Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана ПО СЕТОЧНЫМ МЕТОДАМ Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине Преподаватель: Станкевич И.В. Группа: ФН2-101 Студент: Смирнов А.В. Москва 2002 Содержание Постановка задачи....................................................................................................................................................................... 3 Решение............................................................................................................................................................................................ 4 Триангуляция............................................................................................................................................................................ 5 Метод конечных элементов.................................................................................................................................................. 6 Список литературы:................................................................................................................................................................... 12 Постановка задачи Рассчитать установившееся температурное поле в плоской пластине, имеющей форму криволинейного треугольника с тремя отверстиями (см. рисунок). К внешним границам пластины подводится тепловой поток плотностью . На внутренних границах конструкции происходит теплообмен со средой, характеризующийся коэффициентом теплообмена и температурой среды . Коэффициент теплопроводности материала пластины Рис. 1 Решение Введем декартову систему координат , выбрав начало координат и направим оси x и y так, как показано на рис.2. Рис. 2 Задача теплопроводности в пластине запишется в виде (1) (2) (3) где - направляющие косинусы вектора внешней нормали к граничной поверхности, - граничная поверхность, на которой происходит теплообмен с коэффициентом теплообмена , - граничная поверхность, на которой задан тепловой поток плотности . Решение уравнения (1) с граничными условиями (2) и (3) можно заменить задачей поиска минимума функционала . (4) Решать поставленную задачу будем с помощью метода конечных элементов. Для этого сначала проведем триангуляцию нашей области. Триангуляция. Результат триангуляции представлен на рис.3. Рис. 3 Все выбранные узлы заносятся в список, который содержит информацию о координатах узлов. Номер узла определяется его номером в списке. Кроме списка вершин будем вести еще список треугольников. В глобальном списке треугольников будет храниться информация о каждом построенном треугольнике: номера (Top1, Top2, Top3 ) трех узлов, составляющих данный элемент и номер границы. Номер треугольника определяется его номером в списке. Договоримся, что у каждого треугольника границе может принадлежать только одна сторона и если такая сторона есть, то вершины, которые она соединяет, будут стоять на первых двух позициях (Top1 и Top2 ). Обход треугольника совершается против часовой стрелки. Метод конечных элементов Выберем произвольный треугольник (с номером e ). Обозначим его вершины и . Каждому узлу треугольника поставим в соответствие функцию формы , (5) где , A – площадь треугольника. Тогда температуру в пределах треугольника можно определить с помощью функций форм и значений температуры в узловых точках . (6) Функционал (4) можно представить в виде суммы функционалов , каждый из которых отражает вклад в функционал (4) элемента с номером e . (7) Минимум функционала (4) находим из условия (8) Функционал можно представить в виде (9) Здесь , глобальный вектор температур , - матрица градиентов, которая для функций формы (5) примет вид , . Локальный вектор температур . Здесь матрица геометрических связей имеет размерность . Элементы этой матрицы определяются следующим образом: ; все остальные элементы равны нулю. Продифференцируем функционал (9): Из выражения (8) с учетом последнего соотношения получаем , где матрица теплопроводности элемента ; вектор нагрузки элемента . В силу особенностей проведенной триангуляции можно выделить три группы конечных элементов. В первую входят треугольники, у которых сторона i – j принадлежит одной из внешних границ. Во вторую – те, у которых та же сторона принадлежит одной из внутренних границ. И, наконец, третью группу составляют элементы, стороны которых лежат внутри рассматриваемой области. В зависимости от того, к какой группе принадлежит конечный элемент с номером e , матрица и вектор будут определяться несколько различным образом. Обозначим . Поверхностные интегралы можно посчитать с помощью относительных координат . Отрезки, соединяющие любую фиксированную точку P треугольника e c его вершинами, разбивают этот элемент на три треугольные части площадью . Координаты определяются из соотношений . Используя относительные координаты, можно получить следующие соотношения: Если конечный элемент с номером e принадлежит к первой группе, то . Если ко второй, то . Наконец, если элемент принадлежит к третьей группе, то . Вектор температур, удовлетворяющий условию (8) минимума функционала (4), находим решением системы линейных алгебраических уравнений , (10) где глобальная матрица теплопроводности K и глобальный вектор нагрузки F определяются по формулам , . (11) Для решения задачи (10) применялся следующий алгоритм: · Вычисление разложения матрицы ( ). · Оценка числа обусловленности. Если число обусловленности больше ( определяется точностью вычислительной машины), то выдается предупреждение, так как малые отклонения в коэффициентах матрицы могут привести к большим отклонениям в решении. · . . Реализация описанного выше метода проводилась на языке программирования С++ и FORTRAN в среде интегрированной среде разработки Microsoft Visual C++ 6.0. Конечные результаты данной работы приведены на рис.4 - 7. Рис. 4 Рис.5 Рис.6 Рис.7 Список литературы: 1. Амосов А.А, Дубинский Ю.А, Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров: Учеб. пособие. – М.: Высш. шк., 1994. – 544 с. 2. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. – М.: Мир, 1979. – 392 с.