Движение в центральном симметричном поле На тему «Движение в центральном симметричном поле» Студента I –го курса гр. 107 Шлыковича Сергея Минск 2001 Немного теории. Центральным называют такое силовое поле, в котором потенциальная энергия частицы является функцией только от расстояния r до определенной точки - центра поля: U= U( r). Сила, действующая на частицу в таком поле, тоже зависит лишь от расстояния r и направлена в каждой точке пространства вдоль радиуса, проведенного в эту точку из центра поля. Хотя частица, движущаяся в таком поле, и не представ­ляет собой замкнутую систему, тем не менее для нее выпол­няется закон сохранения момента импульса, если опреде­лять момент по отношению к центру поля. Действительно, поскольку направление действующей на частицу силы про­ходит через центр поля, то равно нулю плечо силы относи­тельно этой точки, а потому равен нулю и момент силы. Согласно уравнению отсюда следует, что L = const . (где L – вектор момента импульса, а K момент силы K = [rF ]. Уравнение получается из уравнения L = [rp ]. Определим производную по времени от момента импуль­са частицы. Согласно правилу дифференцирования произ­ведения имеем Так как - есть скорость v частицы, а p = mv , то первый член есть m [vv ] и равен нулю, поскольку равно нулю век­торное произведение любого вектора самого на себя. Во втором члене производная - есть, как мы знаем, действую­щая на частицу сила F . Таким образом, .) Поскольку момент L = m [rv ] перпендикулярен направ­лению радиуса-вектора r , то из постоянства направления L следует, что при движении частицы ее радиус-вектор дол­жен оставаться все время в одной плоскости - плоскости, перпендикулярной направлению L . Таким образом, в цент­ральном поле частицы движутся по плоским орбитам - орбитам, лежащим в плоскостях, проходящих через центр поля. Данное уравнение можно записать в виде: где ds - вектор перемещения материальной точки за время dt. Величина векторного прои зв едешь двух векторов гео­метрически представляет собой лощадь построенного на них параллелограмма. Площадь же парал­лелограмма, построенного на векторах ds и r , есть удвоен­ная площадь бесконечно узкого сектора OAA’ , описанного радиусом-вектором дви жущейся точки за вре­мя dt . Обозначив эту площадь через dS, мож­но записать величи ну момента в виде Величина называет ся секториальной ско­ ростью. Задача о движении в центральном поле в особенности важна потому, что к ней своди тся задача об относительном движении двух взаимодействующих друг с другом матери­альных точек - так называемая задача двух тел. Если рассмотреть это движение в системе центра инерции обе­их частиц. В этой системе отсчета суммарный импульс час­тиц равен нулю: m1 v 1 + m2 v 2 =0, где v 1 ,v 2 - скорости части ц. Введем также относи тельную скорость частиц v = v 1 -v 2 . Из этих двух равенств получаются следующие формулы формулы вы ражающие скорости каждой из частиц через их относи­те льную скоро сть. Подставив эти формулы в выражение полной энергии частиц получим где U( r) - взаимная потенциальная энергия частиц как функция их относительного расстояния r . После простого приведения членов получим , где m обозначает вели­ чину называемую приведенной массой частиц. Мы видим, что энергия относительного движения двух частиц такая же, как если бы одна частица с массой m дви галась со скоростью в центральном внешнем поле с потенциальной энергией U( r) . Другими словами, задача о движении двух частиц сводится к задаче о движении од­ной «приведенной» частицы во внешнем поле. Постановка задачи. Рассмотрим энергию материальной точки в центральном поле сил. , представим (скорость) в полярных координатах Рассмотрим треугольник ABD: ds~AB, следовательно , откуда получаем Выразим (*) Осталось выразить характер траектории (**) Подставим выражение (*) в (**) Проинтегрируем Эта формула представляет собой траекторию движения частицы в центральном симметричном поле. Рассмотрим уравнение движения для случая кулоновского поля. , где Попробуем найти этот интеграл предварительно сделав замену Сделаем замену , тогда Далее применим формулу В итоге получаем , где ; Это уравнение конического сечения с фокусом в центре поля. При e >1 – гипербола; e =1 – парабола; 0< e <1 – эллипс; e =0 – окружность; Литература : 1. Л. Д. Ландау, А. И. Ахиезер, Е. М. Лифшиц «Курс общей физики. Механика и молекулярная физика» Москва 1965 г. 2. Конспект по механике за первый триместр. Лектор Гурачевский В. Л.