Степінь з ірраціональним показником Вступ Введення поняття степеня з ірраціональним показником Означення поняттястепеня з ірраціональним показником Узагальнення поняття степеня Список літератури Вступ З поняттям степені з ірраціональним показником учні ознайомуються або у 10 або у 11(12) классі залежно від профілю навчання та навчального закладу. Якщо розглянути підручник Бурда М.І. Дубінчук О.С. Мальований Ю.І. Математика 10-11 для шкіл, ліцеїв та гімназій гуманітарного профілю, то це поняття вводиться в 11 класі, причому, воно узагальнюється до поняття степеня з дійсним показником, у підручнику Бевз В.Г. Алгебра 10-11 для загальноосвітніх шкіл, з цим матеріал учні знайомляться ще в 10 класі. Введення поняття Після того, як для будь-якого дійсного числа ми визначили операцію пінесення до натурального степеня, для будь-якого ми визначили операцію піднесення до нульового степеня та цілий від'ємний степінь, для будь-якого – у додатний дробовий степінь, для будь-якого – у від'ємний дробовий степінь, з'являється питання: чи можна якимось чином визначити операцію піднесення до ірраціонального степеня, тобто визначити зміст виразу , для будь-якого дійсного х. Виявляється, що для додатних чисел а можна надати сенсу запису , . Для цього треба розглянути 3 випадки:а=1, а >1, 0< a <1 1) а=1 ,то за визначенням . 2) Якщо а >1 , то оберемо будь-яке раціональне число , та будь- яке раціональне число , тоді очевидно, що , а тому . Але , та оскільки а >1 , тоді і нарешті , тобто . Під розуміють таке число, яке лежить між та , при будь-якому виборі та . Можна довести, що число єдине для будь-якого а >1 та ірраціонального . 3) Якщо 0< a <1 , тооберемо будь-яке раціональне число , та будь- яке раціональне число , тоді очевидно, що , а тому . Під розуміють таке число, яке лежить між та , при будь-якому виборі та . Можна довести, що число єдине для будь-якого 0< a <1 та ірраціонального . Розглянемо приклади: Для визначення степеня обирають 2 послідовності: 1; 1,7; 1,73; … 2; 1,8; 1,74;… Причому, ці послідовності такі, що Отримаємо наближення з надлишком та недостачею. Звідси отримаємо з надлишком та недостачею. Для визначення степеня обирають 2 послідовності: 1,4; 1,41; 1,414; … 1,5; 1,42; 1,415;… Причому, ці послідовності такі, що Отримаємо наближення з надлишком та недостачею. Звідси отримаємо з надлишком та недостачею. Якщо - від'ємне ірраціональне число ( , ), тоді вираз має той же самий сенс, який маєть степені із від'ємним раціональним показником: та . Означення поняття А тепер дамо означення степеня з ірраціональним показником: Означення Степенем з ірраціональним показником та основою а, де а > 0, називається дійсне число , яке є границею послідовності , де - послідовність раціональних чисел така, що границя . Узагальнення поняття степеня Узагальнимо поняття степеня: Означення Степенем з дійсним показником та основою а, де а > 0, називається границя послідовності , де - послідовність раціональних чисел така, що границя . При цьому для степеня з будь-яким дійсним показником справджуються ті ж самі властивості, як і для степеня з раціональним показником, а саме: 1) , . 2) , . 3) , . 4) , . 5) , . 6) , , . Список літератури 1. Шкіль М.І., Слєпкань З.І., Дубинчук О.С. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 11 кл. загальноосвіт. навч. закл. – К.: Зодіак-ЕКО, 2006. – 384 с. 2. Бевз Г.П. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 10–11 кл. загальноосвіт. навч. закл. – К.: Освіта, 2005. – 255 с. 3. Бурда М.І., Дубінчук О.С., Мальований Ю.І. Математика 10-11: Навч. посіб. для шкіл, ліцеїв та гімназій гуманітарного профілю. – К.: Освіта,2004. – 223с.