Полуточка модель скорости Полуточка: модель скорости Каратаев Евгений Анатольевич Настоящая статья строит модель скорости в рамках модели полуточки и приводит две простых иллюстрации, демонстрирующие и иллюстрирующие модель скорости в общеизвестных случаях поступательной и вращательной скорости. В статье приводится в основном модель скорости, и разбор отдельных случаев скорости и её видов представляется либо темой отдельной статьи, либо большой работы о кинематике, выраженной на языке гиперкомплексных чисел. Для понимания предлагаемой модели скорости частично повторим основные положения модели полуточки и модели миров. Точка пространства испытывает изменение при переходе от одной системы отсчёта к другой: (1) Считается, что точка принадлежит миру с временем : (2) В этой статье понятия системы координат и системы отсчёта полагаются совпадающими. Полагается, что положение точки и её состояние измеряются в некоторой идеальной системе, выбираемой наблюдателем по его усмотрению. Состояния точки в два различных момента времени могут быть определены относительно одной и той же системы координат. Будем полагать, что из первого состояния во второе можно попасть, совершив преобразование системы координат: (3) Здесь величина определяет преобразование, которое следует совершить для такого перехода. При этом есть разность времён этих двух миров: (4) Также будем полагать, что эти два состояния разделены друг от друга бесконечно малым расстоянием во времени: (5) Под скоростью будем понимать величину, определенную классическим способом: Если величина зависит от величины , и с течением величина испытывает изменение, то скоростью называется предел отношения приращений величин и : (6) Ещё одно небольшое отступление нужно сделать для описания и выбора точной модели преобразования Пуанкаре. Дело в том, что пока рассматриваются лишь пространственно-временные преобразования, им в действительности удовлетворяет два различных преобразования: (7) и (8) Здесь в первом случае используется скалярно-векторное сопряжение, во втором - скалярно-алгебраическое. Для того, чтобы выявить, в чем они различаются с точки зрения группы Пуанкаре, распишем их операторное представление: (9) (10) (11) Видно, что эти два оператора отличаются псевдоскалярной частью параметра. В силу того, что её можно вынести из оператора преобразования, оба варианта могут быть представлены как: (12) (13) где через обозначен оператор с вынесенной псевдоскалярной составляющей из его параметров: (14) Таким образом, предстоит сделать выбор между двумя вариантами преобразований: 1) использовать скалярно-векторное сопряжение или 2) использовать скалярно-алгебраическое сопряжение. Выберем вариант 1 с отбрасыванием рассмотрения псевдоскалярной составляющей параметра преобразований в силу того, что пока в наши цели не входит рассмотрение псевдоскалярных преобразований и в силу того, что векторное сопряжение удобнее в силу его линейности. А именно: (15) (16) Поэтому мы можем выполнить дальнейший вывод более наглядно. В силу того, что величина и её приращение являются скалярами, имеем: (17) И в случае когда мало, имеем: (18) (19) Используя это соотношение для преобразования полуточки, распишем выражение для преобразования точки: (20) Оставив члены первого порядка малости по : (21) Используя определение полуточки получим: (22) Положив точку функцией величины и сравнив с разложением её в ряд Тейлора в окрестности , получим: (23) Это выражение и является определением скорости точки , если она движется во времени , испытывая в каждый его момент преобразование Пуанкаре: (24) Выражение (23) является скалярно-векторно сопряжённым самому себе: (25) То есть абсолютное приращение точки выполняется несмотря на произвольность величины так, что точка остается сама себе скалярно-векторно сопряжённой. Отметим также, что в силу свойства точки верно равенство: (26) Далее... Придерживаясь модели полной группы Пуанкере, мы должны считать величины и дуальными бикватернионами, имеющими 16 компонент. В силу требования скалярно-векторной сопряжённости самой себе точка часть компонентов имеет нулевыми. Для понимания дальнейшего вывода представим величины и в виде, явно содержащем разделение на главную и дуальную части: (27) Здесь индексом обозначены главные части, а индексом - дуальные. Пользуясь введенным обозначением, распишем выражение скорости: Сгруппировав главные и дуальные части, получим: (28) Используя это разложение в главных и дуальных частях и задавая различные частные случаи величин , , и , оценим характер вклада в скорость точки отдельных величин и . А также найдём их сопоставление отдельным общеизвестным скоростям. Случай 1. Зададим точку как дуальный вектор с единичной главной частью: (29) а величину как дуальный вектор с нулевой главной частью: (30) Тогда, используя разложение (29), найдем скорость точки при таком преобразовании: (31) В силу того, что выбрано условие , имеем: (32) Таким образом, в приведённых выше условиях величина является линейной скоростью приращения дуальной части . В силу того, что в состав величины входит как полярная, так и дуальная части, то есть: (33) то в силу свойств функций и , определённых как (34) (35) И имеющих свойства сопрягаться: (36) (37) Имеем равенство для первого случая: (38) Или: величина является линейной скоростью изменения вектора . Случай 2. Выберем величины и такими, что выполняются следующие условия: (39) Используя выражение (29) с этими условиями, получим: (40) В силу выбора и свойства (38) имеем: (41) И, также в силу свойства (38), в выражении скорости остаются члены: (42) Переведя величины и в векторную запись и раскрыв произведение по правилу произведения кватернионов, получим: (43) где с помощью скобок [] обозначено традиционное векторное произведение 3-х мерных векторов и . Или: величина является угловой скоростью вращения вектора . Таким образом, величины и имеют всем хорошо известные механические кинематические интерпретации. Целью настоящей работы было дать модель скорости и её иллюстрация в частных случаях. Поэтому полный разбор сочетаний и здесь не рассматривается и автор полагает, что такое рассмотрение должно стать темой отдельной работы, посвящённой именно этому вопросу. К будущим исследованиям могут быть отнесены: величины и , а также отдельное исследование главной части точки . В данной работе рассматривалась лишь её дуальная составляющая. Но общая модель преобразования Пуанкаре потребовала объединения в одну величину дуальной и главной частей вектора