Численные методы анализа и синтеза периодических сигналов Содержание: Введение 1. Спектральный анализ и спектральный синтез периодических сигналов 1.1 Синтез периодических сигналов 1.2 Анализ периодических сигналов 2.Численные методы расчетов спектральных и временных характеристик периодических сигналов 2.1 Численные методы расчетов временных характеристик 2.2.Численные методы расчетов частотных характеристик Выводы Литература Введение: Известно , что периодическое несинусоидальное колебание можно представить бесконечным тригонометрическим рядом Фурье, который в общем случае содержит постоянную и гармонические составляющие . Часто используется следующая форма математической записи ряда Фурье: где f(t)-функция, раскладываемая в ряд, , а - частота следования импульсов. Коэффициенты ряда определяются следующими выражениями: (1) где =1,2,3…M соответственно функции(1.2),(1.3),(1.4) Здесь А - постоянная составляющая , An и Bn - амплитуды косинусной и синусной составляющих, Т- период повторения сигнала , М- число гармоник, n – номер гармоник. Ряд (1) можно преобразовать к более удобному виду: (2) Здесь -постоянная составляющая, -амплитуда n-ой гармоники, -фаза n-ой гармоники. Формула (2.1) используется при спектральном анализе и синтезе периодических сигналов. 1.Спектральный анализ и спектральный синтез периодических сигналов 1.1. СПЕКТРАЛЬНЫЙ СИНТЕЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ: Сигнал задан в виде набора спектральных составляющих: Cn – амплитуда, - частота, начальная фаза n- ой гармоники. Здесь n=1,2,…,M- номер гармоники , M- число гармоник в спектре сигналов. Требуется осуществить синтез сигнала U(t) и построить его временную диаграмму. Задача синтеза сигнала заключается в расчёте временной функции сигнала U(t) по известному спектру сигнала. При этом спектр сигнала задан в виде таблицы амплитуд, частот и фаз гармоник. Задача синтеза сигнала решается путём расчёта значений функции во временной области U (t) Численный синтез осуществляется путём расчёта отсчетов сигнала через равные интервалы времени и построения временной диаграммы сигнала. При этом интервал времени между соседними отсчётами называют интервалом дискретизации. 1.2СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ: Задача анализа сигнала заключается в расчёте его спектра, т.е. амплитуд, частот, фаз и гармоник. При этом сигнал задан в виде функции времени U(t) . Задача анализа решается путём расчёта амплитудно-частотных Cn =f(w) и фазочастотных =f(w) характеристик. Сигнал задан в виде функции времени U(t) , повторяющийся с периодом Т. Требуется выполнить спектральный анализ сигнала и построить графики амплитудного и фазового спектров сигнала. 2.Численные методы расчетов спектральных и временных характеристик периодических сигналов Для расчета спектральных и временных характеристик периодического сигнала используем численные методы, чтобы упростить и автоматизировать задачу Дан сигнал: Дана таблица параметров данного сигнала U, mv M t0,mks T,mks r 2.8 10 459 1499 2 U(t) – функция времени, описывающая сигнал; M – число учитываемых гармоник; U- амплитуда; T - текущее время; t0 – время задержки сигнала; T – период частоты повторения первой гармоники; r – постоянный коэффициент 2.1 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТОВВРЕМЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК Численный синтез осуществляется путём расчёта отсчётов сигнала через равные интервалы времени и построения временной диаграммы сигнала. При этом интервал времени между соседними отсчётами называют интервалом дискретизации. Интервал дискретизации Тд вычисляем по формуле ТД <T/(к * M),где k=5(т. к на периоде наибольшей частоты в спектре сигнала должно размещаться не менее 5 отсчетов) Интервал времени Тс равен Tmax и равен 50 т. к k*M=50(k=5,M=10). Исходя из формулы, интервал дискретизации Тд равен Тд=Т/(k*М), Тд=29,98 M=10 K=5 t0=459 U0=2,8 T=1499 Исходя из полученных данных, строим таблицу t u(1) u(2) u(3) u(4) u(5) u(6) u(7) u(8) u(9) u(10) SUM 0 0,965808 0,812595 0,549919 0,250406 -0,00868 -0,17017 -0,21345 -0,15715 -0,0481 0,058467 2,039651 29,98 0,62897 0,586654 0,507145 0,399954 0,277617 0,15392 0,041996 -0,04743 -0,10736 -0,13529 2,306171 59,96 0,282224 0,278401 0,270848 0,259749 0,245373 0,228066 0,208243 0,186371 0,162963 0,138557 2,260794 89,94 -0,06897 -0,06891 -0,0688 -0,06863 -0,06841 -0,06814 -0,0678 -0,06742 -0,06698 -0,06649 -0,68055 119,92 -0,41908 -0,40656 -0,3822 -0,3473 -0,3037 -0,25369 -0,19984 -0,14483 -0,09131 -0,04174 -2,59023 149,9 -0,76258 -0,68716 -0,54975 -0,37435 -0,19052 -0,02729 0,092569 0,156662 0,164662 0,127265 -2,0505 179,88 -1,09407 -0,87135 -0,50752 -0,1302 0,141263 0,24343 0,188368 0,04829 -0,08485 -0,1436 -2,21024 209,86 -1,40832 -0,93328 -0,27163 0,208272 0,310962 0,118853 -0,11591 -0,18642 -0,07389 0,081852 -2,26951 239,84 -1,70039 -0,86427 0,067917 0,395863 0,123862 -0,19872 -0,174 0,066585 0,163896 0,024397 -2,09487 269,82 -1,96566 -0,674 0,381545 0,296665 -0,20536 -0,1936 0,137477 0,145388 -0,10145 -0,11738 -2,29638 299,8 -2,19997 -0,38916 0,549579 -0,01746 -0,29895 0,125904 0,156966 -0,15618 -0,05536 0,146543 -2,13808 329,78 -2,39962 -0,04971 0,507898 -0,31893 -0,04953 0,240959 -0,15693 -0,04915 0,160677 -0,09603 -2,21036 359,76 -2,56146 0,296704 0,272408 -0,38935 0,256724 -0,03527 -0,13752 0,186463 -0,11654 -0,0067 -2,23455 389,74 -2,68295 0,601491 -0,06703 -0,1777 0,268408 -0,25422 0,173972 -0,06575 -0,036 0,105786 -2,13401 419,72 -2,76217 0,821886 -0,38089 0,162689 -0,02788 -0,06035 0,115958 -0,14595 0,155054 -0,14735 -2,26901 449,7 -2,79788 0,926965 -0,54941 0,385215 -0,29218 0,231523 -0,18834 0,155685 -0,12988 0,108799 -2,14949 479,68 -2,7895 0,901985 -0,50827 0,328667 -0,22123 0,147439 -0,09262 0,05001 -0,01611 -0,01109 -2,21071 509,66 -2,73717 0,75045 -0,27319 0,034011 0,10356 -0,17607 0,19982 -0,1865 0,14711 -0,09265 -2,23063 539,64 -2,64173 0,493623 0,066146 -0,28528 0,309524 -0,21366 0,067854 0,064915 -0,14127 0,146013 -2,13387 569,62 -2,50466 0,167537 0,380238 -0,3979 0,160339 0,095698 -0,20823 0,1465 0,004029 -0,11999 -2,27643 599,6 -2,32813 -0,18206 0,549234 -0,22225 -0,17282 0,24966 -0,04205 -0,15519 0,136964 0,028721 -2,13792 629,58 -2,11493 -0,5061 0,508647 0,11441 -0,30768 -0,00179 0,21344 -0,05087 -0,15056 0,078161 -2,21727 659,56 -1,8684 -0,75914 0,273965 0,368187 -0,08951 -0,25033 0,015597 0,186538 0,024105 -0,14254 -2,24154 689,54 -1,59244 -0,90567 -0,06526 0,355225 0,231368 -0,09237 -0,21537 -0,06408 0,124769 0,129424 -2,0944 719,52 -1,29139 -0,92513 -0,37958 0,084915 0,286774 0,21559 0,011093 -0,14705 -0,15759 -0,04593 -2,34829 749,5 -0,96999 -0,81478 -0,54906 -0,24691 0,013135 0,173461 0,213998 0,154694 0,04382 -0,06253 -2,04417 779,48 -0,63332 -0,59012 -0,50902 -0,39986 -0,27558 -0,15034 -0,03761 0,051727 0,110706 0,136999 -2,29641 809,46 -0,28666 -0,28265 -0,27474 -0,26312 -0,24809 -0,23001 -0,20934 -0,18657 -0,16226 -0,13698 -2,28042 839,44 0,064511 0,064465 0,064374 0,064237 0,064055 0,063828 0,063556 0,06324 0,06288 0,062476 0,637623 869,42 0,414666 0,40254 0,378926 0,345061 0,302703 0,25402 0,20146 0,147599 0,094986 0,045993 2,587955 899,4 0,758288 0,684135 0,548883 0,3759 0,194028 0,031719 -0,08852 -0,15419 -0,1645 -0,12945 2,056285 929,38 1,089963 0,869742 0,509391 0,134413 -0,13728 -0,24209 -0,19049 -0,05258 0,080998 0,142529 2,204598 959,36 1,404466 0,933319 0,275519 -0,20445 -0,31107 -0,12278 0,11213 0,186595 0,077844 -0,07811 2,273469 989,34 1,696843 0,865945 -0,06349 -0,3952 -0,12794 0,195908 0,176594 -0,0624 -0,16428 -0,02878 2,093202 1019,32 1,962486 0,677074 -0,37827 -0,29964 0,201987 0,196467 -0,13401 -0,14814 0,097904 0,120023 2,295876 1049,3 2,197212 0,393204 -0,54871 0,013 0,300154 -0,12201 -0,15999 0,153688 0,059538 -0,146 2,140091 1079,28 2,39732 0,054166 -0,50976 0,31622 0,053923 -0,24236 0,153841 0,053438 -0,1616 0,0926 2,20779 1109,26 2,55966 -0,29247 -0,2763 0,390349 -0,25418 0,030848 0,14092 -0,18662 0,113344 0,011153 2,236711 1139,24 2,681674 -0,59807 0,062602 0,181684 -0,27063 0,253962 -0,17131 0,061559 0,04034 -0,10884 2,132964 1169,22 2,761439 -0,81976 0,377611 -0,1586 0,023437 0,064677 -0,11969 0,148684 -0,1565 0,147351 2,268639 1199,2 2,797698 -0,92643 0,548527 -0,38399 0,290617 -0,22963 0,186138 -0,15318 0,127089 -0,10574 2,151087 1229,18 2,78988 -0,90312 0,510129 -0,33119 0,224342 -0,15105 0,096623 -0,05429 0,020539 0,006639 2,2085 1259,16 2,738109 -0,75309 0,277071 -0,03845 -0,09934 0,172818 -0,19811 0,186636 -0,14906 0,096074 2,232645 1289,14 2,6432 -0,4974 -0,06172 0,282141 -0,30904 0,216055 -0,07207 -0,06072 0,138931 -0,14655 2,132831 1319,12 2,506649 -0,17192 -0,37695 0,398333 -0,16414 -0,09155 0,207044 -0,14922 0,00043 0,117343 2,276008 1349,1 2,330606 0,177679 -0,54835 0,225947 0,169094 -0,25049 0,046413 0,152669 -0,13939 -0,02433 2,139844 1379,08 2,117845 0,502351 -0,5105 -0,11013 0,308313 -0,00267 -0,2128 0,055145 0,148694 -0,0819 2,214352 1409,06 1,871719 0,75654 -0,27785 -0,36642 0,093773 0,249488 -0,02004 -0,18665 -0,01969 0,143611 2,244486 1439,04 1,596104 0,904582 0,060829 -0,35725 -0,22836 0,09651 0,21528 0,059872 -0,12763 -0,12723 2,092694 1469,02 1,295343 0,925705 0,376292 -0,08927 -0,28847 -0,21319 -0,00664 0,149756 0,156231 0,041675 2,347436 1499 0,974174 0,816945 0,548165 0,24339 -0,01759 -0,1767 -0,21446 -0,15215 -0,03951 0,066542 2,048811 После расчета строим временную диаграмму сигнала 2.2.ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТОВ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК Для того чтобы определить амплитудно-частотную и фазочастотную характеристику периодического сигнала представим сигнал в виде ряда Фурье (2). Коэффициенты ряда Аn и Bn определяются по формулам (1) . Для того чтобы вычислить An и Bn преобразуем интеграл к сумме, а непрерывную функцию U(t) представим как дискретную (t1 ) , где tI =i*TД (ТД – интервал дискретизации). Представим непрерывную функцию U(t) как дискретную, сделав замену t i * ТД и di ТД , преобразуем выражения An ,Bn и запишем ряд Фурье в окончательном виде: ( 5) где k=T/ТД – число отсчётов сигнала на интервале T. Интервал дискретизации ТД выбираем таким, чтобы на самом крутом участке функции U(t) , было не менее 5 отсчётов, либо не менее 5 отсчётов на периоде наибольшей частоты в спектре сигнала. Исходя из формулы(5),вычисляем амплитудно-частотную и фазочастотную характеристики. Расчеты приведены в таблице i Wn U(ti ) A0 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 0 0 2,03965 0,81586 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4189,46 -2,1380 -0,0394 -0,0374 -0,0232 0,0230 0,03747 0,00013 -0,0374 -0,0233 0,0229 0,0375 0,00025 2 8378,92 -2,1379 -0,89454 -0,52672 0,851458 -0,8496 0,522101 0,005699 -0,53131 0,85318 -0,84789 0,51746 0,011397 3 12568,4 2,05628 -0,07202 0,042223 -0,06841 0,06862 -0,04278 0,000688 0,04166 -0,06819 0,06883 -0,04333 0,001376 4 16757,8 2,15108 0,788411 -0,75044 -0,46016 0,46827 0,747301 -0,01005 -0,75346 -0,45197 0,47632 0,74403 -0,02009 5 20947,3 2,04881 1,607935 -0,00512 -0,01024 -0,0153 -0,02049 -0,02561 -0,03073 -0,03585 -0,04097 -0,04609 -0,05121 i B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -0,0122 0,03182 0,0319 -0,0121 -0,0394 -0,0123 0,03175 0,03197 -0,012 -0,0394 2 0,723026 -0,27426 -0,27968 0,726367 -0,89452 0,719656 -0,26883 -0,28508 0,729678 -0,89447 3 0,058349 -0,02252 -0,02186 0,057943 -0,07202 0,05875 -0,02317 -0,02121 0,057532 -0,07201 4 0,241721 -0,64019 -0,63428 0,251263 0,788347 0,23214 -0,646 -0,62826 0,260763 0,788155 5 1,607927 1,607903 1,607862 1,607805 1,607732 1,607642 1,607536 1,607413 1,607275 1,60712 An Bn Cn Fn -1,27749 2,618833 2,913808 1,116948 0,28946 0,702756 0,760035 -1,18008 -0,30507 0,70394 0,767204 1,161849 1,243611 2,631307 2,910385 -1,12929 -0,02914 1,390168 1,390474 1,549838 -1,31124 2,605878 2,91718 1,104605 0,273895 0,701282 0,752871 -1,19845 -0,32073 0,704832 0,774375 1,143753 1,209595 2,643297 2,906912 -1,14163 -0,05827 1,389429 1,390651 1,528881 Используя полученные данные, строим графики АЧХ и ФЧХ ВЫВОДЫ : Особенности спектральных характеристик периодических сигналов заключаются в следующем : 1 Спектры периодических сигналов графически представляются линейчатым (дискретным) спектром . 2 Спектральные линии в периодических сигналах находятся на одинаковом расстоянии друг от друга , то есть частоты гармоник находятся в простых кратных отношениях. Использование рядов Фурье , при расчете спектральных и временных характеристик периодических сигналов , имеет следующие преимущества : 1 Простое математическое описание 2 Инвариантность к линейчатым описаниям, т.е. если на вход действует гармоническое колебание, то и на выходе будет гармоническое колебание. 3 Как и сигнал гармонические функции являются периодическими и имеют бесконечную длительность 4 Техника генерирования гармонических функций достаточна проста. ЛИТЕРАТУРА: 1. С.И.Баскаков-“Радиотехнические цепи и сигналы” – М.:ВШ, 1988