Метод конечных разностей или метод сеток Метод конечных разностей, или метод сеток Рассмотрим линейную краевую задачу (2.24) (2.25) , где , ,и непрерывны на [a ,b ]. Разобьемотрезок [a , b ]на n равных частей длины, или шага . Точки разбиения , называютсяузлами , а их совокупность – сеткой на отрезке [a ,b ]. Значения в узлах искомой функции и ее производных обозначим соответственно через . Введем обозначения Заменим производные так называемыми односторонними конечно-разностными отношениями : (2.26) Формулы (2.26) приближенно выражают значения производных во внутренних точках интервала[ a , b ] . Для граничных точек положим . (2.27) Используя формулы (2.26), дифференциальное уравнение (2.24) при , (i = 1, 2,..., n –1) приближенно можно заменить линейной системой уравнений (2.28) Кроме того, в силу формул(2.27) краевые условия (2.25) дополнительно дают еще два уравнения: . (2.29) Таким образом, получена линейная системаn + 1уравнений сn + 1неизвестными , представляющими собой значения искомой функции в узлах сетки. Система уравнений (2.28), (2.29), заменяющая приближенно дифференциальную краевую задачу(2.24), (2.25)обычно называется разностной схемой . Решить эту систему можно каким-либо общим численным методом. Однако схема (2.28), (2.29) имеет специфический вид и ее можно эффективно решить специальным методом, называемым методом прогонки. Специфичность системы заключается в том, что уравнения ее содержат три соседних неизвестных и матрица этой системы является трехдиагональной. Преобразуем уравнения (2.28): . (2.30) Введя обозначения получим , (i =0, 1,..., n -2).(2.31) Краевые условия по-прежнему запишем в виде . (2.32) Метод прогонки состоит в следующем. Разрешим уравнение (2.31) относительно : . (2.33) Предположим, что с помощью полной системы (2.31) из уравнения исключен член, содержащий . Тогда уравнение (2.33) может быть записано в виде , (2.34) где и должны быть определены. Найдем формулы для этих коэффициентов. При i = 0 из формулы (2.33) и краевых условий (2.32) следует, что Исключая из этих двух уравнений , найдем . Выразим теперь отсюда : (2.35) Но, согласно формуле (2.34), (2.36) Сравнивая теперь (2.35) и (2.36), найдем, что (2.37) Пусть теперьi > 0, то есть i = 1, 2,..., n – 2. Выражая по формуле (2.34), получим: . Подставляя это в формулу (2.33), будем иметь . Разрешая полученное уравнение относительно , находим , или . (2.38) Отсюда, сравнивая формулы (2.34) и (2.38), получаем для коэффициентов и рекуррентные формулы: (2.39) Так как и уже определены по формулам (2.37), то, используя формулы (2.39), можно последовательно определить коэффициенты и до и включительно. Эти вычисления называются прямым ходом метода прогонки. Из формулы (2.33) при i = n – 2 и второго краевого условия (2.32) получаем Разрешая эту систему относительно , будем иметь . (2.40) Теперь, используя (2.34) и первое краевое условие (2.32), мы можем последовательно найти . Это − обратный ход метода прогонки. Итак, получаем следующую цепочку: (2.41) Для простейших краевых условий формулы для и упрощаются. Полагая в этом случае из формул (2.37), (2.40), (2.41) будем иметь Рассмотренный нами подход сводит линейную краевую задачу к системе линейных алгебраических уравнений. При этом возникает три вопроса. 1)Существует ли решение алгебраической системы типа (2.31)? 2)Как фактически находить это решение? 3)Сходится ли разностное решение к точному при стремлении шага сетки к 0? Можно доказать, что если краевая задача имеет вид причем р ( x )> 0, то решение системы (2.31), (2.32) существует и единственно. Фактическое отыскание решения можно провести, например, методом прогонки. На третий вопрос дает ответследующая Теорема Если и дважды непрерывно дифференцируемы, то разностное решение, соответствующее схеме с заменой равномерно сходится к точному с погрешностью при Таким образом, схема (2.28), (2.29) дает приближенное решение краевой задачи, но точность ее весьма мала. Это связано с тем, что аппроксимация производной имеет низкий порядок точности − погрешность этой аппроксимации Более точную разностную схему можно получить, если при переходе от линейной краевой задачи к конечно-разностным уравнениям воспользоваться центральными формулами для производных: , (2.42) , (2.43) i = 1, 2,...,n . Погрешность формулы (2.42) выражается так: то есть формула (2.42) имеет второй порядок точности относительно шага сетки h . Подставляя выражения (2.42), (2.43) в задачу (2.24), (2.25) и выполняя некоторые преобразования, получим следующую систему: (2.44) Где . Система (2.44) снова трехдиагональная и ее решение также можно получить методом прогонки. Его алгоритм здесь будет выглядеть так. Сначала находят коэффициенты (2.45) Затем определяют коэффициенты по следующим рекуррентным формулам: (2.46) Обратный ход начинается с нахождения : (2.47) После этого находим по формулам: , (2.48) . (2.49) Относительно схемы (2.44) можно также доказать, что она имеет единственное решение при и , и это решение может быть найдено описанным методом прогонки. Кроме того, для схемы (2.44) имеет место Теорема Пусть решение граничной задачи (2.24), (2.25) единственно и непрерывно дифференцируемо на [a , b ] до четвертого порядка точности включительно. Если выполняются условия , , то схема (2.44)будет равномерно сходиться к решению задачи (2.24), (2.25)с погрешностью . Заметим, что условия, приводимые в теоремах, являются достаточными, а отнюдь не необходимыми. Поэтому в практике численных расчетов нарушение этих условий обычно не вызывает заметного ухудшения расчетных схем.