Иррациональные уравнения и неравенства МОУ СОШ «УК №20» Иррациональные уравнения и неравенства по алгебре ученика 11 «В» класса Торосяна Левона Руководитель: Олейникова Р. М. Сочи 2002г. Содержание. I. Введение II. Основные правила III. Иррациональные уравнения: · Решение иррациональных уравнений стандартного вида. · Решение иррациональных уравнений смешанного вида. · Решение сложных иррациональных уравнений. IV. Иррациональные неравенства: · Решение иррациональных неравенств стандартного вида. · Решение нестандартных иррациональных неравенств. · Решение иррациональных неравенств смешанного вида. V. Вывод VI. Список литературы I . Введение Я, Торосян Левон, ученик 11 «В» класса, выполнил по теме: «Иррациональные уравнения и неравенства». Особенностью моей работы является то, что в школьном курсе на решение иррациональных уравнений отводится очень мало времени, а ВУЗовские задания вообще не решаются. Решение иррациональных неравенств в школьном курсе не рассматри- вают, а на вступительных экзаменах эти задания часто дают. Я самостоятельно изучил правила решения иррациональных уравнений и неравенств. В е показаны решения как иррациональных уравнений и неравенств стандартного типа, так и повышенной сложности. Поэтому можно использовать как учебное пособие для подготовки в ВУЗ, также рефератом можно пользоваться при изучении этой темы на факультативных занятиях. II . Иррациональные уравнения Иррациональным называется уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня. Решаются такие уравнения возведением обеих частей в степень. При возведении в четную степень возможно расширение области определения заданного уравнения. Поэтому при решении таких иррациональных уравнений обязательны проверка или нахождение области допустимых значений уравнений. При возведении в нечетную степень обеих частей иррационального уравнения область определения не меняется. Иррациональные уравнения стандартного вида можно решить пользуясь следующим правилом: Решение иррациональных уравнений стандартного вида: а) Решить уравнение = x – 2, Решение. = x – 2, 2x – 1 = x2 – 4x + 4, Проверка: x2 – 6x + 5 = 0, х = 5, = 5 – 2, x1 = 5, 3 = 3 x2 = 1 – постор. корень х = 1, 1 – 2 , Ответ: 5 пост. к. 1 -1. б) Решить уравнение = х + 4, Решение. = х + 4, Ответ: -1 в) Решить уравнение х – 1 = Решение. х – 1 = х3 – 3х2 + 3х – 1 = х2 – х – 1, х3 – 4х2 + 4х = 0, х(х2 – 4х + 4) = 0, х = 0 или х2 – 4х + 4 = 0, (х – 2)2 = 0, х = 2 Ответ: 0; 2. г) Решить уравнение х – + 4 = 0, Решение. х – + 4 = 0, х + 4 = , Проверка: х2 + 8х + 16 = 25х – 50, х = 11, 11 – + 4 = 0, х2 – 17х + 66 = 0, 0 = 0 х1 = 11, х = 6, 6 – + 4 = 0, х2 = 6. 0 = 0. Ответ: 6; 11. Решение иррациональных уравнений смешанного вида: · Иррациональные уравнения, содержащие знак модуля: а) Решить уравнение = Решение. = , – + x Учитывая ноль подкоренного выражения, данное уравнение равносильно двум системам: или Ответ: б) Решить уравнение Решение. , – + x Учитывая ноль подкоренного выражения, данное уравнение равносильно двум системам: или Ответ: . · Иррациональные показательные уравнения: а) Решить уравнение Решение. ОДЗ: Пусть = t, t > 0 Сделаем обратную замену: = 1/49, или = 7, = , – (ур-ние не имеет решений) x = 3. Ответ: 3 б) Решить уравнение Решение. Приведем все степени к одному основанию 2: данное уравнение равносильно уравнению: Ответ: 0,7 · Иррациональное уравнение, содержащее иррациональность четной степени: Решить уравнение Решение. возведем обе части уравнения в квадрат 3x – 5 – 2 2x – 2 = 2 x –1 = x Проверка: x x = 3, 4x 1 = 1. x = 1,75 Ответ: 3. · Иррациональное уравнение, содержащее иррациональность нечетной степени: Решить уравнение Решение. возведем обе части уравнения в куб но , значит: возведем обе части уравнения в куб (25 + x)(3 – x) = 27, Ответ: –24; 2. · Иррациональные уравнения, которые решаются заменой: а) Решить уравнение Решение. Пусть = t, тогда = , где t > 0 t – Сделаем обратную замену: = 2, возведем обе части в квадрат Проверка:x = 2,5 Ответ: 2,5. б) Решить уравнение Решение. Пусть = t, значит = , где t > 0 t + t – 6 = 0, Сделаем обратную замену: = 2, возведем обе части уравнения в четвертую степень x + 8 = 16, Проверка: x = 8, x = 2, x = 2. 6 = 6 Ответ: 2. в) Решить уравнение Решение. Пусть = t, где t > 0 Сделаем обратную замену: = 2, возведем обе части уравнения в квадрат Проверка: , Ответ: –5; 2. Решение сложных иррациональных уравнений: · Иррациональное уравнение, содержащее двойную иррациональность: Решить уравнение Решение. возведем обе части уравнения в куб возведем обе части уравнения в квадрат Пусть = t t 2 – 11t + 10 = 0, Сделаем обратную замену: Проверка: = 10,или = 1, x = , x = -пост. корень 0 Ответ: 1. x = 1, 1 = 1 · Иррациональные логарифмические уравнения: а) Решить уравнение lg3 + 0,5lg(x – 28) = lg Решение. lg3 + 0,5lg(x – 28) = lg , lg(3 = lg , Учитывая ОДЗ, данное уравнение равносильно системе: Ответ: 32,75 б) Решить уравнение Решение. Ответ: ; – 2; 3. IV . Иррациональные неравенства Неравенства называются иррациональными, если его неизвестное входит под знак корня (радикала). Иррациональное неравенство вида равносильно системе неравенств: Иррациональное неравенство вида равносильно совокуп-ности двух систем неравенств: и Решение иррациональных неравенств стандартного вида: а) Решить неравенство Решение. Данное неравенство равносильно системе неравенств: + – + Ответ: [1; 2). 1 3 x б) Решить неравенство Решение. Данное неравенство равносильно двум системам неравенств: Ответ: в) Решить неравенство Решение. Данное неравенство равносильно системе неравенств: Ответ: нет решений Решение иррациональных неравенств нестандартного вида: а) Решить неравенство Решение. Данное неравенство равносильно системе неравенств: Ответ: б) Решить неравенство Решение. Данное неравенство равносильно системе неравенств: Ответ: · Решение иррациональных неравенств с помощью правила знаков при умножении и делении: а) Решить неравенство Решение. Учитывая то, что и правило знаков при делении данное неравенство равносильно системе неравенств: Ответ: б) Решить неравенство (2x – 5) Решение. (2x – 5) Учитывая то, что и правило знаков при делении данное неравенство равносильно системе неравенств: Ответ: ·Решение иррациональных неравенств способом группировки: Решить неравенство Решение. , сгруппируем по два слагаемых вынесем общий множитель за скобку учитывая, что > 0 и правило знаков при умножении данное неравенство равносильно системе неравенств: Ответ: ( 0; 1 ) · Иррациональное неравенство, содержащее два знака иррациональности: Решить неравенство Решение. Данное неравенство равносильно системе неравенств: Ответ: ·Решение иррациональных неравенств заменой: Решить неравенство Решение. Пусть = t, тогда = , t > 0 Сделаем обратную замену: возведем в квадрат обе части неравенства Ответ: Решение иррациональных неравенств смешанного вида: · Иррациональные показательные неравенства: а) Решить неравенство Решение. , т.к. y = 0,8t , то 0,5x(x – 3) < 2, 0,5x2 – 1,5x – 2 < 0, x2 – 3x – 4 < 0, f(x) = x2 – 3x – 4, ОДЗ ,+ – + Нули функции: x1 = 4; x2 = – 1. –1 4 x Ответ: х б) Решить неравенство 4 – 2 < 2 – 32 Решение. 4 – 2 < 2 – 32, ОДЗ: x > 0 2 – 2 2 < 2 24 – 25 , выполним группировку слагаемых 2 (2 – 2) – 24 (2 –2) < 0, (2 – 2) (2 – 24 ) < 0, учитывая правило знаков и ОДЗ данное неравенство равносильно 2-м системам: или т.к. y = 2t , то т.к. y = 2t , то Ответ: х ·Решение иррациональных логарифмических неравенств: Решить неравенство Решение. уч. ОДЗ данное нер-во равносильно системе нер-ств Ответ: V . Вывод помог мне научиться решать иррациональные уравнения и неравенства следующих типов: стандартные, показательные, содержащие знак модуля, логарифмические, повышенного уровня. Примеры взяты и подробно разобраны не только из школьной программы, но и из вступительных экзаменов в школу А.Н. Колмогорова при МГУ, из сборника задач по математике под редакцией М.И. Сканави. Этот материал может быть интересен и полезен выпуск – никам школ и абитуриентам технических вузов. VI. Список литературы 1) Алгебра и начала анализа. Под редакцией А.Н. Колмогорова 2) 3000 конкурсных задач по математике. Авторы: Е.Д. Куланин, В.П. Норин 3) Справочные материалы по математике. Авторы: В.А. Гусев, А.Г. Мордкович 4) Сборник задач по математике. Под редакцией М.И. Сканави 5) Справочный материал