Исследование взаимосвязей показателей финансовых рынков ИССЛЕДОВАНИЕ ВЗАИМОСВЯЗЕЙ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ФИНАНСОВЫХ РЫНКОВ: В таблице представлены среднемесячные данные за 2002 - 2004 гг: Годы Месяцы Курс $ Процентные ставки Сальдо ТБ Прирост ЗВР ИПЦ Y X1 X2 X3 Х4 2002 1 30,47272 10,1 3850 284 103,1 2 30,8057 10 3504 -214 101,2 3 31,06427 10,7 4722 452 101,1 4 31,17359 10,7 5390 435 101,2 5 31,25488 11,1 4814 1860 101,7 6 31,40493 11,1 4265 3072 100,5 7 31,51499 12 4883 1352 100,7 8 31,55431 10,3 5863 -285 100,1 9 31,62666 10,5 5603 1033 100,4 10 31,69333 12,4 5151 1292 101,1 11 31,81074 12,8 4644 1148 101,6 12 31,83684 12 5797 1438 101,5 2003 13 31,81617 12,1 5847 -412 102,4 14 31,69898 11,9 5636 1481 101,6 15 31,45329 11,2 6671 3787 101,1 16 31,21179 10,9 5137 2464 101 17 30,90706 10,8 5614 4322 100,8 18 30,46863 11 6261 5035 100,8 19 30,36029 11,1 6087 -452 100,7 20 30,34903 10,6 6948 24 99,6 21 30,59863 9,8 6378 -1702 100,3 22 30,16471 10,4 7010 -679 101 23 29,80797 10,4 6158 2855 101 24 29,4337 11 7192 3241 101,1 2004 25 28,8388 10 6894 8769 101,8 26 28,51467 9,4 6880 7052 101 27 28,52926 9,2 7412 2328 100,8 28 28,68563 9 8742 -2920 101 29 28,98922 9,2 7956 -734 100,7 30 29,02972 8,8 8762 2948 100,8 31 29,08193 9 8950 2614 100,9 32 29,21929 9,2 10253 384 100,4 33 29,22208 9,5 9767 92 100,4 34 29,0703 9,5 10223 6380 101,1 35 28,59119 9,6 10393 12256 101,1 36 27,90403 9,6 10467 10096 101,1 Задание: 1.Проанализировать связи между данными пятью показателями по следующей схеме: а) оценить тесноту и напрвление связи для каждой пары величин б) выделить мультиколлениарные факторы в) выбрать два ведущих фактора для показателя "Курс доллара" 2. Построить линейную модель регрессии с ведущими факторами, пояснить экономический смысл ее параметров 3. Оценит качественные характеристики по следующей схеме: а) проверить статистическую значимость уравнения и его параметров б) проверить предпосылки МНК, определив математическое ожидание остатков и исследовав их на гомоскедастичность в) оценить уровень точности модели на основе средней относительной ошибки г) оценить какая доля вариации показателя "Курс доллара" учтена в построенной модели и обусловлена включенными в нее факторами 4.Выполнить прогноз показптеля "Курс доллара" на январь, февраль, март 2005г, определив ошибку прогнозирования с доверительной вероятностью 95%. Сравнить полученные результаты с фактическими данными за 2005: январь - 28,009 февраль - 27,995 март - 27,626 РЕШЕНИЕ: 1. Проанализируем связь между показателями: а) Оценим тесноту и напрвление связи для каждой пары величин. Тесноту и направление связи оценим по коэффициенту парной корреляции. Строим матрицу парных коэффициентов корреляции: Y X1 X2 X3 Х4 Y 1 X1 0,829 1 X2 -0,791 -0,656 1 X3 -0,443 -0,163 0,389 1 Х4 0,137 0,277 -0,292 0,120 1 Проанализируем связь между зависимой переменной Y и факторами: r(Y;X1) = 0,829 - связь очень тесная и прямая, с увеличением фактора X1, зависимая переменная Y увеличивается. r(Y;X2) = -0,791 - связь тесная и обратная, с увеличением фактора X2, зависимая переменная Y уменьшается. r(Y;X3) = -0,443 - связь между зависимой переменной Y и фактором X3 слабая и обратная. r(Y;X4) = 0,137 - связи между результатом Y и фактором X4 практически нет. ВЫВОД: Фактор x4 практически не оказывает влияния на зивисимую переменную Y, значит его следует исключить из модели. Проанализируем связь между факторами: r(X1;X2) = -0,656 - связь между факторами X1 и X2 тесная и обратная. r(X1;X3) = -0,163 - связь между факторами X1 и X3 практически отсутствует. r(X1;X4) = 0,277 - связь между факторами X1 и X4 очень слабая и прямая. r(X2;X3) = 0,389 - связь между факторами X2 и X3 слабая и прямая. r(X2;X4) = -0,292 - связь между факторами X2 и X4 очень слабая и обратная. r(X3;X4) = 0,120 - связи между факторами X3 и X4 практически нет. ВЫВОД: Факторы x1 и x2 приближены к линейно зависимым, поэтому вместе в модель их включать не следует. Для проверки значимости коэффициентов применяем критерий Стьюдента: r tr Найдем расчетное значение t - критерия Стьюдента: 0,829 8,63 значим -0,791 -7,55 значим -0,443 -2,88 значим t (a=0,05;34) = 2,032 0,137 0,81 не значим -0,656 -5,07 значим -0,163 -0,96 не значим Если tрасч. > tтабл.,то коэффициент парной 0,277 1,68 не значим корреляции значим. 0,389 2,47 значим -0,292 -1,78 не значим 0,120 0,70 не значим в) Выбрать два ведущих фактора для показателя "Курс доллара" r(Y;X1) = 0,829 r(Y;X2) = -0,791 Т.к. зависимая переменная Y теснее связана с фактором X1, значит фактор X2 из модели исключаем. Результаты исследования показали, что в модель следует включить факторы X1 и X3. Переобозначим фактор X3 как фактор X2, тогда уравнение регрессии имеет вид: Y (x1,x2) = a0 + a1*x1 + a2*x2 - уравнение множественной регрессии. 2. Строим линейную модель регрессии: Y X1 X2 Yрасч. Ex E^2 (E-Eср)^2 (Et - Et-1)^2 E/Y (Y-Yср)^2 30,472715 10,1 284 30,14 0,33 0,11 0,104 - 0,011 0,02983 30,8057 10 -214 30,10 0,70 0,50 0,482 0,139 0,023 0,255732 31,0642667 10,7 452 30,66 0,41 0,17 0,157 0,089 0,013 0,584104 31,1735864 10,7 435 30,66 0,51 0,26 0,254 0,012 0,016 0,763153 31,2548842 11,1 1860 30,87 0,38 0,15 0,138 0,017 0,012 0,911804 31,40493 11,1 3072 30,75 0,65 0,43 0,414 0,074 0,021 1,22087 31,5149864 12 1352 31,72 -0,21 0,04 0,048 0,745 0,007 1,476192 31,5543087 10,3 -285 30,38 1,18 1,39 1,366 1,928 0,037 1,57329 31,626655 10,5 1033 30,42 1,20 1,45 1,428 0,001 0,038 1,760013 31,6933261 12,4 1292 32,09 -0,39 0,15 0,163 2,555 0,012 1,941358 31,8107429 12,8 1148 32,46 -0,65 0,42 0,431 0,064 0,020 2,282344 31,83684 12 1438 31,72 0,12 0,01 0,012 0,588 0,004 2,361877 31,816165 12,1 -412 31,99 -0,17 0,03 0,034 0,087 0,005 2,298756 31,6989789 11,9 1481 31,62 0,08 0,01 0,004 0,063 0,002 1,957142 31,45329 11,2 3787 30,77 0,68 0,47 0,454 0,370 0,022 1,330078 31,2117864 10,9 2464 30,63 0,58 0,33 0,322 0,011 0,018 0,831354 30,907055 10,8 4322 30,36 0,55 0,30 0,289 0,001 0,018 0,368516 30,4686263 11 5035 30,47 0,00 0,00 0,000 0,297 0,000 0,028435 30,360287 11,1 -452 31,10 -0,74 0,55 0,568 0,557 0,025 0,003635 30,3490273 10,6 24 30,61 -0,26 0,07 0,074 0,232 0,009 0,002404 30,5986333 9,8 -1702 30,07 0,53 0,28 0,267 0,623 0,017 0,089182 30,164713 10,4 -679 30,50 -0,34 0,12 0,122 0,749 0,011 0,018303 29,807965 10,4 2855 30,15 -0,34 0,12 0,124 0,000 0,011 0,242098 29,4337 11 3241 30,65 -1,21 1,47 1,494 0,756 0,041 0,750476 28,838795 10 8769 29,20 -0,36 0,13 0,140 0,719 0,013 2,13512 28,5146737 9,4 7052 28,84 -0,33 0,11 0,113 0,001 0,011 3,18739 28,5292619 9,2 2328 29,14 -0,61 0,37 0,379 0,078 0,021 3,135513 28,6856318 9 -2920 29,48 -0,80 0,63 0,650 0,036 0,028 2,606185 28,9892167 9,2 -734 29,44 -0,45 0,20 0,214 0,118 0,016 1,718153 29,0297238 8,8 2948 28,72 0,31 0,10 0,092 0,585 0,011 1,613602 29,0819261 9 2614 28,93 0,15 0,02 0,021 0,025 0,005 1,483704 29,2192857 9,2 384 29,33 -0,11 0,01 0,014 0,070 0,004 1,167943 29,2220818 9,5 92 29,63 -0,40 0,16 0,171 0,086 0,014 1,161908 29,0703 9,5 6380 29,00 0,07 0,01 0,004 0,228 0,003 1,512162 28,591185 9,6 12256 28,50 0,09 0,01 0,007 0,000 0,003 2,920049 27,9040273 9,6 10096 28,71 -0,81 0,66 0,673 0,816 0,029 5,740685 1090,15928 376,9 81096 1089,81 0,35 11,23 11,227 12,72 0,552 51,46 30,3 0,01 ВЫВОД ИТОГОВ Регрессионная статистика Множественный R 0,885 R-квадрат 0,784 Нормированный R-квадрат 0,771 Стандартная ошибка 0,580 Наблюдения 36 Дисперсионный анализ df SS MS F Регрессия 2 40,33 20,17 59,86 Остаток 33 11,12 0,34 Итого 35 51,45 Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика Нижние 95% Верхние 95% Y-п. (а0) 21,1762 1,0069 21,0320 19,1277 23,2247 X1 (а1) 0,8949 0,0944 9,4749 0,7027 1,0870 X2 (а2) -0,0001 0,0000 -3,8556 -0,0002 -0,0001 Yрасч. = 21,18 + 0,89*x1 - 0,0001*x2 - двуфактрная линейная модель регрессии. а1 = 0,89 - если процентные ставки увеличить на единицу измерения, то курс доллара увеличится на 0,89 единиц. а2 = -0,0001 - если прирост ЗВР увеличить на единицу измерения, то курс доллара снизится на 0,0001 единиц. 3. Оценим качественные характеристики по следующей схеме: а) Проверим статистическую значимость уравнения и его параметров: Для проверки значимости уравнения регрессии рассчитаем критерий Фишера. = 59,86 > F (0,05;2;33) = 3,285 a=0,05 n1 = k = 2 n2 =n-k-1=36-2-1 =33 Fрасч. > Fтабл. - значит уравнение регрессии статистически значимо, т.е. адекватно. Проверка значимости параметров уравнения осуществляется по крит. Стьюдента: Расчетные значения критерия Стьюдента для всех параметров возьмем из таллицы: t (a0) = 21,03 > 2,03 t (a1) = 9,47 > 2,03 t (a ; n-m-1) = t (0,05;33) = 2,03 t (a2) = -3,86 > 2,03 ВЫВОД: Все коэффициенты регрессии статистически значимы, т.е. значимо отличаются от нуля с ошибкой в 5%. Интервальные оценки параметров: а0 = (19,13 : 23,22) - параметр значим. а1 = (0,7 : 1,09) - параметр значим. а2 = (-0,0002 : -0,0001) - параметр значим. б) Проверим выполнение предпосылок МНК: 1) Равенство нулю математического ожидания: = 0,57 = 0,1 < t (0,05;35) = 2,03 ВЫВОД: Математическое ожидание стремитсям к нулю, свойство выполнено. 2) Случайность значений остатков (критерий поворотных точек или крит. пиков): m = 19 - число поворотных точек '=' [ 17,7 ] = 17 m > 17 условие выполняется, значит колебания остаточной компоненты являются случайными. ВЫВОД: Свойство выполнено. График остатков 3) Отсутствие автокорреляции в ряду остатков или независимость значений остатков (критерий Дарбина-Уотсона): = 1,13 Критические границы: d1 = 1,29 d2 = 1,45 d расч. < d1 - остатки содержат автокорреляцию. ВЫВОД: Свойство не выполнено. 4) Нормальный закон распределения остатков (R/S критерий): Расчитаем среднеквадратическое отклонение: = 0,57 Критические границы: (3,58 : 5,04) = 4,27 3,58 < 4,27 < 5,04 - расчитанное значение R/S-критерия попадает в границы. ВЫВОД: Свойство выполнено, остатки подчиняются нормальному закону распределения. 5) Гомоскедостичность остатков: Ранжируем ряд в порядке возрастания фактора X1: Y X1 X2 Y X1 X2 30,472715 10,1 284 29,0297238 8,8 2948 30,8057 10 -214 28,6856318 9 -2920 31,0642667 10,7 452 29,0819261 9 2614 31,1735864 10,7 435 28,5292619 9,2 2328 31,2548842 11,1 1860 28,9892167 9,2 -734 31,40493 11,1 3072 29,2192857 9,2 384 31,5149864 12 1352 28,5146737 9,4 7052 31,5543087 10,3 -285 29,2220818 9,5 92 31,626655 10,5 1033 29,0703 9,5 6380 31,6933261 12,4 1292 28,591185 9,6 12256 31,8107429 12,8 1148 27,9040273 9,6 10096 31,83684 12 1438 30,5986333 9,8 -1702 31,816165 12,1 -412 30,8057 10 -214 31,6989789 11,9 1481 28,838795 10 8769 31,45329 11,2 3787 30,472715 10,1 284 31,2117864 10,9 2464 31,5543087 10,3 -285 30,907055 10,8 4322 30,164713 10,4 -679 30,4686263 11 5035 ранжируем 29,807965 10,4 2855 30,360287 11,1 -452 31,626655 10,5 1033 30,3490273 10,6 24 30,3490273 10,6 24 30,5986333 9,8 -1702 31,0642667 10,7 452 30,164713 10,4 -679 31,1735864 10,7 435 29,807965 10,4 2855 30,907055 10,8 4322 29,4337 11 3241 31,2117864 10,9 2464 28,838795 10 8769 30,4686263 11 5035 28,5146737 9,4 7052 29,4337 11 3241 28,5292619 9,2 2328 31,2548842 11,1 1860 28,6856318 9 -2920 31,40493 11,1 3072 28,9892167 9,2 -734 30,360287 11,1 -452 29,0297238 8,8 2948 31,45329 11,2 3787 29,0819261 9 2614 31,6989789 11,9 1481 29,2192857 9,2 384 31,5149864 12 1352 29,2220818 9,5 92 31,83684 12 1438 29,0703 9,5 6380 31,816165 12,1 -412 28,591185 9,6 12256 31,6933261 12,4 1292 27,9040273 9,6 10096 31,8107429 12,8 1148 Ранжированный ряд делим на две группы и находим для каждой уравнение регрессии: Первая группа Y X1 X2 29,0297238 8,8 2948 28,6856318 9 -2920 29,0819261 9 2614 28,5292619 9,2 2328 28,9892167 9,2 -734 29,2192857 9,2 384 28,5146737 9,4 7052 29,2220818 9,5 92 29,0703 9,5 6380 28,591185 9,6 12256 27,9040273 9,6 10096 30,5986333 9,8 -1702 30,8057 10 -214 28,838795 10 8769 30,472715 10,1 284 31,5543087 10,3 -285 30,164713 10,4 -679 29,807965 10,4 2855 ВЫВОД ИТОГОВ Регрессионная статистика Множественный R 0,858 R-квадрат 0,735 Нормированный R-квадрат 0,700 Стандартная ошибка 0,528 Наблюдения 18 Дисперсионный анализ df SS MS F Регрессия 2 11,62 5,81 20,85 Остаток 15 4,18 0,28 Итого 17 15,79 Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика Нижние 95,0% Верхние 95,0% Y-пересечение 18,0795 2,4594 7,3511 12,8374 23,3216 X1 1,2129 0,2552 4,7520 0,6689 1,7570 X2 -0,0001 0,0000 -4,2681 -0,0002 -0,0001 Получаем первое уравнение регрессии: Yрасч.(X) = 18,08 + 1,21*x1 - 0,0001*x2 Определим для него остаточную сумму квадратов отклонений: S1 yрасч. = 4,18 Вторая группа Y X1 X2 31,626655 10,5 1033 30,3490273 10,6 24 31,0642667 10,7 452 31,1735864 10,7 435 30,907055 10,8 4322 31,2117864 10,9 2464 30,4686263 11 5035 29,4337 11 3241 31,2548842 11,1 1860 31,40493 11,1 3072 30,360287 11,1 -452 31,45329 11,2 3787 31,6989789 11,9 1481 31,5149864 12 1352 31,83684 12 1438 31,816165 12,1 -412 31,6933261 12,4 1292 31,8107429 12,8 1148 ВЫВОД ИТОГОВ Регрессионная статистика Множественный R 0,577 R-квадрат 0,333 Нормированный R-квадрат 0,244 Стандартная ошибка 0,567 Наблюдения 18 Дисперсионный анализ df SS MS F Регрессия 2 2,399 1,200 3,737 Остаток 15 4,816 0,321 Итого 17 7,215 Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика Нижние 95,0% Верхние 95,0% Y-пересечение 25,4945 2,3486 10,8554 20,4887 30,5004 X1 0,5096 0,2040 2,4976 0,0747 0,9444 X2 -0,0001 0,0001 -0,6220 -0,0002 0,0001 Получаем второе уравнение регрессии: Yрасч.(X) = 25,5 + 0,51*x1 - 0,0001*x2 Определим для него остаточную сумму квадратов отклонений: S2 yрасч. = 4,82 Вычислим расчетный критерий Фишера: F расч. = 1,152 < F (0,05;16;16) = 2,333 ВЫВОД: Т.к. расчетный критерий Фишера меньше табличного, значит гетероскидостичность отсутствует, остатки имеют постоянную дисперсию. Свойство выполнено. ВЫВОД: Т.к. рядом остатков выполняются почти все свойства, модель можно считать вполне адекватной. в) Оценим точность модели: Расчитаем среднеквадратическое отклонение: = 0,580 (из регрессионной статистики) Расчитаем среднюю относительную ошибку апроксимации: = 1,53 % < 7% ВЫВОД: Модель точная. г) Расчитаем коэффициент детерминации: = 0,782 = 78,2% ВЫВОД: 78,2% изменения курса доллара происходит под влиянием факторов, включенных в модель. 4. Прогнозирование на 3 месяца вперед: Yпрогн. = 21,18 + 0,89*x1(прогн.) - 0,0001*x2(прогн.) k x1(прогн) k x2(прогн) 1 9,59 1 10376,3 = -0,01 2 9,57 2 10656,7 = 280,3 3 9,56 3 10937,0 Расчитаем прогнозное значение результата Y: Yпрогн.(37) = 21,18 + 0,89*9,59 - 0,0001*10376,3 = 28,54 Yпрогн.(38) = 21,18 + 0,89*9,57 - 0,0001*10656,7 = 28,50 Yпрогн.(39) = 21,18 + 0,89*9,59 - 0,0001*10376,3 = 28,45 В результате получим курс доллара на 3 месяца: Месяц Данные расчетн. фактич. январь 28,54 28,01 февраль 28,50 28,00 март 28,45 27,63 ВЫВОД: Как видно из таблицы прогнозные значения курса доллара, расчитанные по формуле, превышают значения фактических данных, но тенденция курса доллара к снижению сохраняется.