Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 50
КОМИТЕТ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. КАЛИНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. §1. Пространство R(p1
,p2
). А1
- аффинная прямая. Отнесем прямую А1
к подвижному реперу r ={a,`e}, где аи`eсоответственно точка и вектор. Деривационные формулы репера r имеют вид: d a= q`e , d`e= W`e (1), причем формы Пфаффа q и Wподчиняются уравнениям структуры 1-мерного аффинного пространства : D q = qÙW , DW=WÙW=0. Пусть e* - относительная длина вектора e* =`e + d`e + 1/2d2
`e + 1/6d3
`e +... по отношению к вектору `е. Тогда `e*=e*`e. Из (1) получаем :e* =1+W+... Таким образом, форма Пфаффа W является дифференциалом относительной длины вектора `e*, близкого к `e , по отношению к `e. Пусть R(p1
,p2
) – пространство всех пар (p1
,p2
)точек p1
,p2
прямой А1
.
Поместим начало а репера rв середину Qотрезка р1
р2
, а конец вектора `е – в точку р1
; при этом р2
совместится с концом вектора -`е. Условия стационарности точек р1
и р2
в таком репере имеют соответственно вид: W+q=0, -W+q=0. Таким образом , в репере r структурными формами пространства R(р1
,р2
) являются формы Пфаффа : W+q , -W+q. Очевидно, что dim R(p1
,p2
)
=2. Заметим ,что в репере rформа 2W
является дифференциалом относительной длины отрезка р1
*р2
*
, близкого к р1
р2
,по отношению к р1
р2
. § 2. Отображение f. А2
– аффинная плоскость , отнесенная к подвижному реперу R
={p,
`
ej
}. Деривационные формулы репера R
и уравнения структуры плоскости А2
имеют соответственно вид :dp
=Wj
ej
; d
`
ej
=Wj
k
; DWj
=Wk
^Wk
j
; DWj
=Wj
y
^Wy
k
. Рассмотрим локальное дифференцируемое отображение fплоскости А2
в пространстве R(p1
,p2
):f:A2
®
R(p1
,p2
).
Будем считать , что в каждой точке области определения отображения f выполняется : rang f
=2 (1) Поместим начало Р
репера R
в точку f-1
(p1
,p2
)
. Тогда дифференциальные уравнения отображения f
запишутся в виде : Q
+W=
l
j
Wj
; Q-W=
m
j
Wj
(2) Из (1)
вытекает , что существует локальное дифференцируемое отображение f-1
: R(p1
,p2
)
®
A2
обратное к f
.В указанных реперах дифференциальные уравнения отображения f-1
имеют вид : Wj
=
l
j
(Q+W)+
m
j
(Q-W)
(3) Из (2)
и (3)
получаем : l
k
l
j
+
m
k
m
j
=
d
j
k
l
j
l
j
=1
m
j
m
j
=1 (*)
l
j
m
j
=0
m
j
l
j
=0
Указанную пару {r;R
} реперов пространств А1
и А2
будем называть репером нулевого порядка отображения f
. §3.Фундаментальные геометрические объекты отображения f
. Осуществим продолжение системы (2)
дифференциального уравнений отображения f. D(λj
Wj
-W-Q)=0
, получаем : dλj
=λk
Wj
k
+1\4(λj
μk
-λk
μj
)Wk
+λjk
Wk
D(μj
Wj
+W-Q)=0
получаем : dμj
=μk
Wj
k
+1\4(λj
μk
-λk
μj
)Wk
+μjk
Wk
Итак, продолженная система дифференциальных уравнений отображения f имеет вид : Q+W=λj
Wj
Q-W=μj
Wj
dλj
=λk
Wj
k
+1\4(λj
μk
-λk
μj
)Wk
+λjk
Wk
dμj
=μk
Wj
k
+1\4(λj
μk
-λk
μj
)Wk
+μjk
Wj
Из этих уравнений вытекает, что система величин Г1
=
{λj
,μj
}
является геометрическим объектом.Он называется фундаментальным геометрическим объектом первого порядка отображения f. Осуществим второе продолжение системы (2)
: dλk
^Wj
k
+λk
dWj
k
+1\4(λjμk
-λk
μj
)^Wk
+1\4(λj
μk
-λk
μj
)dWk
+dλjk
^Wk
+λjk
dWk
=0
. получим: (dλjt
-λkt
Wj
k
-λjk
Wt
k
+1\4(λk
μjt
-μk
λjk
)Wk
+1\16λt
μk
(λj
-μj
)Wk
)^Wt
=0
dμk
^Wj
k
+μk
dWj
k
+1\4d(λj
μk
-λk
μj
)^Wk
+1\4(λj
μk
-λk
μj
)dWk
+dμjk
^Wk
+μjk
dWk
=0
получим: (dμjt
-μkt
Wj
k
-μjt
Wt
k
+1\4(λk
μjt
-μk
λjt
)Wk
+1\16λt
μk
(λj
-μj
)Wk
)^Wt
=0
обозначим: Тогда дважды продолженная система дифференциальных уравнений отображения fпримет вид: Q+W=λj
Wj
Q-W=μj
Wj
dλj
=λk
Wj
k
+1\4(λj
μk
-λk
μj
)Wk
+λjk
Wk
dμj
=μk
Wj
k
+1\4(λj
μk
-λk
μj
)Wk
+μjk
Wk
(4)
Из уравнений (4)
вытекает, что система величин Г2
=
{λj
,μj
,λjk
,μjk
}
образует геометрический объект. Он называется фундаментальным геометрическим объектом второго порядка отображения f. Дальнейшее продолжение системы (2)
приведет к фундаментальному геометрическому объекту ГР
порядка р
: ГР
=
{λj
,μj
,λj1j2
,μj1j2
,...,λj1j2...jp
,μj1j2...jp
}.
§ 4. Векторы и ковекторы первого порядка. Из системы дифференциальных уравнений (5)
вытекает, что система величин {λj
},{μj
}
образует подобъекты геометрического объекта Г1
. Будем называть их основными ковекторами 1-го порядка. Основные ковекторы определяют для каждой точки P две инвариантные прямые: λj
Xj
=1 ; μj
Xj
=1
(6) не инцидентные точке Р
. Из условия rang f=2
и уравнения (2)
вытекает, что прямые (6)
не параллельны. Условия (*)
показывают, что величины {λj
,μj
}
являются компонентами матрицы ,обратной к матрице, составленной из координат основных ковекторов. Таким образом , величины {λj
,μj
}
охватываются объектом Г1
. Из (*)
получаем: dλj
=-λk
Wk
j
-1\4(λj
+μj
)μt
Wt
-λkt
λk
λt
Wt
-μkt
Wt
^λk
μj
dμj
=-μk
Wk
j
-λkt
μk
λj
Wt
-μkt
μk
μj
Wt
+1\4λt
(λj
+μj
)Wt
Таким образом , система величин и образуют геометрические объекты, охваченные объектом Г1
. Будем называть их основными векторами 1-го порядка. λj
Xj
=0 , μj
Xj
= 0 (7).
Предположение 2. Основные векторы {λj
}
и {μj
}
параллельны прямым (6)
соответственно. Доказательство вытекает из формул (*)
и (7)
. Взаимное расположение рассмотренных векторов и прямых представлено на рисунке: λj
Xj
=1 V1
μj
Xj
=1 Система величин ρj
=λj
-μj
образует ковектор: dρj
=ρk
Wj
k
+(μjk
-λjk
)Wk
. Определяемая им прямая ρj
Xj
=0 (8)
проходит через точку Р
и точку пересечения прямых (6)
. Теорема 1.Прямая (8)
является касательной в точке Р
к прообразу f-1
(W)
многообразия W
при отображении f
. Доказательство: ] (p1
*
,p2
*
)
∈
W
и
p1
*
=p1
+dp1
+1\2d2
p1
+... ,
p2
*
=p2
+dp2
+1\2d2
p2
+...
. Из (2)
получим: W=ρ1
Wj
Следовательно, (р1
*
р2
*
)
∈
W
равносильно ρ
j
Wj
=0
(9)
Из (8)
и (9)
вытекает доказательство утверждения. В дальнейшем эту функцию будем называть относительной длиной. Т.о., линия f-1
(W)
является линией уровня функцииh
. Заметим, что (9)
является дифференциальным уравнением линииf-1
(W)
. ]W1
,W2
- одномерные многообразия вR(p1
p2
)
, содержащие элемент (р1
р2
)
и определяемые соответственно уравнениями: (p1
*
,p2
*
)
є
W1
↔p2
*
=p2
.
(p1
*
,p2
*
)
є
W2
↔p1
*
=p1
. Следующая теорема доказывается аналогично теореме 1. Теорема 2. Прямая (7)
является касательной в точке P
к прообразу многообразияW2
(многообразияW1
) при отображенииf
. Дифференциальные уравнения линииf-1
(W1
)
и f-1
(W2
)
имеют соответственно вид: λj
Wj
=0
μj
Wj
=0
. Пусть W0
- одномерное подмногообразиев R(p1
p2
)
, содержащее (р1
р2
)
и определяемое условием: (p1
*
p2
*
)
є
W0
↔Q*=Q
,где Q*
– середина отрезка р1
*
р2
*
. Следующее утверждение доказывается аналогично теореме 1. Теорема 3.Прямые, касательные в точке Р
к многообразиямf-1
(W1
), f-1
(W2
)
, f-1
(W), f-1
(W0
)
составляют гармоническую четверку. Доказательство вытекает из (7),(8),(10).
§5. Точечные отображения, индуцируемые отображением f
. Рассмотрим отображения: П1
: (р1
,р2
)
∊
R(p1
,p2
)→p1
∊
A1
(5.1)
П2
: (р1
,р2
)
∊
R(p1
,p2
)→p2
∊
A1
(5.2)
Отображение f: A2
→R(p1
,p2
)
порождает точечные отображения: φ1
=
П1
∘
f: A2
→A1
(5.3)
φ2
=
П2
∘
f: A2
→A1
(5.4)
В репере нулевого порядка дифференциальные уравнения отображений φ1
и φ2
меют соответственно вид (2.5 а)
и (2.5 б)
. Подобъекты Г1,2
=
{
λ
j
,λjk
}
и Г2,2
=
{μj
,μjk
}
объекта Г2
являются фундаментальными объектами второго порядка отображений φ1
и φ2
. В работе <4> доказано, что разложение в ряд Тейлора отображений имеет соответственно вид: x=1+λj
Xj
+1/2λjk
Xj
Xk
+1/4λy
ρk
Xj
Xk
+<3>, (5.5)
y=-1+μj
Xj
+1/2μjk
Xj
Xk
+1/4μy
ρk
Xj
Xk
+<3>, (5.6)
Введем системы величин: Λjk
=λjk
+1/4(λj
ρk
+λk
ρj
),
Μjk
=μjk
+1/4(μj
ρk
+μk
ρj
)
Тогда формулы (5.5)
и (5.6)
примут соответственно вид: x=1+λj
Xj
+1/2Λjk
Xj
Xk
+<3> (5.7)
y=-1+μj
Xj
+1/2Μjk
Xj
Xk
+<3> (5.8)
В <4> доказано, что существует репер плоскости А2
, в котором выполняется: =
μ1
μ2
0 1
Этот репер является каноническим. Таким образом, в каноническом репере Якобиева матрица отображения f
является единичной матрицей. Формулы (5.7)
и (5.8)
в каноническом репере примут вид: x=1+X1
+1/2Λjk
Xj
Xk
+<3> (5.9),
y=-1+X2
+1/2Μjk
Xj
Xk
+<3> (5.10).
§6. Инвариантная псевдориманова метрика. Рассмотрим систему величин: Gjk
=1/2(λj
μk
+λk
μj
)
Из (3.1)
получим: dGjk
=1/2(dλj
μk
+λj
μk
+dλk
μj
+λk
dμj
)=1/2(μk
λt
Wj
t
+1/4λj
μk
μt
Wt
-1\4μk
μt
λt
Wt
+μk
λjt
Wt
+λj
μt
Wk
t
+ +1/4λj
λk
μt
Wt
-1/4μj
λk
μt
Wt
-1/4μj
λt
μk
Wt
+μj
λkt
Wt
+λk
μt
Wj
t
+1/4λk
λj
μt
Wt
-1/4λk
λt
μj
Wt
+ +λk
μjt
Wt
), dGjk
=1/2(μk
λt
+λk
μt
)Wj
t
+1/2(λj
μt
+λt
μj
)Wk
t
+Gjkt
Wt
, где Gjkt
=1/2(μk
λjt
+λy
μkt
+μj
λkt
+λk
μjt
-1/2μj
μk
λt
+1/2λj
λk
μt
-1/4λj
μk
λt
+1/4λj
μk
μt
+1/4μj
λk
μt
- -1/4μj
λk
λt
) (6.3).
Таким образом, система величин {Gjk
}
образует двухвалентный тензор. Он задает в А2
инвариантную метрику G
: dS2
=Gjk
Wj
Wk
(6.4)
Из (6.1)
и (2.5)
вытекает, что метрика (6.4)
соответствует при отображении f
метрике dS2
=θ2
-W2
(6.5)
в R(p1
,p2
).
Из (6.5)
вытекает, что метрика G
является псевдоримановой метрикой. Асимптотические направления определяются уравнением Gjk
Wj
Wk
=0
или λj
Wj
μk
Wk
=0 (6.6)
Предложение
: Основные векторы V1
и V2
определяют асимптотические направления метрики G.
Б. А. Розенфельдом изучалась инвариантная метрика в пространстве нуль-пар. На проективной прямой нуль-парой является пара точек. Для двух пар точек (
x,U
)
и (
y,U’
)
расстояние между ними определяется как двойное отношение W=(xy,UU’
)
Теорема
: Метрика dS2
=θ2
-W2
совпадает с метрикой Розенфельда . Доказательство: В репере r
имеем для координат точек p1
,p2
,p1
+dp1
,p2
+dp2
Соответственно: 1,-1,1+θ+
W,-1+θ-W
. Подставляя их в формулу (4.2)
на стр. 344 (§7), получаем dS2
=θ2
-W2
Следствие
: Метрика G
сохраняется при расширении фундаментальной группы ее проективных преобразований. В работе <3> был построен охват объекта Гl
jk
=1/2Gtl
(Gtkj
+Gjtk
-Gjkt
)
Онопределяется формулой: Г
l
jk
=λj
Λjk
+μl
Μjk
-λl
λt
λk
+μl
μt
μk
. §7. Инвариантная риманова метрика. Рассмотрим систему величин: gjk
=λj
λk
+μj
μk
(7.1)
Из (3.1)
получаем: dgjk
=dλj
λk
+dλk
λj
+dμj
μk
+dμk
μj
=λk
λt
Wj
t
+1/4λk
λj
μt
Wt
-1/4λj
λt
μj
Wt
+λk
λjt
Wt
+λj
λt
Wk
t
+ +1/4λj
λk
μt
Wt
-1/4λj
λt
μk
Wt
+λj
λkt
Wt
+μk
μt
Wj
t
+1/4μk
λj
μt
Wt
-1/4μk
λt
μj
Wt
+μk
μjt
Wt
+ +μj
μt
Wk
t
+1/4μj
λk
μt
Wt
-1/4μj
λt
μk
Wt
+μj
μkt
Wt
. dgjk
=(λk
λt
+μk
μt
)Wj
t
+(λj
λt
+μj
μt
)Wk
t
+gjkt
Wt
, (7.2)
где gjkt
=1/2λj
λk
μt
-1/2μj
μk
λt
-1/4λk
λt
μj
-1/4λj
λt
μk
+1/4λj
μk
μt
+1/4μj
λk
μt
+λk
λjt
+λj
λkt
+
+μk
μjt
+μj
μkt
(7.3)
Таким образом, система величин {gjk
}
образует двухвалентный тензор. Он задает в А2
инвариантную метрику g
: dS2
=gjk
Wj
Wk
(6’
.4)
Из (7.1)
и (2.5)
вытекает, что метрика (
6’
.4)
соответствует при отображении f
метрике: dS2
=2(θ2
+W2
) (6’
.5)
в R(p1
,p2
)
Из (6’
.5)
вытекает, что метрика g
является римановой метрикой. Единичная окружность, построенная для точки Р
определяется уравнением: GjkXjXk=1 (6’
.6)
или (λj
Xj
)2
+(μj
Xj
)2
=1 (6’
.7)
Из (6’
.7)
вытекает: Предложение
7.1: Единичная окружность метрики g
с центром в точке Р
является эллипсом, касающимся в концах основных векторов прямых, параллельных этим векторам. Заметим, что сформулированное здесь свойство единичной окружности полностью определяет эту окружность, а следовательно и метрику g
. V1
Пусть gjk
=λj
λk
+μj
μk
(6.8)
В силу (2.7)
имеем: gjt
gtk
=(λj
λt
+μj
μt
)(λt
λk
+μt
μk
)=λj
λk
+μj
μk
=δk
j
(6’
.9)
Таким образом, тензор gjk
является тензором взаимных к gjk
. Как известно, метрика ставит в соответствие каждому векторному полю поле ковектора и наоборот. Предложение
7.2: Поле основного вектора {λj
}
(вектора {μj
}
)соответствует в метрике g
полю основного ковектора {λj
}
(ковектора {μj
}
). Доказательство: Основные векторы ортогональны друг другу и имеют единичную длину в метрике g
. Доказательство: λj
λk
gjk
=λj
λk
λj
λk
+λj
λk
μj
μk
=1
, μj
μk
gjk
=μj
|