Построение математических моделей 2 Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО УГТУ-УПИ Кафедра автоматизированных систем управления по дисциплине «Теория принятия решений» Студент гр. Р - 35021 Пушняков С.А. (09521531) ______________________ (подпись) Преподаватель Черногородова Г.М. ______________________ (подпись, дата) Оценка работы ______________________ Екатеринбург 2008 Оглавление Оглавление. 2 Задача 1. 3 Содержательная постановка. 3 Математическая модель. 4 Задача 2. 5 Содержательная постановка. 5 Математическая модель. 6 Задача 3. 7 Содержательная постановка. 7 Математическая модель. 9 Задача 4. 10 Содержательная постановка. 10 Математическая модель. 11 Задача 5. 12 Содержательная постановка. 12 Математическая модель. 13 Задача 6. 14 Содержательная постановка. 14 Математическая модель. 15 Задача 7. 16 Содержательная постановка. 16 Математическая модель. 17 Список литературы.. 18 Задача 1 Содержательная постановка Для изготовления трех видов велосипедов: детского , спортивного и универсального используется токарное, фрезерное, сварочное и шлифовальное оборудование. Затраты времени на обработку одного изделия для каждого из типов оборудования указаны в таблице 1. В ней же указан общий фонд рабочего времени каждого из типов используемого оборудования, а также прибыль от реализации одного велосипеда каждого вида. Тип оборудования Затраты времени (станко-часы ) на обработку одного велосипеда каждого вида Общий фонд рабочего времени оборудования (часы ) Велосипеды детский спортивный универсальный Фрезерное 2 4 5 120 Токарное 1 8 6 280 Сварочное 7 4 5 240 Шлифовальное 4 6 7 360 Прибыль на единицу изделия (руб.) 10 14 12 таблица 1 Требуется определить, сколько велосипедов и какого вида следует изготовить предприятию, чтобы прибыль от их реализации была максимальной. Математическая модель Предположим, что будет изготовлено x1 единиц детских велосипедов, единиц – спортивных и единиц – универсальных. - прибыль с продаж детских велосипедов, - спортивных, - универсальных. матрица затрат на производство деталей для велосипедов. - удельные затраты на производство определённой детали на определённом оборудовании. - тип оборудования, вид велосипеда. Математическая модель в общем виде: и где - фонд рабочего времени где Математическая модель для нашей задачи: Задача 2 Содержательная постановка Продукцией городского молочного завода являются молоко, кефир и сметана, расфасованные в бутылки. На производство 1 т молока, кефира и сметаны требуется соответственно 1010, 1010 и 9450 кг молока. При этом затраты рабочего времени при разливе 1 т молока и кефира составляют 0,18 и 0,19 машино-часов. На расфасовке 1 т сметаны заняты специальные автоматы в течение 3,25 часов. Всего для производства цельномолочной продукции завод может использовать 136000 кг молока. Основное оборудование может быть занято в течение 21,4 машино-часов, а автоматы по расфасовке сметаны – в течение 16,25 часов. Прибыль от реализации 1 т молока, кефира и сметаны соответственно равна 30, 22 и 136 руб. Завод должен ежедневно производить не менее 100 т молока, расфасованного в бутылки. Эти же данные представлены в таблицах 1 и 2. На производство другой продукции не имеется никаких ограничений. Исходный ресурс Продукция завода Общее количество ресурса Молоко Кефир Сметана Молоко, в т. 1010 1010 9450 136000 Прибыль на 1т. (руб) 30 22 136 таблица 1 Тип действий Затраты времени на разлив и расфасовку конечного продукта Общий фонд рабочего времени оборудования (часы ) Продукция завода молоко кефир сметана Разлив 1т 0,18 0,19 21,4 Расфасовка 1т 3,25 16,25 таблица 2 Требуется определить, какую продукцию и в каком количестве следует ежедневно изготовлять заводу, чтобы прибыль от ее реализации была максимальной. Математическая модель Предположим, что будет изготовлено x1 тонн молока, тонн кефира и тонн сметаны. - прибыль с продаж молока, - кефира, - сметаны. матрица затрат на производство. - удельные затраты на производство определённых изделий. , - вид молочного продукта. Математическая модель в общем виде: и где - фонд рабочего времени и затрат исходного ресурса Математическая модель для нашей задачи: Задача 3 Содержательная постановка Фирма - булочно-кондитерский комбинат выпускает следующие виды продукции указанные в таблице 1: Номер продукции j 1 2 3 4 5 Наименование продукции булки пирожные ватрушки коржики слоенки таблица 1 Для выпуска этих видов продукции необходимы ресурсы, которые перечислены в таблице 2, здесь же указано количество каждого вида ресурса, имеющегося на складе. Номер ресурса i 1 2 3 4 5 Наименование ресурса мука сахар масло творог яйца Количество ресурса 200 кг 50кг 50 кг 50 кг 500 шт. таблица 2 Далее в таблице 3 приведена рецептура, т.е. необходимое количество каждого вида ресурса для приготовления каждого вида продукции. Продукция Ресурсы Булка Пирожное Ватрушка Коржик Слоенка Мука, кг 0,1 0,04 0,08 0,06 0,05 Сахар, кг 0,01 0,05 0,02 0,04 0,03 Масло, кг 0 0,05 0,01 0,02 0,02 Творог, кг 0 0 0,05 0,02 0,03 Яйца, шт. 0,1 0,2 0,2 0,2 0,3 таблица 3 Так же в таблице 4 приведена отпускная цена на единицу каждого вида продукции. Вид продукции Булка Пирожное Ватрушка Коржик Слоенка Отпускная цена на ед. продукции , руб 0,84 3,2 1,6 1,5 2,1 таблица 4 Фирме необходимо определить такой оптимальный план выпуска каждого вида продукции: чего и в каком количестве приготовить, чтобы при имеющихся в БКК ресурсах получить максимальный доход от реализации Математическая модель Предположим, что будет изготовлено - булок, - пирожных, - ватрушек, - коржиков, - слоёнок. - прибыль булок, - пирожных, - ватрушек, - коржиков, - слоёнок, . матрица затрат на производство. - удельные затраты на производство определённых изделий. - вид затрачиваемого ресурса, - вид конечного продукта. Математическая модель в общем виде: и где - количество исходного ресурса на складе. Математическая модель для нашей задачи: Задача 4 Содержательная постановка На предприятии образовалось 150 м3 свободных остатков пиломатериалов и 1600 м2 листового стекла. Эти материальные ресурсы можно использовать в цехе товаров народного потребления, к примеру, для производства сервантов, книжных полок и зеркал (маркетологи «дают добро» на возможность сбыта этих товаров по следующим ценам: сервант – 91, книжная полка – 14.5, зеркало – 11 денежных единиц), данные на затраты каждого ресурса приведены в таблице 1. Ресурсы Продукция Пиломатериалы, куб.м Стекло, кв.м Сервант 0.25 2.0 Книжная полка 0.05 0.5 Зеркало 0.025 0.4 таблица 1 Математическая модель Предположим, что - кол-во сервантов, - книжных полок, - зеркал. - прибыль с продажи серванта , - книжной полки, - зеркало. матрица затрат на производство. - удельные затраты на производство определённых изделий. - вид затрачиваемого ресурса, - вид конечного продукта. Математическая модель в общем виде: и где - количество исходного ресурса. Математическая модель для нашей задачи: Задача 5 Содержательная постановка Магазин оптовой торговли реализует три вида продукции: Молоко, мясо, хлеб. Для этого используются два ограниченных ресурса - полезная площадь помещений, которая с учётом оборачиваемости составляет 450 кв метров, и рабочее время работников магазина – 600 человеко-часов. Товарооборот должен быть не меньше 240 тыс. рублей. Необходимо разработать план товарооборота, доставляющий максимум прибыли. Затраты ресурсов на реализацию и получаемая при этом прибыль представлены в таблице 1. Ресурсы Затраты ресурсов на реализацию, тыс. руб Объём ресурса Молоко Мясо Хлеб Полезная площадь, км. м. Рабочее время, чел – ч. 1,5 3 2 2 3 1,5 450 600 Прибыль, тыс. р. 50 65 70 таблица 1 Математическая модель Предположим, что - молоко, - мясо, - хлеб. - прибыль с молока, - мяса, - хлеба. матрица затрат на производство. - удельные затраты на производство определённых изделий. - вид затрачиваемого ресурса, - вид конечного продукта. Математическая модель в общем виде: и где - количество исходного ресурса. Математическая модель для нашей задачи: Задача 6 Содержательная постановка Диета включает продукты 4 основных групп: сладости, домашняя еда, напитки, и фаст-фуд. В настоящее время доступны следующие представители этих групп : пирожные, 50с за шт., котлеты, 20с за шт., кола, 30с за бут., биг-мак, 80с за шт. В единице продукта содержится следующее количество некоторых веществ, эти данные представлены в таблице 1: Калории Сахар Жир витамины Пирожное 400 2 2 3 Котлета 200 2 4 2 Кола 150 4 1 0 Биг-мак 500 4 5 0 таблица 1 Есть ограничения на вещества в день: Сумма калорий ≥ 500, сумма витаминов ≥ 6, сумма сахара ≥ 10, сумма жира ≥ 8. Надо получить набор, при котором человек будет получать необходимое число веществ, но стоимость этого набора должна быть минимальна. Математическая модель Предположим, что будет куплено - пирожных, - котлет, - бутылок колы, - биг-маков, - стоимость пирожных, - котлет, - бутылки колы, - биг-мака. матрица показывающая содержание веществ. - количество определённого вещества. - вид продукта, - вид вещества. Математическая модель в общем виде: и где - минимальное количество вещества в день. Математическая модель для нашей задачи: Задача 7 Содержательная постановка Лесничество имеет 24 га свободной земли под паром и заинтересовано извлечь из нее доход. Оно может выращивать саженцы быстрорастущего гибрида новогодней ели, которые достигают спелости за один год, или бычков, отведя часть земли под пастбище. Деревья выращиваются и продаются в партиях по 1000 штук. Требуется 1.5 га для выращивания одной партии деревьев и 4 га для вскармливания одного бычка. Лесничество может потратить только 200 ч. в год на свое побочное производство. Практика показывает, что требуется 20 ч. для культивации, подрезания, вырубки и пакетирования одной партии деревьев. Для ухода за одним бычком также требуется 20 ч. Лесничество имеет возможность израсходовать на эти цели 6 тыс. руб. Годовые издержки на одну партию деревьев выливаются в 150 руб. и 1,2 тыс. руб. на одного бычка. Уже заключен контракт на поставку 2 бычков. По сложившимся ценам, одна новогодняя ель принесет прибыль в 2,5 руб., один бычок - 5 тыс. руб. Математическая модель Предположим, что x1 - количество откармливаемых бычков в год;x2 - количество выращиваемых партий быстрорастущих новогодних елей по 1000 шт. каждая в год. - прибыль с продажи ели, - бычка. матрица затрат. - удельные затраты на производство. - вид затрачиваемого ресурса, . Математическая модель в общем виде: и где - количество исходного ресурса. Математическая модель для нашей задачи: Список литературы 1. Кофман, А. Методы и модели исследования операций М. : Мир Т. 3 : Целочисленное программирование 1977. 2. Костевич Л.С. Математическое программирование: Информ. технологии оптимальных решений. – Мн., Новое знание, 2003