Эконометрика 6 ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО‑ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Филиал в г. Брянске по дисциплине ЭКОНОМЕТРИКА ВЫПОЛНИЛ(А) Симонова Н.С. СТУДЕНТ(КА) 3 курса («вечер», поток 1) СПЕЦИАЛЬНОСТЬ Финансы и кредит № ЗАЧ. КНИЖКИ 06ффд15027 ПРЕПОДАВАТЕЛЬ Малашенко В.М. Брянск — 2009 ЗАДАЧА 1 По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпускаемой продукции (Y , млн. руб.) от объема капиталовложений (X , млн. руб.): № предприятия X Y 1 22 26 2 48 52 3 31 43 4 36 38 5 43 54 6 52 53 7 28 35 8 26 37 9 42 47 10 59 58 Требуется: 1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию углового коэффициента регрессии. 2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; определить стандартную ошибку регрессии; построить график остатков. 3. Проверить выполнение предпосылок метода наименьших квадратов. 4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t -критерия Стьюдента (уровень значимости a=0,05). 5. Вычислить коэффициент детерминации R 2 ; проверить значимость уравнения регрессии с помощью F -критерия Фишера (уровень значимости a=0,05); найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели. 6. Осуществить прогнозирование значения показателя Y при уровне значимости a=0,1, если прогнозное значения фактора Х составит 80 % от его максимального значения. 7. Представить графически: фактические и модельные значения Y , точки прогноза. 8. Составить уравнения нелинейной регрессии: -логарифмической; -степенной; -показательной. Привести графики построенных уравнений регрессии. 9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод. РЕШЕНИЕ Для решения задачи используется табличный процессор EXCEL. 1. С помощью надстройки «Анализ данных » EXCELпроводим регрессионный анализ и определяем параметры уравнения линейной регрессии (меню «Сервис» ® «Анализ данных… » ® «Регрессия »): (Для копирования снимка окна в буфер обмена данных WINDOWS используется комбинация клавиш Alt+PrintScreen.) В результате этого уравнение регрессии будет иметь вид: (прил. 1 ). Угловой коэффициент b 1 =0,785 является по своей сути средним абсолютным приростом . Его значение показывает, что при увеличении объема капиталовложений X на 1 млн. руб. объем выпускаемой продукции Y возрастает в среднем на 0,785 млн. руб. 2. При проведении регрессионного анализа в EXCEL одновременно были определены остатки регрессии (i =1, 2, …, n , где n =10 — число наблюдений значений переменных X и Y ) (см. «Вывод остатка » в прил. 1 ) и рассчитана остаточная сумма квадратов (см. «Дисперсионный анализ » в прил. 1 ). Стандартная ошибка линейной парной регрессии S рег определена там же: млн. руб. (см. «Регрессионную статистику » в прил. 1 ), где p =1 — число факторов в регрессионной модели. График остатков ei от предсказанных уравнением регрессии значений результата (i =1, 2, …, n ) строим с помощью диаграммы EXCEL. Предварительно в «Выводе остатка » прил. 1 выделяются блоки ячеек «Предсказанное Y » и «Остатки » вместе с заголовками, а затем выбирается пункт меню «Вставка» ® «Диаграмма… » ® «Точечная »: График остатков приведен в прил. 2 . 3. Проверим выполнение предпосылок обычного метода наименьших квадратов. 1) Случайный характер остатков. Визуальный анализ графика остатков не выявляет в них какой-либо явной закономерности. Проверим исходные данные на наличие аномальных наблюдений объема выпускаемой продукции Y (выбросов ). С этой целю сравним абсолютные величины стандартизированных остатков (см. «Вывод остатка » в прил. 1 ) с табличным значением t -критерия Стьюдента для уровня значимости a=0,05 и числа степеней свободы остатка регрессии , которое составляет t таб =2,306. Видно, что ни один из стандартизированных остатков не превышает по абсолютной величине табличное значение t -критерия Стьюдента. Это свидетельствует об отсутствии выбросов. 2) Нулевая средняя величина остатков. Данная предпосылка всегда выполняется для линейных моделей со свободным коэффициентом b 0 , параметры которых оцениваются обычным методом наименьших квадратов. В нашей модели алгебраическая сумма остатков и, следовательно, их среднее, равны нулю: (см. прил. 1 ). Для вычисления суммы и среднего значений остатков использовались встроенные функции EXCEL «СУММ » и «СРЗНАЧ ». 3) Одинаковая дисперсия (гомоскедастичность) остатков. Выполнение данной предпосылки проверим методом Глейзера в предположении линейной зависимости среднего квадратического отклонения возмущений от предсказанных уравнением регрессии значений результата (i =1, 2, …, n ). Для этого рассчитывается коэффициент корреляции между абсолютными величинами остатков и (i =1, 2, …, n ) с помощью выражения, составленного из встроенных функций: =КОРРЕЛ(ABS(«Остатки »);«Предсказанное Y ») Коэффициент корреляции оказался равным (см. прил. 1 ). Критическое значение коэффициента корреляции для уровня значимости a=0,05 и числа степеней свободы составляетr кр =0,632. Так как коэффициент корреляции не превышает по абсолютной величине критическое значение, то статистическая гипотеза об одинаковой дисперсии остатков не отклоняется на уровне значимости a=0,05. 4) Отсутствие автокорреляции в остатках. Выполнение данной предпосылки проверяем методом Дарбина–Уотсона. Предварительно ряд остатков упорядочивается в зависимости от последовательно возрастающих значений результата Y , предсказанных уравнением регрессии. Для этой цели в «Выводе остатка » прил. 1 выделяется любая ячейка в столбце «Предсказанное Y », и на панели инструментов нажимается кнопка « » («Сортировка по возрастанию »). По упорядоченному ряду остатков рассчитываем d ‑статистику Дарбина–Уотсона (см. прил. 1 ). Для расчетаd ‑статистики использовалось выражение, составленное из встроенных функций EXCEL: =СУММКВРАЗН(«Остатки 2, …, n »;«Остатки 1, …, n –1»)/СУММКВ(«Остатки 1, …,n ») Критические значения d ‑статистики для числа наблюдений n =10, числа факторов p =1 и уровня значимости a=0,05 составляют: d 1 =0,88; d 2 =1,32. Так как выполняется условие , статистическая гипотеза об отсутствии автокорреляции в остатках не отклоняется на уровне значимости a=0,05. Проверим отсутствие автокорреляции в остатках также и по коэффициенту автокорреляции остатков первого порядка (см. прил. 1 ). (ряд остатков упорядочен в той же самой последовательности). Для расчета коэффициента автокорреляции использовалось выражение, составленное из встроенных функций: =СУММПРОИЗВ(«Остатки 2, …, n »;«Остатки 1, …, n –1»)/СУММКВ(«Остатки 1, …,n ») Критическое значение коэффициента автокорреляции для числа наблюдений n =10 и уровня значимости a=0,05 составляет r (1)кр =0,632. Так как коэффициент автокорреляции остатков первого порядка не превышает по абсолютной величине критическое значение, то это еще раз указывает на отсутствие автокорреляции в остатках. 5) Нормальный закон распределения остатков. Выполнение этой предпосылки проверяем с помощью R /S -критерия, определяемого по формуле , где e max =6,32; e min =(–5,19) — наибольший и наименьший остатки соответственно (определялись с помощью встроенных функций «МАКС » и «МИН »); — стандартное отклонение ряда остатков (определено с помощью встроенной функции «СТАНДОТКЛОН ») (см. прил. 1 ). Критические границы R / S -критерия для числа наблюдений n =10 и уровня значимости a=0,05 имеют значения: (R /S )1 =2,67 и (R /S )2 =3,69. Так как расчетное значение R /S -критерия попадает в интервал между критическими границами, то статистическая гипотеза о нормальном законе распределения остатков не отклоняется на уровне значимости a=0,05. Проведенная проверка показала, что выполняются все пять предпосылок обычного метода наименьших квадратов. Это свидетельствует об адекватности регрессионной модели исследуемому экономическому явлению. 4. Проверим статистическую значимость коэффициентовb 0 и b 1 уравнения регрессии. Табличное значение t -критерия Стьюдента для уровня значимости a=0,05 и числа степеней свободы остатка линейной парной регрессии составляет t таб =2,306. t -статистики коэффициентов , были определены при проведении регрессионного анализа в EXCEL и имеют следующие значения: tb 0 »3,202; tb 1 »7,288 (см. прил. 1 ). Анализ этих значений показывает, что по абсолютной величине все они превышают табличное значение t -критерия Стьюдента. Это свидетельствует о статистической значимости обоих коэффициентов. На то же самое обстоятельство указывают и вероятности случайного формирования коэффициентов b 0 и b 1 , которые ниже допустимого уровня значимости a=0,05 (см. «P‑Значение» ). Статистическая значимость углового коэффициента b 1 дает основание говорить о существенном (значимом) влиянии изменения объема капиталовложений X на изменение объема выпускаемой продукции Y . 5. Коэффициент детерминацииR 2 линейной модели также был определен при проведении регрессионного анализа в EXCEL: (см. «Регрессионную статистику » в прил. 1 ). ЗначениеR 2 показывает, что линейная модель объясняет 86,9 % вариации объема выпускаемой продукции Y . F -статистика линейной модели имеет значение (см. «Дисперсионный анализ » в прил. 1 ). Табличное значениеF -критерия Фишера для уровня значимости a=0,05 и чисел степеней свободы числителя (регрессии) и знаменателя (остатка) составляетF таб =5,32. Так как F -статистика превышает табличное значениеF -критерия Фишера, то это свидетельствует о статистической значимости уравнения регрессии в целом. На этот же факт указывает и то, что вероятность случайного формирования уравнения регрессии в том виде, в каком оно получено, составляет 8,49×10-5 (см. «Значимость F » в «Дисперсионном анализе » прил. 1 ), что ниже допустимого уровня значимости a=0,05. Среднюю относительную ошибку аппроксимации определяем по приближенной формуле , где млн. руб. — средний объем выпускаемой продукции, определенный с помощью встроенной функции «СРЗНАЧ » (см. «Исходные данные » в прил. 1 ). Значение Е отн показывает, что предсказанные уравнением регрессии значения объема выпускаемой продукции Y отличаются от фактических значений в среднем на 7,1 %. Линейная модель имеет хорошую точность. По результатам проверок, проведенных в пунктах 3 — 5, можно сделать вывод о достаточно хорошем качестве линейной модели и возможности ее использования для целей анализа и прогнозирования объема выпускаемой продукции. 6. Спрогнозируем объем выпускаемой продукции Y , если прогнозное значение объема капиталовложений X составит 80 % от своего максимального значения в исходных данных: - максимальное значение X —x max =59 млн. руб. (см. «Исходные данные » в прил. 1 ); - прогнозное значение X — млн. руб. Среднее прогнозируемое значение объема выпускаемой продукции (точечный прогноз ) равно млн. руб. Стандартная ошибка прогноза фактического значенияобъема выпускаемой продукцииy 0 рассчитывается по формуле млн. руб., где млн. руб. — средний объем капиталовложений; млн. руб. — стандартное отклонение объема капиталовложений (определены с помощью встроенных функций «СРЗНАЧ » и «СТАНДОТКЛОН ») (см. «Исходные данные » в прил. 1 ). Интервальный прогноз фактического значения объема выпускаемой продукцииy 0 с надежностью (доверительной вероятностью) g=0,9 (уровень значимости a=0,1) имеет вид: млн. руб., гдеt таб =1,860 — табличное значение t -критерия Стьюдента при уровне значимости a=0,1 и числе степеней свободы . Таким образом, объем выпускаемой продукции Y с вероятностью 90 % будет находиться в интервале от 43,2 до 58,8 млн. руб. 7. График, на котором изображены фактические и предсказанные уравнением регрессии значения Y строим с помощью диаграммы EXCEL (меню «Вставка» ® «Диаграмма… » ® «Точечная »). Далее строим линию линейного тренда (меню «Диаграмма» ® «Добавить линию тренда… » ® «Линейная »), и устанавливаем вывод на диаграмме уравнения регрессии и коэффициента детерминации R 2 : Точки точечного и интервального прогнозов наносим на график вручную (прил. 3 ). 8. Логарифмическую, степенную и показательную модели также строим с помощью диаграммы EXCEL (меню «Вставка» ® «Диаграмма… » ® «Точечная »). Далее последовательно строим соответствующие линии тренда (меню «Диаграмма» ® «Добавить линию тренда… »), и устанавливаем вывод на диаграмме уравнения регрессии и коэффициента детерминации R 2 : Графики линий регрессии, уравнения регрессии и значения R 2 приведены в прил. 4 . Рассмотрим последовательно каждую модель. 1) Логарифмическая модель : . Значение параметра b 1 =29,9 показывает, что при увеличении объема капиталовложений X на 1 % объем выпускаемой продукцииY возрастает в среднем на млн. руб. Коэффициент детерминации R 2 »0,898 показывает, что логарифмическая модель объясняет 89,8 % вариации объема выпускаемой продукции Y . F -статистика Фишера логарифмической модели определяется через коэффициент детерминации R 2 по формуле . Табличное значениеF -критерия Фишера одинаково как для линейной, так и для всех нелинейных моделей, которые здесь строятся (F таб =5,32). Так как F -статистика превышает табличное значениеF -критерия, то это свидетельствует о статистической значимости уравнения логарифмической регрессии. Стандартная ошибка логарифмической регрессии также рассчитывается через коэффициент детерминации R 2 по формуле млн. руб., где млн. руб. — стандартное отклонение объема выпускаемой продукции, определенное с помощью встроенной функции «СТАНДОТКЛОН » (см. «Исходные данные » в прил. 1 ). Среднюю относительную ошибку аппроксимации определяем по приближенной формуле . Предсказанные уравнением логарифмической регрессии значения объема выпускаемой продукции Y отличаются от фактических значений в среднем на 6,2 %. Логарифмическая модель имеет хорошую точность. 2) Степенная модель: . Показатель степени b 1 =0,721 является средним коэффициентом эластичности . Его значение показывает, что при увеличении объема капиталовложений X на 1 % объем выпускаемой продукцииY возрастает в среднем на 0,721 %. Коэффициент детерминации R 2 »0,873 показывает, что степенная модель объясняет 87,3 % вариации объема выпускаемой продукции Y . F -статистика степенной модели также превышает табличное значениеF -критерия Фишера (F таб =5,32), что указывает на статистическую значимость уравнения степенной регрессии. Стандартная ошибка степенной регрессии равна млн. руб. Средняя относительная ошибка аппроксимации имеет значение . Предсказанные уравнением степенной регрессии значения объема выпускаемой продукции Y отличаются от фактических значений в среднем на 7,0 %. Степенная модель имеет хорошую точность. 3) Показательная (экспоненциальная) модель: , где е=2,718… — основание натуральных логарифмов; — функция экспоненты (в EXCEL встроенная функция «EXP »). Параметр b 1 =1,019 является средним коэффициентом роста . Его значение показывает, что при увеличении объема капиталовложений X на 1 млн. руб. объем выпускаемой продукцииY возрастает в среднем в 1,019 раза, то есть на 1,9 %. Коэффициент детерминации R 2 »0,821 показывает, что показательная модель объясняет 82,1 % вариации объема выпускаемой продукции Y . F -статистика показательной модели превышает табличное значениеF -критерия Фишера (F таб =5,32), что свидетельствует о статистической значимости уравнения показательной регрессии. Стандартная ошибка показательной регрессии: млн. руб. Средняя относительная ошибка аппроксимации: . Предсказанные уравнением показательной регрессии значения объема выпускаемой продукции Y отличаются от фактических значений в среднем на 8,3 %. Показательная модель имеет хорошую точность. Сравнивая между собой коэффициенты детерминации R 2 четырех построенных моделей (линейной, логарифмической, степенной и показательной), можно придти к выводу, что лучшей моделью является логарифмическая модель, так как она имеет самое большое значение R 2 . ПРИЛОЖЕНИЕ: компьютерные распечатки на 4 листах. ЗАДАЧА 2 Задача 2а и 2б Для каждого варианта даны по две структурные формы модели, которые заданы в виде матриц коэффициентов модели. Необходимо записать системы одновременных уравнений и проверить обе системы на идентифицируемость. Номер варианта Номер уравнения Задача 2а Задача 2б переменные переменные у 1 у 2 у 3 х 1 х 2 х 3 x 4 у 1 у 2 у 3 х 1 х 2 х 3 x 4 11 1 –1 b 12 b 13 a 11 a 12 0 0 –1 b 12 b 13 a 11 a 12 0 0 2 b 21 –1 0 a 21 a 22 a 23 0 b 21 –1 0 0 a 22 a 23 0 3 b 31 b 32 –1 0 0 a 3 3 a 3 4 b 31 b 32 –1 a 31 a 32 0 a 3 4 РЕШЕНИЕ Задача 2а Используя матрицу коэффициентов модели в исходных данных, записываем систему одновременных уравнений регрессии в структурной форме: Проверим каждое уравнение системы на выполнение необходимого и достаточного условия идентификации. В первом уравнении три эндогенные переменные: y 1 ,y 2 иy 3 (H =3). В нем отсутствуют экзогенные переменные x 3 и x 4 (D =2). Необходимое условие идентификации выполнено. Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных x 3 и x 4 , отсутствующих в данном уравнении, но имеющихся в системе: Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных Переменные x 3 x 4 2 a 23 0 3 a 33 a 34 Определитель данной матрицы не равен нулю: , а ее ранг равен 2. В заданной системе уравнений три эндогенные переменные —y 1 , y 2 и y 3 . Так как ранг матрицы не меньше, чем количество эндогенных переменных в системе без одного, то достаточное условие идентификации для данного уравнения выполнено. Первое уравнение считается идентифицируемым. Во втором уравнении две эндогенные переменные: y 1 и y 2 (H =2). В нем отсутствует одна экзогенная переменная x 4 (D =1). Необходимое условие идентификации выполнено. Составим матрицу из коэффициентов при переменных y 3 и x 4 , которые отсутствуют во втором уравнении: Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных Переменные y 3 x 4 1 b 13 0 3 –1 a 34 Определитель данной матрицы не равен нулю: , а ее ранг равен 2. Значит, достаточное условие идентификации выполнено, и второе уравнение считается идентифицируемым. В третьем уравнении три эндогенные переменные: y 1 , y 2 и y 3 (H =3). В нем отсутствует экзогенные переменные x 1 и x 2 (D =2). Необходимое условие идентификации выполнено. Составим матрицу из коэффициентов при переменных х 1 и x 2 , которые отсутствуют в третьем уравнении: Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных Переменные x 1 x 2 1 a 11 a 12 2 a 21 a 22 Определитель данной матрицы равен , а ее ранг — 2. Если , то это означает, что достаточное условие идентификации выполнено, и третье уравнение можно считать идентифицируемым. Таким образом, все три уравнения заданной системы идентифицируемы, а значит, идентифицируема и вся система в целом. Задача 2б Используя матрицукоэффициентов модели в исходных данных, записываем систему одновременных уравнений регрессии в структурной форме: Проверим каждое уравнение системы на выполнение необходимого и достаточного условия идентификации. В первом уравнении три эндогенные переменные: y 1 ,y 2 иy 3 (H =3). В нем отсутствуют экзогенные переменные x 3 и x 4 (D =2). Необходимое условие идентификации выполнено. Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных x 3 и x 4 , отсутствующих в данном уравнении, но имеющихся в системе: Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных Переменные x 3 x 4 2 a 23 0 3 0 a 34 Определитель матрицы не равен нулю: , а ее ранг матрицы равен 2. В заданной системе уравнений три эндогенные переменные —y 1 , y 2 и y 3 . Так как ранг матрицы не меньше, чем количество эндогенных переменных в системе без одного, то достаточное условие идентификации для данного уравнения выполнено. Первое уравнение считается идентифицируемым. Во втором уравнении две эндогенные переменные: y 1 и y 2 (H =2). В нем отсутствует экзогенные переменные x 1 и x 4 (D =2). Так как , то это означает, что данное уравнение сверхидентифицируемо. В третьем уравнении три эндогенные переменные: y 1 , y 2 и y 3 (H =3). В нем отсутствует одна экзогенная переменная x 3 (D =1). Так как , то это означает, что данное уравнение неидентифицируемо. Таким образом, первое уравнение заданной системы идентифицируемо, второе — сверхидентифицируемо, а третье — неидентифицируемо. Если хотя бы одно уравнение системы неидентифицируемо, то вся система считается неидентифицируемой. Данная система является неидентифицируемой и не имеет статистического решения. Задача 2в По данным таблицы для своего варианта, используя косвенный метод наименьших квадратов, построить структурную форму модели вида: Вариант n у 1 у 2 х 1 х 2 11 1 33,0 37,1 3 11 2 45,9 49,3 7 16 3 42,2 41,6 7 9 4 51,4 45,9 10 9 5 49,0 37,4 10 1 6 49,3 52,3 8 16 РЕШЕНИЕ С помощью табличного процессора EXCELстроим два приведенных уравнения системы одновременных уравнений регрессии (меню «Сервис» ® «Анализ данных… » ® «Регрессия »): Данные уравнения образуют приведенную форму системы одновременных уравнений регрессии: Коэффициенты приведенной формы имеют следующие значения:d 10 »19,90; d 11 »2,821; d 12 »0,394; d 20 »19,14; d 21 »1,679 и d 22 »1,181 (см. прил. ). Таким образом, приведенная форма системы уравнений имеет вид: Определим коэффициенты структурной формы системы уравнений Структурные коэффициенты определяются по формулам: ; ; ; ; ; . Окончательно структурная форма системы одновременных уравнений регрессии примет вид: ПРИЛОЖЕНИЕ: компьютерная распечатка на 1 листе.