Контрольная работа по Экономико-математическому моделированию По территориям Волго-Вятского, Центрально-Черноземного и Поволжского районов известны данные за ноябрь 1998 г. Район Потребительские расходы в расчете на душу населения тыс. руб. у Средняя заработная плата и выплаты социального характера, тыс. руб., х Волго-Вятский район Респ. Марий Эл 302 554 Респ. Мордовия 360 560 Чувашская респ. 310 545 Кировская обл. 415 672 Нижегородская обл. 452 496 Центрально-Черноземный Белгородская обл. 502 777 Воронежская обл. 355 632 Курская обл. 416 688 Липецкая обл. 501 833 Тамбовская обл. 403 577 Поволжский Респ. Калмыкия 208 584 Респ. Татарстан 462 949 Астраханскаяобл. 368 888 Волгоградская обл. 399 831 Пензенская обл. 342 562 Саратовская обл. 354 665 Ульяновская обл. 558 705 Задание 1. Постройте поле корреляции и сформируйте гипотезу о форме связи. 2. Рассчитайте параметры уравнений линейной, степенной, экспоненциальной, обратной, гиперболической парной регрессии. 3. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации. 4. Рассчитайте коэффициент эластичности. 5. Оцените качество уравнений с помощью средней ошибки аппроксимации. 6. Оцените статистическую надежность результатов регрессионного моделирования с помощью F-критерия Фишера. По значениям характеристик, рассчитанных в пп. 4, 5 и данном пункте, выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование. 7. Рассчитайте ожидаемое значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 7% от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости a=0,05. 8. Оцените полученные результаты. Построим поле корреляции: В данном случае можно сформулировать гипотезу о наличии связи между расходами и заработной платы, носящей скорее всего гиперболический характер. 1.1 Построить линейную модель. Определим линейный коэффициент парной корреляции по следующей формуле, используя данные таблицы 1 приложения. Можно сказать, что связь между размером потребительских расходов и средней заработной платы и выплат социального характера. Уравнение линейной регрессии имеет вид: Значения параметров линейной модели определим, используя данные таблицы 1. , . Уравнение регрессии имеет вид: Рассчитаем коэффициент детерминации: Оценку значимости уравнения регрессии проведем с помощью F-критерия Фишера. F> Fтабл=4,54 для α=0,05; k1 =m=1;k2 =n-m-1=15, то уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое. Определим среднюю ошибку: В среднем расчетные значения ý для линейной модели отличаются от фактических значений на 4,04%. 1.2 Построение степенной модели парной регрессии Уравнение степенной регрессии имеет вид: Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения: Данные приведены в таблице 2 приложения. Обозначим Y=lgŷ, X=lgx, A=lga. Тогда уравнение примет вид: Y=A+bX-линейное уравнение регрессии. Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 3. A=0,001 Уравнение регрессии будет иметь вид: Y=0,001+0,915X Перейдем к исходным данным уравнения, выполнив потенциирование данного уравнения: Ŷ=10-0,001 *х0,915 Получим уравнение степенной модели регрессии: Ŷ=0,998*х0,915 Определим индекс корреляции: Связь между показателем у и фактором х можно считать достаточно сильной. Коэффицент детерминации равен R2 =r2 XY =0,728 Рассчитаем критерий Фишера. F> Fтабл=4,54 для α=0,05; k1 =m=1;k2 =n-m-1=15 Средняя относительная ошибка В среднем расчетные значения ý для степенной модели отличаются от фактических значений на 1,28%. 1.3 Построение экспоненциальной функции Ŷ=аbx Для построения этой модели необходимо провести линериаризацию переменных. Для этого осуществим логарифмирование обеих частей уравнения. Lgŷ=lga+xlgb Обозначим Y=lgŷ, B=lgb, A=lga Получим линейное уравнение регрессии: Y=A+Bx Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 4 приложения. , . Перейдем к исходным данным уравнения, выполнив потенциирование данного уравнения: Ŷ=100,026 *(100,004 )x =1,06*1,01x Определим индекс корреляции: Связь между показателем у и фактором х можно считать недостаточно сильной. Коэффицент детерминации равен R2 =r2 XY =0,404 Рассчитаем критерий Фишера. F<Fтабл=4,54 для α=0,05; k1 =m=1;k2 =n-m-1=15 Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т.к. F> Fтабл. Средняя относительная ошибка В среднем расчетные значения ý для экпоненциальной модели отличаются от фактических значений на 5,16%. 1.4 Построение гиперболической функции Уравнение гиперболической функции: Ŷ=a+b/x Проведем линеаризацию модели путем замены Х=1/х. В результате получим линейное уравнение ŷ=a+bX Рассчитаем его параметры по данным таблицы 5. , . Получим следующее уравнение гиперболической модели: Ŷ=31,001+215709,49/х Определим индекс детерминации:r2 =0,951 Вариация результата Y на 95,1% объясняется вариацией фактора Х. Рассчитаем критерий Фишера. F>Fтабл=4,54 для α=0,05; k1 =m=1;k2 =n-m-1=15 Средняя относительная ошибка: 0,067*44,106=2,955% В среднем расчетные значения ý для гиперболической модели отличаются от фактических значений на 2,955%. 1.5 Выбор лучшей модели Для выбора лучшей модели построим сводную таблицу результатов Коэффициент детерминации F-критерий Фишера Индекс корреляции Средняя относительная ошибка Линейная 0,346 7,9 0,588 4,04 Степенная 0,728 40,2 0,924 1,28 Экспоненциальная 0,636 0,404 10,17 5,16 Гиперболическая 0,951 291,1 0,975 2,955 Наибольшее значение коэффициента детерминации и критерия Фишера имеет гиперболическая модель. Она же имеет практически наименьшую среднюю относительную ошибку, значит, ее можно взять в качестве лучшей для построения прогноза. 1.6 Расчет прогнозного значения результативного показателя. . Подставим значение xр в уравнение гиперболической регрессии: Ŷ=31,001+215709,49/х Доверительный интервал прогноза для уровня значимости a определяется в виде: где Рассчитаем необходимые величины: ; ; ; ; . В результате доверительный интервал прогноза для уровня значимости 0,05 равен: 505,8-0,275*145,8 . 465,7