Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя Міністерство охорони здоров’я України Житомирський фармацевтичний коледж ім. Г.С. Протасевича на тему: “ Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя ” Роботу виконала Студентка 211 групи Піщук Олеся Викладач: Виговська В.Г. Отриманий бал: _____________ м. Житомир – 2006 План І. Розкриття невизначеностей з використанням правила Лопіталя. 1) Правило Лопіталя. а) Наслідок. б) Приклад 1. 2) Розкриття невизначеностей виду: ∞-∞; 0∙∞; 1∞ ; 00 ; ∞0 . а) Приклад 2. б) Приклад 3. в) Приклад 4. Список використаної літератури. І. Розкриття невизначеностей з використанням правила Лопіталя. Лопіталь де Гійом Франсуа (1661-2.02.1704 рр.). Французький математик, член Парижської АН, народився в Парижі, вивчав математику під керівництвом У. Бернуллі. Видав перший друкований підручник по диференціальному обчисленню – “Аналіз нескінченно малих” (1696р.). В підручнику є правило Лопіталя – правило знаходження межі дробу, чисельник і знаменник якого прямує до 0. Крім того, він створив курс аналітичної геометрії конічних перетинів. Йому також належить дослідження і розвиток за допомогою математичного аналізу декількох важких задач по геометрії і механіці, а також одне із рівнянь знаменитої задачі о браністохроні. 1. Правило Лопіталя. Нехай виконані умови: 1. функції f(х) та g(х) визначені і диференційовані в колі точки х0 ; 2. частка цих функцій в точці х0 має невизначеність вигляду або ; 3. існує . Тоді існує і виконує рівність: (1) а) Наслідок. Нехай: 1. Визначені в колі точки х0 функції f(х), g(х) та їх похідні до n -го порядку включно; 2. Частки , , …, мають невизначеність вигляду або ; 3. Існує , тоді (2) б) Приклад 1. Знайти: . Розв’язання: Функції та визначені з усіма своїми похідними в околі точки х=0 . Маємо: . 2) Розкриття невизначеностей виду: ∞-∞; 0∙∞; 1∞ ; 00 ; ∞0 . Існують прийоми, що дозволяють зводити вказані невизначеності до невизначеностей вигляду або , які можна розкривати з використанням правила Лопіталя. 1. Нехай і , тоді (3) За умовою при , тому при . Якщо не прямує до 0 при , то границя в правій частині (3) не існує, а тому і границя лівої частини (3) не існує. Якщо при , то вираз має невизначеність . 2. Нехай , , тоді має невизначеність вигляду при . В цьому випадку поступають так: Під знаком останньої границі маємо невизначеність . 3. Нехай , при . Тоді має невизначеність вигляду . Позначимо . Шляхом логарифмування цієї рівності одержимо: Отже, обчислення натурального логарифма границі зводиться до розкриття невизначеності вигляду . 4. Невизначеності вигляду та зводять до невизначеностей або шляхом логарифмування аналогічно до невизначеності вигляду . а) Приклад 2. Знайти границю . Розв’язання: Функції та диференційовані, а їх частка має невизначеність вигляду при . Використовуючи правило Лопіталя, одержимо: . б) Приклад 3. Знайти границю . Розв’язання: В цьому випадку маємо невизначеність вигляду . Позначимо і про логарифмуємо цю рівність. Одержимо: , тобто невизначеність вигляду . Використовуючи правило Лопіталя, одержимо: . Отже, . в) Приклад 4. Знайти границю . В цьому випадку маємо невизначеність вигляду . Нехай . Логарифмуючи цю рівність, одержимо: . Чотири рази застосували правило Лопіталя. Отже, маємо: Список використаної літератури: 1. Кривуца В.Г., Барковський В.В., Барковська Н.В. К.82. Вища математика. Практикум. Навчальний посібник.–Київ: Центр навчальної літератури, 2005.–536с. 2. Бородин А.И., Бугай А.С., Биографический словарь деятелей в области математики. Радянська школа 1979. 3. Алгебра и начала анализа: В 2-х ч./ Под. ред. Г.Н. Яковлева.–2-е изд. –К.: Вища шк., Головное изд-во, 1984.–Ч.2. 293с.