Лабораторная - Представлення і перетворення фігур ПРЕДСТАВЛЕННЯ І ПЕРЕТВОРЕННЯ ТОЧОК Представлення точок здійснюється наступним чином: На площині У просторі Перетворення точок. Розглянемо результати матричного множення , що визначає точку Р, і матриці перетворення 2х2 загального виду: (3.1) Дослідимо декілька часткових випадків. 1) а =d =1 і c =b =0.Змін не відбувається . (3. 2 ) 2) d =1, b =c =0. Зміна масштабу по осі x . (3. 3 ) 3) b =c =0. Зміна масштабу по осях x і y . (3. 4 ) 4) b =c =0, d =1, a =-1. Відображення координат відносно осі y . (3. 5 ) 5) b =c =0, a =d <0. Відображення відносно початку координат .(3. 6 ) 6) а =d =1,c =0. Зсув . (3. 7 ) Для початку координат маємо інваріантно . Рис.3.1. Перетворення точок. ПЕРЕТВОРЕННЯ ПРЯМИХ ЛІНІЙ Пряма задана 2 векторами. Вектори положення точок А і В рівні і . Рис.3.2. Перетворення прямих ліній. Матриця перетворення . Одержимо: ,(3. 8 ) .(3. 9 ) Альтернативне представлення лінії AB . Після цього множення матриці L на Т дасть . (3.10) Операція зсуву збільшила довжину лінії і змінила її положення. ОБЕРТАННЯ Розглянемо плоский трикутник ABC. Здійснимо поворот на 90° проти годинникової стрілки. Рис.3.3. Обертання і відображення. Одержимо .(3. 11 ) В результаті отримаємо трикутник A*B*C*. Поворот на 180° задається матрицею , поворот на 270° навколо початку координат - за допомогою матриці: . ВІДОБРАЖЕННЯ Відображення визначається поворотом на 180° навколо осі, що лежить у площині ху . 1) Обертання навколо прямої y =x задається матрицею: . Нові вирази визначаються співвідношенням: .(3. 12 ) 2) Обертання навколо осі y =0 задається матрицею: . Нові вершини визначаються співвідношенням: . (3.13) ЗМІНА МАСШТАБУ Зміна масштабу визначається значенням 2-х елементів головної діагоналі матриці. Якщо використовуємо матрицю маємо збільшення в 2 рази. Якщо значення елементів не рівні, то має місце спотворення. Трикутник ABC перетворений за допомогою матриці . Трикутник DEF перетворений за допомогою матриці . Маємо спотворення. Рис.3.4. Рівномірна і нерівномірна зміна масштабів. ДВОВИМІРНИЙ ЗСУВ І ОДНОРІДНІ КООРДИНАТИ Введемо третій компонент у вектори точок і - і . Матриця перетворення матиме вигляд: перетворення фігура площина точка . Таким чином, . (3.14) Константи m , n викликають зсув x * і y * відносно x і y . Матриця 3х2 не квадратна - вона не має оберненої матриці. Доповнимо матрицю перетворення до квадратної . (3.15) Третій компонент не змінюється.