Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 51
|
Московский Государственный Институт Электронной Техники (Технический Университет)
По дисциплине: «
Дискретная Математика
»
Тема: «Строение конечной группы 24-го порядка, заданной образующими и определяющими соотношениями G = < x, y | x2
=y2
=(xy)3
> » Выполнил:
. Группа:
ЭКТ-35 Проверил:
Клюшин А.В. Москва 2009г. Оглавление.
Титульный лист…………………………………………………………….1 Оглавление………………………………………………………………...2 1. Теоретическая часть…………………………………………………...3 1.1 Понятие группы……………………………………………………3 1.2 Определение группы. Свойства подгрупп………………………4 1.3 Изучения строения групп, заданных образующими и определяющими соотношениями……………………………….....5 2. Практическая часть…………………………………………………….7 2.1 Доказательство того, что в группе nэлементов………………..7 2.2 Оперделения порядка элементов…………………………………9 2.3 Вычисление таблицы умножения данной группы. Нахождение центра группы………………………………………10 2.4 .
Составление таблицы подгрупп, порожденных двумя элементами………………………………………………………11 2.5 Нахождение всех подгрупп группы G…………………………………13 2.6 Структура всех подгрупп……………………………………………….14 3. Список используемой литературы…………………………………..……..15 . 1.
Теоретическая часть.
1.1. Понятие группы.
Определение
1. Пусть G
— некоторое множество. Бинарной операцией на G
называется произвольное отображение G
´ G
® G. Если
(g1,g2)ÎG
1
´ G
2
, то
результат бинарной операции чаще всего будем обозначать g
1
• g
2
, где
(•) — знак
бинарной операции.
Определение 2.
Множество G с бинарной операцией
(•) называется группой, если
1) " g1 , g2,g3 Î G (g1• g2) • g3 =g1• ( g2• g3) 2)
$ e
ÎG: e
•g = g
•е = e, этот элемент е будем называть единицей группы G;
3) " g
ÎG
$ g-1
ÎG : g
• g
-1
= g
-1
• g = e, элемент g
-1
для элемента g будем
называть обратным к g.
Если к условиям 1)-3) добавить условие 4) " g1 ,
g2 Î G g1•g2 =
g2•g1 ,то группа G называется абелевой или коммутативной.
В этом случае знак бинарной операции чаще обозначают
(+), что мы и будем
делать.
Результат бинарной операции (•) в дальнейшем будем называть произведением. Прежде всего заметим, что, благодаря условию 1), произведение нескольких элементов группы можно записывать без скобок. Определение 3.
Центр группы G, обычно обозначается Z(G), определяется как
Z(G) = {g
ÎG | gh = hg для любого h
ÎG }
. Иначе говоря, это максимальная подгруппа элементов, коммутирующих с каждым элементом G. Предложение 1.
Единица в группе может быть только одна.
Доказательство. Действительно, если два элемента e1,e2 Î G
обладают свойством 2), то e1 =e1 • е2 =
e2 • e1 Предложение доказано. Предложение 2. В
группе элемент, обратный к данному элементу g, может быть
только один.
Доказательство. Если два элемента g
-1
1
и g
-1
2
обладают свойством 3) для элемента g,
то g
1
-1
= g
1
-1
• e= g
1
-1
•g • g
2
-1
= e
• g
2
-1
= g
2
-1
Что и требовалось доказать.
Каждая конечная группа может быть задана таблицей умножения, которая иначе называется "таблицей Кэли". Для составления таблицы Кэли элементы группы выписываются по горизонтали и вертикали в определенном порядке. В клетке на пересечении строки g
Î G и столбца h
ÎG
пишется элемент gh.
Таблица Кэли обладает важным свойством: в каждой строке и каждом столбце каждый элемент группы встречается ровно один раз. Таким образом, каждый столбец и каждая строка являются некоторой перестановкой элементов группы. 1.2. Определение подгруппы. Свойства подгрупп.
Определение
1. Подмножество H группы G называется подгруппой, если
выполнены следующие условия
1) е
Î H; 2)
" h1 ,
h2 Î H h1 • h2 ÎH;
3)
" h ÎH h-1ÎH. Как мы уже знаем, каждую конечную группу можно задать с помощью таблицы умножений или таблицы Кэли. В каждой строке и каждом столбце таблицы Кэли каждый элемент группы встречается ровно один раз. Если элементы группы перенумеровать, то каждому элементу будет соответствовать некоторая перестановка. Определение 2.
Если H - подгруппа группы G и g
Î G, то множество gH = { gh | h
Î H} называется левым смежным классом группы G по подгруппе
H. Соответственно,
множество Нg называется правым смежным классом.
Каждое разбиение группы G
на левые (правые) смежные классы по любой подгруппе H задает некоторое отношение эквивалентности. Определение
3. Число элементов конечной группы или, соответственно,
подгруппы будем называть ее порядком.
Определение
4. Пусть а
1
,…
,а
n
Î G. Через
< а
1
,…
,а
n
> будем обозначать
наименьшую подгруппу в G, содержащую элементы а
1
,…
,а
n
. Если
< а
1
,…
,а
n
>= G,
то элементы {а
1
,…
,а
n
} будем называть системой образующих группы G. Систему
{а
1
,…
,а
n
} будем называть минимальной системой образующих группы G, если
после удаления любого элемента оставшееся множество уже не будет являться
системой образующих для G. Группу G будем называть циклической, если
найдется элемент g
Î G такой, что
<g>=G. Теорема 2 (Лагранжа).
Порядок подгруппы делит порядок конечной группы.
Доказательство. Пусть G
— конечная группа, Н
— подгруппа. Рассмотрим разбиение группы G
на левые смежные классы по подгруппе Н.
Во-первых, всегда g
Î gH.
Значит, объединение всех левых смежных классов дает G.
Далее, покажем, что левые смежные классы либо не пересекаются, либо совпадают. Действительно, если g3 Î g1H Ç g2H,
то g
3
= g
1
h
1
= g
2
h
2
для некоторых h
1
, h
2
ÎH. Но тогда g1 = g
2
h
2
h
1
-1
Î g2H, а g
2
=g
1
h
1
h
2
-1
Îg1H. Отсюда следует, что g
1
H
= g
2
Н.
Теперь покажем, что все левые смежные классы состоят из одного и того же числа элементов. Действительно, рассмотрим отображение H ® gH,
задаваемое правилом g ® gh.
Разные элементы при этом отображении переходят в разные. Действительно, если gh1=
gh
2
,
то, умножая равенство слева на g
-1
,
получим h
1
= h
2
.
Следовательно, |Н|
= |gН|.
Таким образом, конечное множество G
разбилось на некоторое множество (пусть к)
подмножеств, состоящих из |Н|
элементов. Тогда |G| = к •|Н|.
Теорема доказана. Следствие. Если G - конечная группа, то порядки ее элементов являются
делителями числа |G|.
Доказательство. Если о(g)
== к,
то множество {g, g
2
,...
, gk-1, е} образует подгруппу в G.
Следствие доказано. 1.3 Изучение строения групп, заданных образующими и определяющими
соотношениями.
Рассмотрим алфавит из символов х, у, х
-1
, у
-1
. Конечную последовательность символов будем называть словом. Если z
- символ, договоримся записывать z
n вместо { n
z...z
. Слово, состоящее из пустого множества символов будем обозначать е
. Кроме того, если n,m
- целые числа разных знаков, то слово z
n
z
m
договоримся сокращать и записывать как z
n+m
. Например, х
3
х
-4
= х
-1
, х
2
х
-2
= е
. На множестве слов рассмотрим бинарную операцию (·)
, которую будем на- зывать умножением. Если u=z
1
...z
n
и v = t
1
…t
m
- два слова, то их произведением будем называть слово uv = z
1
...z
n
t
1
...t
m
, в котором произведены все возможные сокращения. Если одно из слов равно е
, то положим е·u = u·е = u
. Несложно видеть, что данная бинарная операция ассоциативна, а элемент е
является единицей. Кроме того, каждое слово имеет обратное. Действительно, если u =
z
1
...z
n
, то u
-1
=
1 1
n 1
z
- ...z
- . Таким образом, множество всех слов в данном алфавите с определенной выше бинарной операцией будет группой. Эта группа называется свободной группой с двумя образующими х, у
. Аналогично можно определить свободную группу с тремя образующими и т.д. Пусть F
- свободная группа с образующими x
1
...x
n
. Равенство двух слов u=v
будем называть соотношением. Всякое соотношение можно записать в виде u·v
-1
= е
. Пусть задана система из k
соотношений Рассмотрим все нормальные подгруппы группы F
, содержащие слова w
1
,..., w
k
Одной из таких подгрупп является сама группа F. Пересечение всех нормальных подгрупп, содержащих w
1
,..., w
k
, обозначим N
. Можно показать, что пересечение нормальных подгрупп всегда будет являться нормальной подгруппой. Таким образом, N
будет наименьшей нормальной подгруппой, содержащей элементы w
1
,..., w
k
. Пусть G = F/N
- фактор-группа. Напомним, что элементами фактор- группы являются смежные классы по подгруппе N
. Если u
- слово, u
Î F, то через u
будем обозначать смежный класс, содержащий u
. Тогда в фактор-группе G справедливы равенства 1
w
= k
w
= 1 . Группу G
будем называть группой с образующими x
1
...x
n
и соотношениями (1) и задавать в следующем виде 1 n 1 1 k k
G=<x ,...,x | u = v ,...,u = v >
(2) На практике в каждом смежном классе группы G = F/N
выбирают наиболее "простое" слово. Если одно слово группы F
можно получить из другого с помощью алгебраических преобразований, используя соотношения (1), то в группе G такие слова равны (точнее, они лежат в одном смежном классе). В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением только конечных групп, за- данных образующими и соотношениями. Поскольку в конечной группе каждый элемент имеет конечный порядок, можно ограничиться словами, в которые каждый 6 символ входит в неотрицательной степени. Действительно, если , х
n
=
1 (n
> 1), то х
-1
= х
n-
1. На множестве слов введем порядок. Сначала упорядочим множество ис- ходных символов, т.е. будем считать, что x
1
< x
2
< ...
< x
n
. В слове 1 k
1 k
u
= t
a ...t
a можно предполагать, что следующий символ отличен от предыдущего, т.е. i 1 i
t t
+ ¹ . Пусть имеются два слова 1 k
1 k
u
= t
a ...t
a и 1 m
1
m
v
= s
b ...
s
b , где i
i
t
,
s
Î{ x
1
...
x
n
}. Будем считать, что u
< v
, если 1 k 1 m
a + ...
+a < b + ...
+ b . В случае 1 k 1 m
a + ...
+a = b + ...
+ b будем считать, что u
< v
, если 1 1
t
< s
или 1 1
t
= s
, но 1 1
a > b . Если 1 1
t
= s
и 1 1
a = b , то для сравнения слов u
и v
надо рассмотреть следующие символы и т.д.. Таким образом, в алфавите х, у получается следующая последовательность слов, расположенных по возрастанию. 1, x, y, x
2
,xy, yx, y
2
,x
3
,x
2
y,xyx,xy
2
, yx
2
, yxy, y
2
x, y
3
,...
Имея задание группы в виде (2), прежде всего нужно убедиться, что в G
лишь конечное число элементов. Используя соотношения (1) нужно в каждом смежном классе выбрать наименьшее слово. Это иногда является непростой задачей, т.к. не существует алгоритма позволяющего определить, являются ли два слова равными в силу соотношений (1). Центром группы называется множество всех ее элементов, коммутирующих со всеми элементами группы. Центр группы G
является подгруппой и обозначается Z(G)
. Если имеется таблица умножений, то центр образуют те элементы, для которых соответствующая строка в таблице умножений равна столбцу с тем же номером. 2. Практическая часть
Рассмотрим группу G с образующими элементами x и y, введенной бинарной операцией (∙), которую будем называть умножением. G=< x, y|
x
2
= y
2
=(
xy
)3
>
, n = 24.
По определению группы операция умножения ассоциативна, а элемент e
является единицей, и для нее справедливы известные соотношения. Минимальной системой образующих для нашей группы будет являться система из двух элементов - {x, y}. Определим единицу данной группы. xy
=
yxyx
y
2
=(
yxyxxyxy
)
xy
,
yxyxxyxy
=
e
,
x
8
=
y
8
=
e
2.1. Доказательство того, что в группе
n
элементов.
Путем анализа определяющих соотношений убедиться, что число элементов этой группы действительно равно n. Выразить все элементы через образующие. Рассмотрим каждый элемент группы в виде слова, записанного с помощью букв x и y. Будем для начала рассматривать слова длины 1, т.е. элементы x и y. Путем дописывания справа от имеющегося слова букв x или y, будем получать слова длины на единицу больше, чем данное. Новое слово будем пытаться свести к уже имеющимся с помощью определяющих соотношений: x
8
= e
, y
8
= e
, x
2
= y
2
=(
xy
)3
. Если нам это удается, то для полученного “старого” слова процесс прекращаем, иначе продолжаем действовать по той же схеме, т.е. дописываем буквы и пытаемся свести полученное слово к уже имеющимся. В итоге, каждое неприводимое слово будет новым элементом группы. 1. e 2. x 3. y 4. x2
5. xy= x2
yxyx
6. yx= x3
yxy
7. x3
8. x2
y =y x2
= y3
9. xyx
10. x y2
= y2
x
11. yxy= x5
yx= x3
yx y2
12. x4
=x y2
x= x2
y2
13. x3
y= x y3
=xy x2
14.x2
yx= yx y2
= y3
x=y x3
15. xyxy=yxyx 16. x5
= x3
y2
17. x4
y = x2
y x2
18. x3
y x=xyx y2
19. x2
y xy=yxy x2
20. x6
= x4
y2
21. x5
y = x3
y x2
= x4
yxy
22. x4
yx= x2
yx y2
23. x7
= x5
y2
24. x6
y = x4
y x2
Данным методом мы доказали, что в нашей группе действительно 24 элемента. 1. e 2. x 3. y 4. x2
5. xy 6. yx
7. x3
8. x2
y
9. xyx
10.x y2
11.yxy
12.x4
13.x3
y
14.x2
yx
15.xyxy 16.x5
17.x4
y
18.x3
y x
19.x2
y xy
20.x6
21.x5
y
22. x4
yx
23. x7
24. x6
y
2.2 Определение порядков элементов.
1. o(e)=1 2. o(x)=8 3. o(y)=8 4. o(x2
)=4 x2
x2
x2
x2
=e 5. o(xy)=12 6. o(yx)=12 7. o(x3
)=4 8. o(x2
y
)=4 9. o(xyx
)=8 10.o(yxy
)=8 11.o(x
4
)=2 12.o(x
3
y
)=8 13.o(x
2
yx
)=4 14.o(xyxy)=6 15.o(yxyx)=4 16.o(x
5
)=8 17.o(x
4
y)=8 18.o(x
3
y
x
)=8 19.o(x
2
y
xy
)=8 20.o(x
6
)=4 21.o(x
5
y
)=8 22.o(x
4
yx
)=4 23.o(x
7
)=8 24.o(x
6
y
)=4 В соответствие с полученными результатами переобозначим элементы группы: 2.3. Вычисление таблицы умножений данной группы. Нахождение центра группы.
Ввиду большого количества громоздких вычислений, не будем приводить их. Скажем только то, что они основываются на базовых соотношениях x
8
= e
, y
8
= e
, x
2
= y
2
=(
xy
)3
, а также на ряде производных соотношений. Применяя эти рассуждения, получим таблицу умножений. Приведем все полученные элементы, а затем рассмотрим примеры их получения: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||