). А ведущая строка та, у которой наименьшее положительное отношение свободного члена к соответствующему элементу ведущего столбца. Пересчитаем таблицу Базисные переменные Свободные члены x1 у1 x2 500 1/3 1/3 у2 700 2/3 -1/3 у3 300 1 / 3 -2/3 Индексная строка 60000 -50 40 Так как в столбце свободных членов нет отрицательных элементов, то найдено допустимое решение. Так как в индексной строке есть отрицательные элементы, то полученное решение не оптимально. Для определения ведущего столбца найдем максимальный по модулю отрицательный элемент в индексной строке (-50). А ведущая строка та, у которой наименьшее положительное отношение свободного члена к соответствующему элементу ведущего столбца. Пересчитаем таблицу Базисные переменные Свободные члены у3 у1 X2 200 -1 1 у2 100 -2 1 X1 900 3 -2 Индексная строка 105000 150 -60 Так как в столбце свободных членов нет отрицательных элементов, то найдено допустимое решение. Так как в индексной строке есть отрицательные элементы, то полученное решение не оптимально. Для определения ведущего столбца найдем максимальный по модулю отрицательный элемент в индексной строке (-60). А ведущая строка та, у которой наименьшее положительное отношение свободного члена к соответствующему элементу ведущего столбца. Пересчитаем таблицу Базисные переменные Свободные члены у3 у2 x2 100 1 -1 у1 100 -2 1 x1 1100 -1 2 Индексная строка 111000 30 60 Найдено оптимальное решение. 3. Постановка и решение двойственной задачи. Основная задача: х1 + 3х2 < 1500, х1 + х2 < 1200, х1 + 2х2 < 1300, х1 > 0, х2 > 0. Целевая функция: f = 90х1 + 120х2 → max. Целевая функция двойственной задачи: g = 1500y1 + 1200y2 + 1300y3 → min. у1 1 1 1 ∙ у2 3 1 2 у3 1у1 + 1у2 + 1у3 > 90, 3у1 + 1у2 + 2у3 > 120. Переход от неравенства к равенству: х1 + 3х2 + х3 = 1500, х1 + х2 + х4 = 1200, х1 + 2х2 + х5 = 1300, хi > 0. 1у1 + 1у2 + 1у3 - у4 = 90, 3у1 + 1у2 + 2у3 - у5 = 120. уi > 0.       Осн. Осн. Доп. х1 х2 х3 х4 х5 1100 100 100 0 0 Двойст. 0 0 0 60 30 у4 у5 у1 у2 у3 Доп. Осн.