Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 51
|
Вычисление обратной матрицы.
Квадратная матрица А
называется невырожденной
, или неособенной
, если её определитель отличен от нуля и вырожденной
, или особенной
, если её определитель равен нулю. Квадратная матрица В
называется обратной
для квадратной матрицы А
того же порядка, если их произведение АВ= ВА=Е
, где
Е – единичная матрица того же порядка, что и матрицы А и В. Теорема.
Для того, чтобы матрица А
имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был отличен от нуля. Матрица, обратная к А
, обозначается через А-1
, так что В= А-1
. Для матрицы А
обратная ей матрица А-1
определяется однозначно. Справедливы следующие равенства: 1) D
(А-1
)=(
D
А)-1
; 2) (А-1
)-1
=А
; 3) (А1
А2
)-1
=А2
-1
А1
-1
; 4) (АТ
)-1
=(А-1
)Т
.
Существую несколько способов нахождения обратной матрицы. Рассмотрим один из них – нахождение обратной матрицы путём вычисления алгебраических дополнений. Заключается он в следующем: пусть нам дана матрица А
, имеющая следующий вид:
Предположим, что D
А
¹
0
. Построим следующую матрицу С
следующим образом:
где А
ij
– алгебраическое дополнение элемента а
ij
в определителе матрицы А
. Очевидно, что для построения матрицы С
необходимо сначала заменить элементы матрицы А
соответствующими им алгебраическими дополнениями, а затем полученную матрицу транспонировать. Полученная таким образом матрица С
называется присоединённой
к матрице А
, или союзной с А
. Чтобы получить матрицу А-1
, обратную для матрицы А
, необходимо каждый элемент присоединённой матрицы С
поделить на D
А
, т.е. матрица А-1
будет иметь следующий вид:
Пусть матрица А
, имеет следующий вид:
Чтобы найти матрицу А-1
, обратную для матрицы А
, необходимо: - вычислить определитель матрицы (D
А= -3
); - найти алгебраические дополнения элементов а
ij
в определителе матрицы А
:
- составить присоединённую матрицу С
по формуле (2); - разделить все элементы матрицы С
на D
А
. Реализуем вышеизложенный алгоритм нахождения обратной матрицы следующим образом: вначале запишем в редакторе
Word
присоединенную матрицу С
по формуле (2), после чего в программе Excel
найдём обратную матрицу А-1
(по формуле (3)) для матрицы А
. 1. Включите компьютер. 2. Подождите пока загрузится операционная система Windows
, после чего откройте окно
Microsoft
Word
. 3. Вставьте объект
Microsoft
Equation
3
.
0.
4. Перепишем алгебраические дополнения в формульный редактор. Для этого: ·запишите
алгебраическоедополнение А12
., используя шаблон нижних индексов ·вставьте шаблон определителя 3-го порядка в формульном редакторе;
·занесите числовые значения определителя в свободные поля;
Повтором предыдущих действий, запишите в редакторе формул дополнения А12
-А44
(см. рис. 8.1) В качестве вычислительного средства воспользуемся инструментами программы Excel
. 5. Откройте окно
Microsoft
Excel
. 6. Перепишите матрицу А
и формулу
(4) из
Word
в
Excel
(см. рис. 8.2).
Рис. 8.1 Рис. 8.2 7. Используя функцию МОПРЕД, которая находится в мастере функций
ƒх
, посчитаем, чему будут равны все алгебраические дополнения. Для этого: · ·выполните нажатие ЛКМ
на кнопке ƒх
в стандартной панели задач; ·в окне КАТЕГОРИЯ нажатием ЛКМ
выберите МАТЕМАТИЧЕСКИЕ, а в окне ФУНКЦИЯ – МОПРЕД; ·выделите область
A6¸C8; · Аналогичные действия проделайте со всеми остальными алгебраическими дополнениями, не забывая при этом некоторые из них умножать на число (-1). В результате проделанных действий получим: А11
= -45, А12
= 20, А13
=1, А14
=-17, А21
=63, А22
= -31, А23
=1, А24
=25, А31
= -6, А32
=3, А33
=3,33Е-16, А34
= -3, А41
=12, А42
= -5, А43
= -1, А44
=5. Как вы видите, значение дополнения А33
записано в виде числа с мантиссой. Приведём это число к виду обыкновенной десятичной дроби. Для этого: · активизируйте ячейку
L17, после чего нажатие ПКМ;
· на экране компьютера появится контекстное меню; · выполните нажатие ЛКМ
на слове ФОРМАТ ЯЧЕЕК (рис. 8.4); Рис. 8.4 · · -Далее, в тексте задачника, если будут встречаться числа с мантиссой или бесконечные десятичные дроби, то будем пользоваться диалоговым окном ФОРМАТ ЯЧЕЕК, а данную операцию будем обозначать
: поменяйте формат ячейки... на ДРОБНЫЙ.
8. Найдём в Excel
матрицу А-1
,
обратную для А
. Для этого: ·заполните ячейки
А22¸D26 значениями алгебраических дополнений, используя формулу (2), т.е., в ячейках А23¸D26 записана присоединённая матрица С
(рис. 8.7). Рис. 8.7 Рис. 8.8 ·активизируйте ячейку
А28 и запишите с клавиатуры в неё формулу: =А23/-3, после чего результат занесите автозаполнением
в ячейки В28¸D28; А29¸А31 и В29¸D31 (рис. 8.8). ·Выделите область
А28¸D31, после чего поменяйте формат
выделенных ячеек на ДРОБНЫЙ
(см. рис. 8.9). Рис. 8.9 Рис. 8.10 9. Проверку проделанных вычислений произведём следующим образом: ·выделите область
F28¸I31; ·воспользуйтесь функцией МОБР, которая находится в мастере функций ƒх
(
категория – МАТЕМАТИЧЕСКИЕ); ·на клавиатуре одновременно нажмите следующую комбинацию клавиш: Shift
+
Ctrl
+
Enter
.
В результате чего в ячейках появятся следующие значения (рис. 8.10). Полученные значения доказывают правильность произведённых вычислений. Задания для самостоятельной работы.
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||