Оптимальная комбинация ресурсов №1 по дисциплине «Экономико-математические методы и модели» на тему «Оптимальная комбинация ресурсов» Выполнила: студентка гр. О-060500-31 Проверил: доцент Гольман А.Ф. Ижевск, 2010 Оптимальная комбинация ресурсов Использование аппарата производственных функций дает возможность решения задачи об оптимальном использовании средств, предназначенных для приобретения производственных факторов. Предположим, что факторы ( x 1 , ..., x N ) могут быть закуплены по ценам ( p 1 , ..., p N ), а объем имеющихся средств для приобретения составляет b (руб.). Тогда соотношение, описывающее множество допустимых наборов факторов, имеет вид: Граничная линия этого множества, соответствующая полному использованию имеющихся средств, т.е.: называется изокостой, поскольку ей отвечают наборы, имеющие одинаковую стоимость b . Задача об оптимальном использовании средств формулируется так: требуется найти набор факторов, который дает наибольший выпуск продукции при ограниченных финансовых средствах b . Таким образом, требуется найти решение задачи: Искомое решение находится из системы уравнений: где l множитель Лагранжа. В частности, если число факторов N = 2, задача допускает наглядную геометрическую интерпретацию (рис. 1). Рис. 1. Оптимальная комбинация ресурсов Здесь отрезок АВ есть изокоста, кривая R изокванта, касающаяся изокосты в точке D , которая и соответствует оптимальному набору факторов ( ). Полезно привести полное решение поставленной задачи для случая двух факторов, т.е. N = 2. Пусть x 1 = K капитал (основные фонды), x 2 = L труд (рабочая сила); производственная функция условие ограниченности ресурса где r цена использования машин и оборудования (т.е. услуг капитала), равная норме банковского процента; w ставка оплаты труда. Условия оптимальности имеют вид: а) Это условие означает, что объем используемого капитала должен быть принят на том уровне, когда маргинальная фондоотдача ( y / K ) равна норме процента; дальнейшее увеличение капитала приведет к снижению его эффективности; б) Это условие требует, чтобы количество занятой рабочей силы было взято на уровне, когда маргинальная производительность труда ( y / L ) равна ставке заработной платы, так как дальнейшее увеличение количества занятых приводит к убыткам (точка на рис. 2). Рис. 2. Оптимальное количество занятых Здесь угловой коэффициент касательной в точке А равен w . Для ПФ типа Кобба - Дугласа задача имеет вид: найти при условии Получим следующее решение: Множитель характеризует здесь предельную продуктивность финансовых средств, т.е. показывает, на какую величину D y изменится максимальный выпуск продукции если объем средств b увеличится на малую единицу. Заметим, что сумма эластичностей капитала (b) и труда (a) характеризует так называемый удельный выпуск (отдачу) при изменении масштаба производства, т.е. когда расход ресурсов ( K и L ) увеличивается в одинаковое число раз. Если a + b > 1, то отдача возрастает, если a + b = 1, то отдача постоянная, если a + b < 1, то отдача убывает, а производственная функция является выпуклой вверх. Литература 1.Замков О.О.,Толстопятенко А.В.,Черемных Ю.Н.,Математические методы в экономике. М.: АО ДИС, 1997.