Иррациональные уравнения и неравенства Колегаева Елена Михайловна, доцент кафедры математических методов и информационных технологий ДВАГС I. Преобразование иррациональных выражений. Иррациональным называется выражение, содержащее корни n-ой степени. 1) Одно из типичных преобразований иррациональных выражений – избавление от иррациональности в знаменателе. а) Если в знаменателе стоит выражение вида , то необходимо числитель и знаменатель умножить на сопряженное к нему выражение . В этом случае применяется формула . б) Если в знаменателе стоит выражение (или ), то числитель и знаменатель умножается, соответственно, на (или ). В этом случае применяются формулы , . Пример 1. Избавиться от иррациональности в знаменателе: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) . Решение: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) . Отметим еще одно свойство: которое часто применяется в преобразованиях. Пример 2. Упростить выражение: а) ; б) ; в) . Решение: а) , т.к. . б) , т.к. . в) . Выясним, при каких n выражения под знаком модуля меняют знак: n=-1, n=1, n=0. 1) Если n<-1, то 2) Если -1£n<0, то 3) Если 0<n<1, то 4) Если n³1, то Ответ: II. Иррациональные уравнения. Рассмотрим уравнение вида . Основной метод решения – возведение обеих частей уравнения в степень n. При этом, если n – четное, то могут возникнуть посторонние корни. Поэтому в уравнениях необходимо делать проверку. Если уравнение содержит два и больше корней, то один из корней «уединяется», то есть уравнение приводится к виду . Еще один способ решения – введение вспомогательной переменной. Пример 3. Решить уравнения: а) ; б) ; в) ; г) . Решение: а) Û ; Проверка. Þ х=-4 – посторонний корень, – верно Þ х=2 – корень. Ответ: х=2. б) Проверка. – это выражение не существует, т.е. – посторонний корень, – верно Þ – корень. Ответ: . в) Введем вспомогательную переменную Þ x2=t2–13 t2-13-2t=22; t2-2t-35=0, t1=7; t2=-5. Сделаем обратную замену: Û х2+13=49 Û х2=36 Þ х=±6, – не имеет решений. Ответ: х=±6. г) Сделаем замену переменной. Положим . Тогда уравнение примет вид: Û Û Þ Û Û Û. Проверка показывает, что – корень. Ответ: . III. Решение иррациональных неравенств. При решении этих неравенств следует помнить, что в четную степень можно возводить неравенства с неотрицательными членами. Поэтому неравенство эквивалентно системам или Неравенство равносильно системе Пример 4. Решить неравенства: а) б) в) г) Решение. а) Û Û Решим третье неравенство системы методом интервалов: x2-5x-14>0 x2-5x-14=0 (x-7)(x+2)>0 Найдем пересечение решений трех неравенств: Ответ: -18£x<-2. б) если х-1£0, то неравенство верно, то есть х£1; если x-1>0 и так как x2+1>0, возводим обе части в квадрат. Имеем: Û Û x>1. Объединяем два решения, получим х – любое. Ответ: х – любое. в) Û Û Û Û Û Ответ: х³1. г) или Û х³3 Ответ: . Задачи для самостоятельного решения Уважаемые ребята, ниже приводятся задания для самостоятельного решения, которые следует выполнить, оформить отдельно от заданий по другим предметам и выслать в адрес Хабаровской краевой заочной физико-математической школы. Наш адрес: 680000, г. Хабаровск, ул. Дзержинского, 48, ХКЦТТ ( ХКЗФМШ). М11.9.1. Упростить: 1) 2) 3) 4) , если , m>0, 0<n<1. М11.9.2. Решить уравнения ; ; ; . М11.9.3. Решить неравенства: ; ; ; .