Определитель матрицы 2 Оглавление Задача 1 Задача 2 Задача 3 Задача 4 Задача 5 Задача 1 Вычислить определитель 4-го порядка. Решение: Определитель 4-го порядка находится по формуле: , где aij – элемент матрицы; Мij – минора элемента aij . Минора элемента aij матрицы А называется определитель матрицы, которая была получена путем удаления из матрицы А строк и столбцов, которые содержат элемент aij Задача 2 Решить систему матричным способом. Решение: 1. Введем обозначения: Тогда в матричной форме система имеет вид , т.е. А-1 -обратная матрица, которая существует только тогда, когда исходная матрица А невырожденная, т.е. 2. Найдем определитель матрицы по формуле: Так как , то матрица А – невырожденная и обратная матрица А-1 существует и единственная. 3. Найдем обратную матрицу по формуле: , где - присоеденненая матрица, элементы которой равны алгебраическим дополнениям элементов матрицы , и затем транспонированная. a. найдем алгебраического дополнения всех элементов матрицы: Получается матрица b. транспонируем матрицу (т.е. матрица AT , полученная из исходной матрицы заменой строк на столбцы) c. обратная матрица равна: 4. Находим значение переменных х1 ,х2 ,х3 : Х1 =-27, Х2 =36, Х3 =-9 Задача 3 Решить систему методом Крамера Решение: Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно) 1. Данную систему представим в виде матрицы: 2. Найдем определители: , ( , т.е. можно применить метод Крамера) ; . 3. Найдем значение x, y: , , Задача 4 Найти общее решение системы, используя метод Жордана-Гаусса: Решение: Данную систему представим в виде матрицы: Шаг 1. В качестве разрешающего элемента удобнее взять элемент а11 =1 (т.к. при делении на «1» число остается без изменения). Делим элементы строки на разрешающий элемент а11 . Разрешающие переменную х1 следует исключить из остальных уравнений, поэтому в новой матрице в первом столбце во всех строках (кроме 1 строки) необходимо поставить значение «0». Другие элементы новой матрицы находим по правилу прямоугольника: ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; Шаг 2. В полученной матрице в качестве разрешающего элемента берем не равный нулю элемент из любой строки, кроме первой, например а22 =5. Делим элементы разрешающей второй строки на «5». Все элементы первого столбца, кроме а11 берем равные «0», а остальные элементы находим по правилу прямоугольника: ; ; ; ; ; Шаг 3. В полученной матрице в качестве разрешающего элемента берем не равный нулю элемент из любой строки, кроме первой и второй, например а33 =1. Делим элементы разрешающей второй строки на «1». Все элементы первого и второго столбца, кроме а11 =1 и а22 =1 берем равные «0», а остальные элементы находим по правилу прямоугольника: ; ; ; Шаг 4. Так как больше строк в качестве разрешающих не осталось, выписываем систему уравнений, которая соответствует последней матрице: Предполагаем, что х4 – это любое число С, тогда Х1 =3,8-3,4С; Х2 =23,6-7,8С; Х3 =-33+С Задача 5 Даны векторы. Найти: Решение: Вектором называется направленный отрезок АВ с начальной точкой А и конечной точкой В. Из данных уравнений выделим координаты векторов: , где координатами являются (x,y,z) т.е. координатами вектора являются (18,2,1), а координатами вектора являются (1,-2,17). 1. Скалярное произведение векторов находится по формуле: 2. Длина вектора определяется по формуле: