Парная линейная регрессия Контрольная работа по эконометрике «Парная линейная регрессия» Вариант №6 В таблице приведены значения выручки от экспорта 1 тонны синтетического каучука за 10 кварталов и цены его на внутреннем рынке. Период Выручка от экспорта 1 тонны, долл. Цена внутреннего рынка, долл. За 1 тонну 1-й квартал 2010 1030 2-й квартал 1190 1550 3-й квартал 1340 2180 4-й квартал 1370 2370 5-й квартал 1470 2380 6-й квартал 1510 2560 7-й квартал 1535 2590 8-й квартал 1570 2700 9-й квартал 1540 2759 10-й квартал 1635 2760 Линейное уравнение парной регрессии имеет вид: ŷ = b0 + b1 · x где ŷ — оценка условного математического ожидания y; b0 , b1 — эмпирические коэффициенты регрессии, подлежащие определению. Эмпирические коэффициенты регрессии b0 , b1 будем определять с помощью инструмента Регрессия надстройки Анализ данных табличного процессора MS Excel. Из таблицы «Линейн» видно, что эмпирические коэффициенты регрессии соответственно равны: b0 = 1738,671 b1 = - 0,097 Тогда уравнение парной линейной регрессии, связывающей величину выручки от экспорта yи его цены на внутреннем рынке x, имеет вид: ŷ = 1739 – 0,097 · x 1. Рассчитайте параметры уравнения линейной зависимости выручки от экспорта 1тонны синтетического каучука от цены его на внутреннем рынке. При помощи статистической функции «ЛИНЕЙН» получим: Линейн -0,096888247 1738,670621 0,129769731 305,1064952 0,065140593 222,2670586 0,55743649 8 27538,83722 395221,1628 Где соответственно Значение коэффициента b Значение коэффициента a Среднеквадратическое отклонение b Среднеквадратическое отклонение a Коэффициент детерминации R2 Среднеквадратическое отклонение y F -статистика Число степеней свободы Регрессионная сумма квадратов Остаточная сумма квадратов 2. Найти оценки дисперсий S2 , D( b0 ), D( b1 ), D(ŷ). а) Найдем S2 S2 =∑ ei 2 / n-2 Наблюдение Остатки ei Квадрат отклонений 1 371,1242736 137733,2264 2 -398,4938378 158797,3387 3 -187,4542419 35139,0928 4 -139,0454749 19333,64409 5 -38,07659241 1449,82689 6 19,36329212 374,9370817 7 47,26993954 2234,447184 8 92,92764676 8635,547532 9 68,64405335 4712,006061 10 163,7409416 26811,09596 Сумма 395221,1628 Используя данные таблицы, получим S2 = 395221,1628 / 10 – 2 = 395221,1628 / 8 = 49402,64535 б) Найдем D(b0 ) D(b0 ) = S2 · (∑ xi 2 / n ∑ (xi - x)2 ) Период Цена внутреннего рынка, долл. За 1 тонну, x x - x ср. квадрат(x - x ср.) Квадрат x 1-й квартал 1030 -1257,9 1582312,41 1060900 2-й квартал 1550 -737,9 544496,41 2402500 3-й квартал 2180 -107,9 11642,41 4752400 4-й квартал 2370 82,1 6740,41 5616900 5-й квартал 2380 92,1 8482,41 5664400 6-й квартал 2560 272,1 74038,41 6553600 7-й квартал 2590 302,1 91264,41 6708100 8-й квартал 2700 412,1 169826,41 7290000 9-й квартал 2759 471,1 221935,21 7612081 10-й квартал 2760 472,1 222878,41 7617600 сумма 22879 1805190,82 8678500 Среднее значение x 2287,9 D(b0 ) = 49402,64535 · (8678500/ 10 ·1805190,82) = 49402,64535 · (8678500/ 18051908,2) = 49402,64535 · 0,48075 = 23750,32175 в) Найдем D(b1 ) D(b1 ) = S2 · (1/ ∑ (xi - x)2 ) D(b1 ) = 49402,64535 · (1/1805190,82) = 49402,64535 · 0,000000554 = 0,02737 г) Найдем D(ŷ) D(ŷ) = S2 · ( 1 + 1/n + ((xi - x)2 /∑ (xi - x)2 )) = 49402,64535 · (1 + 1/10 + ) 3. Постройте таблицу дисперсионного анализа. Таблица построена при помощи инструмента Регрессия надстройки Анализ данных. Дисперсионный анализ df SS MS F Значимость F Регрессия 1 27538,83722 27538,83722 0,55743649 0,476661041 Остаток 8 395221,1628 49402,64535 Итого 9 422760 4. Оцените тесноту связи с помощью коэффициента корреляции и детерминации. В соответствии с заданием, необходимо оценить тесноту статистической связи между величиной выручки от экспорта y и ценой на внутреннем рынке x. Эту оценку можно сделать с помощью коэффициента корреляции rxy . Величина этого коэффициента в таблице «Регрессионная статистика» обозначена как множественный R и равна 0,255. Поскольку теоретически величина данного коэффициента находится в пределах от –1 до +1, то можно сделать вывод о несущественности статистической связи между величиной выручки от экспорта y и ценой на внутреннем рынке x. Параметр R-квадрат, представленный в таблице «Регрессионная статистика» представляет собой квадрат коэффициента корреляции rxy 2 и называется коэффициентом детерминации. Соответственно величина 1 - rxy 2 характеризует долю дисперсии переменной y, вызванную влиянием всех остальных, неучтенных в эконометрической модели объясняющих переменных. Из таблицы «Регрессионная статистика» видно, что доля всех неучтенных в полученной эконометрической модели объясняющих переменных приблизительно составляет: 1 - 0,06514 = 0,93486 или 93,5%. Таким образом, при R< 0,3 - связь слабая. В рассматриваемом случае R=0,255, 0,255< 0,3 значит модель строить нельзя. Регрессионная статистика Множественный R 0,255226553 R-квадрат 0,065140593 Нормированный R-квадрат -0,051716833 Стандартная ошибка 222,2670586 Наблюдения 10 5. Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнения. Определим среднюю ошибку аппроксимации по зависимости: Для этого исходную таблицу дополняем двумя колонками, в которых определяем значения ŷ, рассчитанные с использованием зависимости и значения разности . Период Выручка от экспорта 1 тонны, долл. Y Цена внутреннего рынка, долл. За 1 тонну x ŷ 1-й квартал 2010 1030 1639,09 0,184532 2-й квартал 1190 1550 1588,65 0,335 3-й квартал 1340 2180 1527,54 0,13996 4-й квартал 1370 2370 1509,11 0,10154 5-й квартал 1470 2380 1508,14 0,02595 6-й квартал 1510 2560 1490,68 0,012795 7-й квартал 1535 2590 1487,77 0,030769 8-й квартал 1570 2700 1477,1 0,059172 9-й квартал 1540 2759 1471,377 0,04456 10-й квартал 1635 2760 1471,28 0,100135 сумма 15170 22879 1,034413 Тогда средняя ошибка аппроксимации равна: Практически полагают, что значение средней ошибки аппроксимации не должно превышать 12—15% для грубого приближения регрессии к реальной зависимости. В нашем же случае средняя ошибка аппроксимации, т.е. среднее отклонение расчетных значений от фактических равна 10,34%. Поскольку ошибка меньше 15%, то данное уравнение можно использовать в качестве регрессии. 6. Оцените значимость коэффициента корреляции и значимость коэффициента регрессии b1 с помощью t-критерия Стьюдента. На этом этапе необходимо оценить статистическую значимость коэффициентов регрессии с помощью t-критерия Стьюдента. Технология оценки статистической значимости коэффициентов регрессии основывается на проверке нулевой гипотезы о незначимости коэффициентов регрессии. При этом проверяется выполнение условия: если tT > tКРИТ , то нулевая гипотеза отвергается и коэффициент регрессии принимается значимым. Из таблицы №3 в приложении видно, что tT для коэффициента регрессии равен -0,7466. Критическое значение tКРИТ при уровне значимости α = 0,05 равно 2,3060. Поскольку tT <tКРИТ для коэффициента регрессии (0,7466<2,3060), то нулевая гипотеза не отвергается и объясняющая переменная x является статистически незначимой и ее можно исключить из уравнения регрессии. 7. Оцените с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. Из таблицы дисперсионного анализа: Дисперсионный анализ df SS MS F Значимость F Регрессия 1 27538,83722 27538,837 0,5574365 0,476661041 Остаток 8 395221,1628 49402,645 Итого 9 422760 следует, что FT = 0,56. FКРИТ определяем с помощью таблицы значений F-критерия Фишера. Для модели парной линейной регрессии число степеней свободы равно 8 и n - k - 1 (где k = 1 - число объясняющих переменных). И второе число степеней свободы равно: 10 - 2 = 8. FКРИТ = 3,44. Следовательно, FT <FКРИТ (0,56<3,44) и уравнение регрессии в целом является незначимым.