Шпаргалка для экзамена по геометрии и алгебре Т. Сумма смежных углов = 180° Т. Вертикальные углы равны (общая вершина,стороны одного сост.продолжение сторон друг.) Две прямые наз-ся параллельн. , если они лежат в 1-й плоскости и не пересекаются. Акс. (осн.св-во паралл.прямых) Через точку, не леж. на данной прямой можно провести на плоскости только 1 прямую, параллельную данной. Сл. : 1. Если прямая пересекает 1 из паралл. Прямых, то перес-ет и другую. 2. Если две прямые | | 3-ей, то | | друг другу. Признаки параллельности прямых. Е А В В А А В С Д Д Д С С ÐВАС ÐДСА внутр. одностор. (1рис) ÐВАС ÐДСА внутр. накрест лежащ. (2) ÐЕАВ ÐАСД соответств. (3) Т 1. Если при пересеч. 2-х прямых на плоскости внутр.накрест лежащ. Ð =, то прямые параллельны. Т 2. Если при пересеч 2-х прямх секущей соответственные углы равны,-прямые| |. Док-во Пусть (а) и (b) обр-т к секущей АВ равные соотв. Ð1=Ð2 Но Ð1=Ð3 (вертикальные)-Ð3=Ð2.Но Ð2 и Ð3-накрестлежщие.-По Т 1 a | | b- Т3. Если при пересеч. 2-х прямых секущей на плоскости, сумма внутр. одност. Ð=180°, то прямые | |- Для ТТ 1-3 есть обратыные. Т4. Если 2 паралл.прямые пересечны 3-й прямой, то внутр.накрестлеащие Ð=, со- ответств.Ð=, сумма внутр.одностÐ=180°. Перпедикулярные пр-е пересек-ся Ð90°. 1.Через кажд.тчку прямой можно провести ^ ей прямую, и только 1. 2. Из любой тчки (Ï данной прямой) можно опустить перпендикуляр^ на данную прямцю и только 1. 3. две прямые ^ 3-й параллельны. 4. Если прямая ^ 1-й из | | прямых, то она ^ и другой. Многоугольник ( n -угольник) Т. Любой правильный выпуклый мн-к можно вписать в окружность и описать около окружности. (R- опис., r- впис.) R = a / 2sin(180°/n); r = a / 2 tg (180°) Треугольник NB! 1. Все 3 высоты каждогоÑ пересек. в 1 тчке (ортоцентр). 2. Все 3 медианы пересек. в 1 тчке (центр тяжести) - делит кажд. Медиану в отн 2:1 (счит. От вершины). 3. Все 3 биссектр. Ñ пересек. в 1 тчке - центр впис. Круга. 4. Все 3 ^, восстановленные из середин сторон Ñ, пересе. в 1 тчке - центр опис. круга. 5. Средняя линия | | и = ½ основания H(опущ. на стор. a) = 2 √ p(p-a)(p-b)(p-c) a M(опущ на стор a) = ½ √ 2b2+2c2 -a2 B (-‘’-)= 2√ bcp(p-a) / b+c p - полупериметр a²=b²+c²-2bx, х-проекция 1-й из сторон Признаки равенства Ñ : 2Ñ=, если = сотв. 1. 2 стороны и Ð между ними. 2. 2 Ð и сторона между ними. 3. 2 Ð и сторона, противолеж. 1-му из Ð 4. три стороны 5. 2 стороны и Ð , лежащий против большей из них. Прямоугольный Ñ C =90 ° a²+b²=c² NB! TgA= a/b; tgB =b/a; sinA=cosB=a/c; sinB=cosA=b/c Равносторонний Ñ H= √3 * a/2 S Ñ= ½ h a =½ a b sin C Параллелограмм d²+d`²=2a²+ 2b² S =h a=a b sinA(между а и b) = ½ d d` sinB (между d d`) Трапеция S= (a+b) h/2 =½uvsinZ= Mh Ромб S =a h =a²sinA= ½ d d` Окружность L= pRn° / 180°,n°-центрÐ Т. Впис.Ð= ½ L , L-дуга,на ктрую опирÐ S(cектора)= ½ R²a= pR²n° / 360° Векторы.. Скалярное произведение `а`b=|`a| |`b| cos (`a Ù`b), |`a| |`b| - длина векторов Скалярное произведение |`a|{x`; y`} и |`b|{x``; y``}, заданных своими коорди-натами, = |`a| |`b| = x` × y` + x`` × y`` Преобразование фигур 1. Центр. Симметрия 2. Осевая симметрия (^) 3. Симм. Отн-но плоскости (^) 4. Гомотетия (точки Х О Х`` лежат на 1 прямой и расст. ОХ``=k OX, k>0 - это гомотетия отн-но О с коэфф. К . 5. Движение (сохр расст. Между точками фигуры) 6. Поворот 7. Вращение - вокруг оси - преобр. Пространства, когда: - все точки оси переходят сами в себя - любая точка АÏ оси р А-А` так, что А и А` Î a, a^р, ÐАОА` = j= const, О- точка пересеч. a и р. Результвт 2-х движений= композиции. 8. Паралeн.перенос (x,y,z)-(x+a,y=b,x=c) 9. Преобразование подобюием - расст. Между тчками измен-ся в k раз К=1 - движение. Св-ва подобия. 1. АВСÎ(а); A`B`C` Î(a`) 2. (p) - (p`); [p)-[p`); a-a`; ÐA-ÐA` 3. Не всякое подобие- гомотетия NB! S` = k² S``; V ` = k 3 V `` Плоскости. Т. Если прямая, Ï к.-л. плоскости a , | | к.-л. прямой, Î a, то она | | a Т. (а) | | (b), через (а)и (b) провести плоскость, то линия их пересеч.| | (а)и (b) T . (Признак парал. 2-х плоск.).Если 2 пересек. прямые 1-й a | | двум пересек. прямым другой b, то a | | b. Т. Если 2 парал. Плоск-ти пересеч. 3-й, то линии пересечения | |. Т. Через тчку вне плоскости можно провести плоск-ть | | данной и только 1. Т. Отрезки парал. Прямых, заключенные между 2-мя плоскостями, =. Т. Признак ^ прямой и пл-сти. Если прямая, перек-ая плос-ть, ^каждой из 2-х перек-ся прямых, то прямая и пл-сть ^. Т. 2 ^ к пл-сти | |. Т. Если 1 из 2-х паралл. прямых ^, то и другая ^ плоскости. Т. Признак ^ 2-х плос-тей. Если пл-сть проходит через ^ к др. п-сти, то он ^ этой л-сти. Дано [a)^ b,[a) Îa,a Èb= (p).Д-ть: a ^ b Док-во. [a)^ b=·М. Проведем (b) через М, (b)^(p). (a)Ù(b) - линейный Ð двугранного угла между a и b. Так как [a)^ b-(a)^(b)- (a)Ù(b)=90°-a ^ b- Т. Если 2 пл-сти взаимно ^, то прямая 1-й пл-сти ^ линии пересеч. пл-стей, ^ 2-й пл-сти. Т. О 3-х ^ .. Для того, чтобы прямая, леж-я в пл-сти,, была ^ наклонной, необх-мо и достаточно, чтобы эта прямая была ^ проекции наклонной. Многогранники Призма. V = S осн × a - прямая призма a - боковое ребро , S пс- S ^-го сечения V = S пс × а - наклонная призма V = Sбок. пов-сти призмы + 2Sосн. Если основание пр. = параллелограмм, то эта призма - параллелепипе д. V=h Sосн. ; Vпрямоуг.параллел-да = abc S=2(ab+ac+bc) Пирамида V= 1/3 * НS осн. S=S всех Ñ. Фигуры вращения Цилиндр V=pR²H; S= 2pR (R+H) Конус V= 1/3 * НS осн= 1/3 * pR²H S= Sосн+ Sбок= pR (r + L); L-образующая Сфера «оболочка» S= 4pR² Шар М= 4/3 pR3 ARCSIN a -p/2£arcsin a £p/2 sin(arcsin a)=a arcsin (-a)= -arcsin a a 0 1/2 Ö2/2 Ö3/2 1 arcsin a 0 p/6 p/4 p/3 p/2 SIN X= A x=(-1)n arcsin a +pk sin x=0 x=pk sin x=1 x=p/2+2pk sin x=-1 x=-p/2+2pk ARCCOS a 0 £arccos a £p cos(arccos a)=a arccos (-a)=p -arccos a a 0 1/2 Ö2/2 Ö3/2 1 arccos a p/2 p/3 p/4 p/6 0 COS X= A x=± arccos a +2pk cos x=0 x=p/2+pk cos x=1 x=2pk cos x=-1 x=p+2pk ARCTG a -p/2£arctg a £p/2 tg(arctg a)=a arctg (-a)= -arctg a a 0 Ö3/3 1 Ö3 tg a 0 p/6 p/4 p/3 TG X= A x=± arctg a +pk sina* cosb=1/2[sin(a-b)+sin(a+b)] sina* sinb=1/2[cos(a-b)-cos(a+b)] cosa* cosb=1/2[cos(a-b)+cos(a+b)] sina* cosb=1/2[sin(a-b)+sin(a+b)] sina* sinb=1/2[cos(a-b)-cos(a+b)] cosa* cosb=1/2[cos(a-b)+cos(a+b)] sina+sinb=2sin(a+b)/2 * cos(a-b)/2 sina-sinb=2sin(a-b)/2 * cos(a+b)/2 cosa+cosb=2cos(a+b)/2 * cos(a-b)/2 cosa-cosb=-2sin(a+b)/2 * sin(a-b)/2 (a+b)2 =a2 +2ab+b2 (a-b)2 =a2 +2ab+b2 (a+b+c)2 =a2 +b2 +c2 +2ab+2ac+2bc a2 -b2 =(a-b)(a+b) (a+b)3 =a3 +3a2 b+3ab2 +b3 (a-b)3 =a3 -3a2 b+3ab2 -b3 a3 +b3 =(a+b)(a2 -ab+b2 ) a3 -b3 =(a-b)(a2 +ab+ b2 ) 0 p/6 p/4 p/3 p/2 p 2/3p 3/4p 5/6p 3/2p 0 30° 45° 60° 90° 180 120° 135° 150° 270° sin 0 1/2 Ö2/2 Ö3/2 1 0 Ö3/2 Ö2/2 1/2 -1 cos 1 Ö3/2 Ö2/2 1/2 0 -1 -1/2 -Ö2/2 -Ö3/2 0 tg 0 1/Ö3 1 Ö3 - 0 -Ö3 -1 -1/Ö3 - ctg - Ö3 1 1/Ö3 0 - -1/Ö3 -1 -Ö3 0 sin2 +cos2 =1 sin=±Ö1-cos2 sin(-a)=-sina tg(-a)=-tga tg•ctg=1 cos=±Ö1-sin2 cos(-a)=cosa ctg(-g)=-ctga tg=1/ctg ctg=1/tg 1+tg2 =1/cos2 =sec2 sin2 =(1-cos)(1+cos) 1+ctg2 =1/sin2 =cosec2 sin2a=2sina•cosa cos2 =(1-sin)(1+sin) 1-tg2 /(1+tg2 )=cos4 -sin4 cos2a=cos2 a-sin2 a cos/(1-sin)=1+sin/cos 1/(tg+ctg)=sin•cos tg2a=2tga/1-tga cos(a+b)=cosa•cosb-sina•sinb sin3a=3sina-4sin3 a cos(a-b)=cosa•cosb+sina•sinb cos3a=4cos3 a-3cosa sin(a+b)=sina•cosb+cosa•sinb tg(a+b)=tga+tgb sin(a-b)=sina•cosb-cosa•sinb 1-tga•tgb 2cos2 a/2=1+cosa 2sin2 a/2=1-cosa 0 p/6 p/4 p/3 p/2 p 2/3p 3/4p 5/6p 3/2p 0 30° 45° 60° 90° 180 120° 135° 150° 270° sin 0 1/2 Ö2/2 Ö3/2 1 0 Ö3/2 Ö2/2 1/2 -1 2cos2 a/2=1+cosa 2sin2 a/2=1-cosa cos 1 Ö3/2 Ö2/2 1/2 0 -1 -1/2 -Ö2/2 -Ö3/2 0 tg 0 1/Ö3 1 Ö3 - 0 -Ö3 -1 -1/Ö3 - ctg - Ö3 1 1/Ö3 0 - -1/Ö3 -1 -Ö3 0 sin2 +cos2 =1 sin=±Ö1-cos2 sin(-a)=-sina tg(-a)=-tga tg•ctg=1 cos=±Ö1-sin2 cos(-a)=cosa ctg(-g)=-ctga tg=1/ctg ctg=1/tg 1+tg2 =1/cos2 =sec2 sin2 =(1-cos)(1+cos) 1+ctg2 =1/sin2 =cosec2 sin2a=2sina•cosa cos2 =(1-sin)(1+sin) 1-tg2 /(1+tg2 )=cos4 -sin4 cos2a=cos2 a-sin2 a cos/(1-sin)=1+sin/cos 1/(tg+ctg)=sin•cos tg2a=2tga/1-tga cos(a+b)=cosa•cosb-sina•sinb sin3a=3sina-4sin3 a cos(a-b)=cosa•cosb+sina•sinb cos3a=4cos3 a-3cosa sin(a+b)=sina•cosb+cosa•sinb tg(a+b)=tga+tgb sin(a-b)=sina•cosb-cosa•sinb 1-tga•tgb sin(2p-a)=-sina sin(3p/2-a)=-cosa cos(2p-a)=cosa cos(3p/2-a)=-sina tg(2p-a)=-tga tg(3p/2-a)=ctga sin(p-a)=sina ctg(3p/2-a)=tga cos(p-a)=-cosa sin(3p/2+a)=-cosa sin(p+a)=-sina cos(3p/2+a)=sina cos(p+a)=-cosa tg(p/2+a)=-ctga sin(p/2-a)=cosa ctg(p/2+a)=-tga cos(p/2-a)=sina sina+sinb=2sin(a+b)/2cos(a-b)[Ñ.Ê.Â.1] /2 tg(p/2-a)=ctga sina-sinb=2sin(a-b)/2*cos(a+b)[Ñ.Ê.Â.2] /2 ctg(p/2-a)=tga cosa+cosb=2cos(a+b)/2cos(a-b)/2 sin(p/2+a)=cosa cosa-cosb=-2sin(a+b)/2sin(a-b)/2 cos(p/2+a)=-sina Y = S I N x 1).ООФ D(y)=R 2).ОДЗ E(y)=[-1;1] 3).Периодическая с периодом 2p 4).Нечётная; sin (-x)=-sin x 5).Возрастает на отрезках [-p/2+2pk;p/2+2pk], kÎZ Убывает на отрезках [p/2+2pk;3p/2+2pk], kÎZ 6).Наибольшее значение=1 при х=p/2+2pk, kÎZ Наименьшее значение=-1 при х=-p/2+2pk, kÎZ 7).Ноли функции х=pk, kÎZ 8).MAX значение=1 х=p/2+2pk, kÎZ MIN значение=-1 х=-p/2+p+2pk, kÎZ 9).x>0 на отрезках [2pk;p+2pk], kÎZ x<0 на отрезках [p+2pk;2p+2pk], kÎZ Y = C O S x 1).ООФ D(y)=R 2).ОДЗ E(y)=[-1;1] 3).Периодическая с периодом 2p 4).Чётная; cos (-x)=cos x 5).Возрастает на отрезках [-p+2pk;2pk], kÎZ Убывает на отрезках [2pk;p+2pk], kÎZ 6).Наибольшее значение=1 при х=2pk, kÎZ Наименьшее значение=-1 при х=p=2pk, kÎZ 7).Ноли функции х=p/2+pk, kÎZ 8).MAX значение=1 х=2pk, kÎZ MIN значение=-1 х=p+2pk, kÎZ 9).x>0 на отрезках [-p/2+2pk;p/2+2pk], kÎZ x<0 на отрезках [-p/2+2pk;p/2+2pk], kÎZ Y = T G x 1).ООФ D(y)-все, кроме х=p/2+pk kÎZ 2).ОДЗ E(y)=R 3).Периодическая с периодом p 4).Нечётная; tg (-x)=-tg x 5).Возрастает на отрезках (-p/2+pk;p/2+pk), kÎZ 6). Ноли функции х=pk, kÎZ 7). x>0 на отрезках (pk;p/2+pk), kÎZ x<0 на отрезках (-p/2+pk;pk), kÎZ [Ñ.Ê.Â.1] [Ñ.Ê.Â.2]