Середні Значення Середні значення Статистика оперує такими середніми значеннями: серед­нє арифметичне, середнє квадрати­чне, середнє геометричне. Середнє арифметичне. Нехай ми маємо п об'єктів, у якихвиміряно деяку характеристику, що має значення x1 ,x2 , …, xn . Середнім значенням (або середнім арифметичним) називається таке число , яке дістають ді­ленням суми всіх да­них вибірки x1 , x2 , …, xn на число цих даних n, або ( - знак суми – “сигма” велика) Приклади. 1) Протягом перших п’яти днів березнятемпература повітря, вимірювана о 8 год. ранку, станови­ла 3°, 5°, 4°, 1°, 2°. Знайти середню температуру за ці дні. Маємо: 2) 3 двох учнів треба вибрати одного в баскетбольну команду. Відомі кількості їхніх влу­чень м'яча в корзину накожні десять кидків під час тренувань. Таблиця 1 Номер тренувань 1 2 3 4 5 Перший учень 4 3 5 3 6 Кількість влучень Другий учень 5 4 3 6 5 Розв'язання. Знаходимо середню кількість влу­чень. Для першого учня: Для другого учня: Отже, в команду слід узяти другого учня. Розглянемо деякі властивості середнього арифметичного. 1) Знайдемо відхилення l кожного значення xj від се­реднього . Різниця х — може бути від'є­мною або додатною. Сума всіх п відхилень дорівнює нулю. Проілюструє­мо цю властивість на при­кладі. Вихі­дні дані:. (0; 0; 1; 1; 3;3;3; 5); n= 8; = 2. 2) Якщо до кожного ре­зультату спостережень додати деяке число с (константу), то середнє арифметичне пере­твориться в + с. Візьмемо, наприклад, попередні 8 зна­чень і додамо до кож­ного з них по 5. Дістанемо числа 5; 5; 6: 6; 8; 8; 8; 10, середнє арифметичне яких (5 + 5+ 6 + 6 + 8 + 8 + 8+10) : 8 = 7. Середнє на 5 одиниць більше. Таблиця 2 Значення Середнє арифметичне Відхилення 0 2 -2 0 2 -2 1 2 -1 1 2 -1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 5 2 3 - 0 3) Якщо кожне значення сукупності з середнім по­множити на константу с, то середнє ариф­метичне стане с . Перевірте властивість, використовуючи попередні дані. Якщо величини деяких даних повторюються, то середнє арифметичне визначають за фор­мулою ,де fi — частота повторення результату xi . Приклади. 1) Протягом двадцяти днів серпня тем­пература повітря вранці була такою: 17°, 18°, 19°, 20°, 18°, 18°, 18o , 19o , 19°, 20°, 20°, 19°, !9°, 19°, 20°, 19o , 18°, 17°, 16°, 19°. Знайти середню температуру за цими даними. Тут окремі значення (17°, 18°, 19°, 20°) повторюються. Середня температура дорівнює: 2) Подаємо запис обчислення середнього арифметичного при повторенні деяких даних у ви­гляді таблиці. Таблиця 3 Вихідні дані xi Час­тота fi xi fi Остаточне обчис­лення 2 6 10 2 2 4 де I=1,2,3,…,11 2 6 10 3 1 3 3 6 11 4 3 12 4 6 12 5 2 10 4 8 12 6 4 24 4 9 15 8 1 8 5 9 15 9 3 27 5 9 15 10 2 20 11 1 11 12 2 24 15 3 45 3) За контрольну роботу учні одержали такі оцінки Оцінки (бали) 5 4 3 2 Кількість учнів 6 7 4 17 Чи достатньо засвоєний матеріал? Знайдемо середню величину оцінок. Ця оцінка є задовільною. Але частота оцінки «2» (мода) дуже висока, вона дорівнює 17. Отже, матеріал засвоєний учнями недостатньо. Середнє квадратичне відхилення . Ми вже встановили, що сума відхилень даних від сере­днього значення дорівнює нулю. Тому, якби ми вирішили шукати середній показник відхилень, то він також дорівнював би нулю. В статистиці користуються іншим показником — середнім квадратич­ним відхиленням, який знаходять так: усі відхилення підносять до квадрата; знаходять середнє арифметичне цих квадратів; із знайденого середнього арифметичного добувають квадра­тний корінь. Середнє квадратичне відхилення позначають грецькою буквою σ (“сигма” мала): Знаходження середнього квадратичного відхилення подано в таблиці 4. Таблиця 4 Зна­чен­ня xi Сере­днє ариф­ме­ти­чне Відхи­лення xi — Квадрат відхи­лення (xi - )2 Квадратичне від­хилення σ 5 - 7 49 8 - 4 16 10 - 2 4 12 0 0 17 5 25 20 8 64 =72 = =12 У статистиці користуються також величиною σ2 (квад­рат середнього квадратичного відхи­лення), яку називають дисперсією. Середнє геометричне п додатних чисел х1, х2 , х3 , ...,хп визначається виразом , тобто середнє ге­ометричне х1 х2 х3 ...п є корінь n-го степеня з добутку всіх xi (і = 1, 2, ...). У випадку двох чисел а і b середнє геометричне нази­вають середнім пропорційним цих чисел. З рівності тс = аb випливає, що а : mc = тс : b. На практиці окремим особам, організаціям, керівникам підприємств доводиться розв'язу­вати різноманітні задачі, пов'язані з використанням поняття моди, медіани, серед­нього. Напри­клад, яких розмірів дитячого взуття слід випускати більше, ніж інших; на якому з міських марш­ру­тів треба пустити автобусів більше, ніж на решті; якого розміру спортивних костюмів слід ви­готовити найбільше для учнів 10—11 класів тощо. Розглянуті моду, медіану і середні значення називають мірами центральної тенденції.