Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 50
XIV муниципальная научно-практическая конференция «Ломоносовские чтения » Изучение методов интерполяции и аппроксимации Выполнила учащаяся группы ФМ3.2 Сарманова Снежана Геннадьевна Научный руководитель: Бородкин Дмитрий Константинович, преподаватель информатики Лицея №2 г.Ангарск, 2009 Содержание
1. Аннотация……………………………...…………………………………………………....3 2. Цель, задачи……………………………………………………………………...……….....3 3. Введение………………………………………………………………………..…….……...4 4. Линейная интерполяция………………………………………………………....……...….5 · Теория ………………………………………………………………………….........5 · Блок-схема……………………………………………………………...……………6 · Текст программы……………………………………………………………..….….7 · Пример…………………………………………………………………..……….…..7 5. Квадратичная интерполяция………….………………………………………..…………..8 · Теория…………………………………………………………………….……….. 10 · Блок-схема…………………………………………………………….....…………11 · Текст программы…………………………………………………………….……..12 · Пример……………………………………………………………………………...13 6. Инструкция по работе с программами……………............................................................16 7. Заключение…………………………………………………………………………………17 8. Список литературы………………………………………………………………………...18 Аннотация
В данной работе излагаются основные численные методы решения математических задач, возникающих при исследовании физических и технических проблем. Изложенные методы пригодны как для расчетов на ЭВМ, так и для «ручных» расчетов. Огромное количество численных методов ставит актуальной задачей не столько создание новых, сколько исследование и классификацию старых, выявление лучших. Данная работа будет полезна студентам, аспирантам, преподавателям университетов и технических институтов, научным работникам и инженерам-исследователям, а так же всем, кто имеет дело с численными расчетами. Цель работы:
разработать программы вычисления значений функции f(
x)
для значений х,
не содержащихся в таблице. Задачи:
· Изучить и проанализировать научную, справочную литературу · Подобрать наиболее простые и лучшие методы решения уравнений первой и второй степени · Составить алгоритм решения уравнений в виде блок-схемы · Разработать программы в системе программирования Borland Turbo Pascal 7.0 Гипотеза:
создание программ для нахождения неизвестных значений функции в системе программирования позволит значительно сократить затраты времени по сравнению с ручными расчетами. Введение
Если задана функция y (
x),
то это означает, что любому допустимому значению х
сопоставлено значение у
. Но нередко оказывается, что нахождение этого значения очень трудоемко. Например, у(х)
может быть определено как решение сложной задачи, в которой х
играет роль параметра, или у(х)
измеряется в дорогостоящем эксперименте. При этом можно вычислить небольшую таблицу значений функции, но прямое нахождение функции при большом числе значений аргумента будет практически невозможно. Функция у(х)
может участвовать в каких-либо физико-технических или чисто математических расчетах, где её приходится многократно вычислять. В этом случае выгодно заменить функцию у(х)
приближенной формулой, т. е. подобрать некоторую функцию φ (х),
которая близка в некотором смысле к у(х)
и просто вычисляется. Затем при всех значениях аргумента полагают у(х)
ИНТЕРПОЛЯЦИЯ (от лат. interpolatio — изменение, переделка
) - отыскание промежуточных значений величины по некоторым известным ее значениям. Например, отыскание значений функции f( x
) в точках x, лежащих между точками x0
по известным значениям yi = f( xi) (где i = 0,1,..., n).
Если x
лежит вне интервала ( x0
, xn
), аналогичная процедура называется экстраполяцией
. Основная цель интерполяции
– получить быстрый (экономичный) алгоритм вычисления значений f(
x)
для значений х,
не содержащихся в таблице. АППРОКСИМАЦИЯ (от лат. approximo — приближаюсь
) - замена одних математических объектов (наприме
р, чисел или функций) другими, более простыми и в том или ином смысле близкими к исходным (например
, кривых линий близкими к ним ломаными). Огромное количество численных методов ставит актуальной задачей не столько создание новых, сколько исследование и классификацию старых, выявление лучших. Именно поэтому в данной работе будут рассмотрены два вида интерполяции – линейная и квадратичная. Линейная интерполяция
Простейшим и часто используемым видом локальной интерполяции является линейная ( или кусочно-линейная) интерполяция.
Она состоит в том, что заданные точки ( х
i
, у
i
) (
i=0, 1, …,
n
) соединяются прямолинейными отрезками, и функция f(х)
приближается ломаной с вершинами в данных точках. Рис. пример интерполяции
Уравнения каждого отрезка ломаной в каждом случае разные. Поскольку имеется nинтервалов ( х
i-1
, х
i
), то для каждого из них в качестве уравнения интерполяционного многочлена используется уравнение прямой, проходящей через две точки. В частности, для i-го интервала можно написать уравнение, проходящей через точки ( х
i-1
, у
i-1
) и (х
i
,
yi
), в виде Отсюда y= ai
x + bi
; xi-1
≤ x ≤ xi
, (1)
Следовательно, при использовании линейной интерполяции сначала нужно определить интервал, в который попадает значение аргумента х
, а затем подставить его в формулу (1) и найти приближенное значение функции в этой точке. Данный алгоритм представлен на рисунке Нет Нет Текст программы: Program interpol; Const N=3; Var x: array [1..N] of real; y: array [1..N] of real; a, b, xр, yр : real; i: integer; begin for i:=1 to N do begin{ввод данных через массивы
} writeln (‘x[‘,i,’]=’); readln (x[i]); writeln (‘y[‘,i,’]=’); readln (y[i]); end; write (‘vveditex=’); {ввод промежуточного значения}
readln (xр); for i:=2 to N do if (x[i-1]<=xp) and (xp<=x[i-1]) then begin a:= (y[i] – y[i-1]) / (x[i] – x[i-1]); b:= y [i-1] – a*x[i-1]; yр:= a*xр + b else writeln (‘ekstrepolyazia’); readln; end; writeln (‘y=’, yр); {вывод искомого значения}
readln; end. Пример
. Найти значение функции y=f(x),
изображенной на рисунке, при х=1 Воспользуемся формулой линейной интерполяции(1). Значение х=1 находится между точками хi
=2 и хi-1
= 0. Отсюда имеем bi
= yi
-1
– ai
٠xi
-1
= 4 – 0.5٠0=4 у= а٠хр
+b = -0.5 ٠1 + 4 = 3.5 Результаты выполнения программы
На рисунке 1 показан вид окна программы при вводе исходных данных Рис.1
На рисунке 2 представлен вид окна программы после вывода результатов Рис.2
Исполнимый модуль программы находится в файле с именем interpol1.
exe
Пример 2.
Если в два часа ночи температура воздуха была +10, а в шесть утра - +25, Квадратичная интерполяция
В качестве интерполяционной функции на отрезке [х
i-1
,
xi
+
1
] принимается квадратный трехчлен. Такую интерполяцию называют также параболической. Уравнение квадратного трехчлена y = ai
x2
+ bi
x + ci
, xi-1
содержит три неизвестных коэффициента ai
,
bi
,
ci
, для определения которых необходимы три уравнения. Ими служат условия прохождения параболы (2) через три точки ( xi
-1
,
yi
-1
), (xi
,
yi
), (xi
+1
,
yi
+1
). Эти условия можно записать в виде yi-1
= ai
x2
i-1
+ bi
xi-1
+ ci
yi
= ai
x2
i
+ bi
xi
+ ci
(3)
yi
+1
=
ai
x2
i+1
+
bi
xi
+1
+
ci
Данная система уравнений решается методом Крамера. Определители: Решение: Алгоритм нахождения приближенного значения функции с помощью квадратичной интерполяции можно записать в виде структурограммы, как и для случая линейной интерполяции. Вместо формулы (1) нужно использовать (2) с учетом решения системы линейных уравнений (3). Интерполяция для любой точки x є
[xo
,
xn
] приводится по трем ближайшим к ней узлам. Данный алгоритм представлен на рисунке Да Program interpol2; Const N=3; Var x: array [1..N] of real; y: array [1..N] of real; a, b, c, xр, yр, deltaA, deltaB, deltaC, delta : real; i: integer; begin for i:=1 to N do begin{ввод данных через массивы
} writeln (‘x[‘,I,’]=’); readln (x[i]); writeln (‘y[‘,I,’]=’); readln (y[i]); end; write (‘vvedite x’); {
ввод
промежуточного
значения
}
readln (xр); for i:=2 to N do if (x[i-1]<=xр) and (xр<=x[i-1]) then begin{вычисления}
delta:= x[i-1]*x[i-1]*x[i] – x[i-1]*x[i-1]*x[i+1]+ x[i-1]*x[i+1]*x[i+1] – x[i-1]*x[i]*x[i] – x[i+1]*x[i+1]*x[i]+ x[i+1]*x[i]*x[i]; deltaA:= x[i+1]*y[i]– x[i-1]*y[i] +y[i-1]*x[i]-x[i+1]*y[i-1] – y[i+1]*x[i]+x[i-1]*y[i+1]; deltaB:=x[i-1]*x[i-1]*y[i] – x[i+1]*x[i+1]*y[i]- y[i-1]*x[i]*x[i] + y[i+1]*x[i]*x[i] – x[i-1]*x[i-1]*y[i+1] + x[i+1]*x[i+1]*y[i-1]; deltaC:= y[i+1]*x[i-1]*x[i-1]*x[i] – y[i]*x[i-1]*x[i-1]*x[i+1] + y[i]*x[i-1]*x[i+1]*x[i+1]- y[i+1]*x[i-1]*x[i]*x[i] –y[i-1]*x[i+1]*x[i+1]*x[i] + y[i-1]*x[i+1]*x[i]*x[i]; a:= delta/deltaA; b:=delta/deltaB; c:= delta/ deltaC; yр:= a*xр*xр + b*xр +c; end; writeln (‘y=’, yр); {вывод искомого значения}
readln; end. Пример
. Найти приближенное значение функции y =
f (
x)
при x
= 2.5, если известна следующая таблица её значений: Найдем приближенное значение функции с помощью формулы квадратичной интерполяции (2) . Составим систему уравнений (3). С учетом ближайших к точке x = 2.5 узлов xi
-1
= 2 , xi
= 3,
xi
+1
= 4. Соответственно yi
-1
= 2 , yi
= 4yi
+1
= 7. Система (3) запишется в виде 22
ai
+ 2bi
+ ci
= 2; 32
ai
+ 3bi
+ ci
= 4 42
ai
+ 4bi
+ ci
= 7. 4 2 1 16 4 1 2 2 1 7 4 1 4 2 1 16 7 1 16 4 7 Решая эту систему, находимai
=0.5 , b
i
= -0.5, ci
= 1. Искомое значение функции y На рисунке 1 показан вид окна программы при вводе исходных данных Рис.1
На рисунке 2 представлен вид окна программы после вывода результатов Рис.2
Исполнимый модуль программы находится в файле с именем
interpol2.
exe
Инструкция по работе с программами
Исполнимые модули программ находятся в файле с именами interpol.
exe и
interpol2.
exe
, запускаются на выполнение в операционной системе ее средствами. После запуска программы пользователь должен ввести исходные данные, как это показано на рисунке 1 (см. стр.8, 14) После ввода исходных данных программа производит вычисления и выводит результат на экран в том же окне, что и исходные данные, как это показано на рисунке 2(см. стр.9,15). Чтобы завершить работу программы, пользователь должен нажать любую клавишу. Составленные программы решают задачу интерполирования таблично заданной функции с произвольным расположением узлов. Как показывает анализ результатов, вычисления, производимые программами, верны. Заключение
В данной работе была изучена и проанализирована справочная литература, вследствие чего были выявлены два наиболее простых и удобных вида интерполяции – линейная и квадратичная; созданы программы в системе программирования Borland Turbo Pascal 7.0 для вычисления значений функции f(
x)
и разработан быстрый (экономичный) алгоритм решения этой функции, предоставленный в виде блок-схем. Список использованных источников 1. Калиткин Н.Н.. Численные методы. – М.: Наука, 1982. 2. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики – М.: Наука, 1977. 3. Носач В.В. Решение задач аппроксимации с помощью персональных компьютеров.. М.: Бином, 1994
|