Уравнения с параметрами ПЛАН Введение Глава 1. §1. Теоретические основы решения уравнений с параметрами. §2. Основные виды уравнений с параметрами. Глава 2. §1. Разработка факультативных занятий по теме. Заключение. ВВЕДЕНИЕ Главной целью факультативных занятий по математике являются расширение и углубление знаний, развитие интереса учащихся к предмету, развитие их математических способностей. Процесс обучения строится как совместная исследовательская деятельность учащихся. Большую роль в развитии математического мышления учащихся на факультативных занятиях играет изучение темы "Уравнения с параметрами". Вместе с тем изучение этой темы в школьной программе не уделено достаточного внимания. Интерес к теме объясняется тем, что уравнения с параметрами предлагаются как на школьных выпускных экзаменах, так и на вступительных экзаменах в вузы. Целью курсовой работы является ознакомление учащихся с теоретическими основами решения уравнений с параметрами, основными их видами и рекомендациями к решению. ГЛАВА 1 §1. Теоретические основы решения уравнений с параметрами. Рассмотрим уравнение F (х, у, ..., z; α,β, ..., γ ) = 0 (F ) с неизвестными х, у, ..., z и с параметрами α,β, ..., γ ;при всякой допустимой системе значений параметров α0 ,β0 , ..., γ0 уравнение (F) обращается в уравнение F(х, у, ..., z; α0 ,β0 , ..., γ0 ) = 0(F0 ) с неизвестными х, у,..., z, не содержащее параметров. Уравнение (Fo ) имеет некоторое вполне определенное множество (быть, может, пустое) решений. Аналогично рассматриваются системы уравнений, содержащих параметры. Допустимыми системами значений параметров считаются системы, допустимые для каждого уравнения в отдельности. Определение. Решить уравнение (или систему), содержащее параметры, это значит, для каждой допустимой системы значений параметров найти множество всех решений данного уравнения (системы). Понятие эквивалентности применительно к уравнению, содержащим параметры, устанавливается следующим образом. Определение. Два уравнения (системы) F(х, у, ..., z; α,β, ..., γ) = 0 (F ), Ф (х, у, ..., z; α,β, ..., γ) = 0 (Ф ) с неизвестным х, у,..., z и с параметрами α,β, ..., γ называются эквивалентными, если для обоих уравнений (систем) множество допустимых систем значений параметров одно и то же и при всякой допустимой системе значений, параметров оба уравнения (системы уравнений) эквивалентны. Итак, эквивалентные уравнения при всякой допустимой системе значений параметров имеют одно и то же множество решений. Преобразование уравнения, изменяющее множество допустимых систем значений параметров, приводит к уравнению, не эквивалентному данному уравнению. Предположим, что каждое из неизвестных, содержащихся в уравнении F(x, у,,z; α,β, ..., γ) =0 (F ) задано в виде некоторой функции от параметров: х = х(α,β, ..., γ ); у = у(α,β, ..., γ);…. z= z (α,β, ..., γ). (Х) Говорят, что система функций (Х ), заданных совместно, удовлетворяет уравнению (F ), если при подстановке этих функций вместо неизвестных х, у,..., z в уравнение (F) левая его часть обращается в нуль тождественно при всех допустимых значениях параметров: F ( x (α,β, ..., γ), y( α,β, ..., γ),…, z (α,β, ..., γ ) ≡0. При всякой допустимой системе численных значений параметров α = α0 ,β=β0 , ..., γ= γ0 соответствующие значения функций (Х ) образуют решение уравнения F(х, у, ..., z; α0 ,β0 , ..., γ0 ) = 0 §2. Основные виды уравнений с параметрами . Линейные и квадратные уравнения. Линейное уравнение, записанное в общем виде, можно рассматривать как уравнение с параметрами : ах = b , где х – неизвестное, а, b – параметры. Для этого уравнения особым или контрольным значением параметра является то, при котором обращается в нуль коэффициент при неизвестном. При решении линейного уравнения с параметром рассматриваются случаи, когда параметр равен своему особому значению и отличен от него. Особым значением параметра а является значение а = 0. 1. Если а ≠ 0 , то при любой паре параметров а и b оно имеет единственное решение х = . 2. Если а = 0, то уравнение принимает вид: 0 х = b . В этом случае значение b = 0 является особым значением параметра b . 2.1. При b ≠ 0 уравнение решений не имеет. 2.2. При b = 0 уравнение примет вид : 0 х = 0. Решением данного уравнения является любое действительное число. П р и м е р . Решим уравнение 2а(а — 2) х=а — 2. (2) Р е ш е н и е. Здесь контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при х обращается в 0. Такими значениями являются а=0 и а=2. При этих значениях а невозможно деление обеих частей уравнения на коэффициент при х. В то же время при значениях параметра а≠0, а≠2 это деление возможно. Таким образом, целесообразно множество всех действительных значений параметра разбить на подмножества A1 ={0}, А2 ={2} и Аз= {а ≠0, а ≠2} и решить уравнение (2) на каждом из этих подмножеств, т. е. решить уравнение (2) как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра: 1) а= 0 ; 2) а= 2 ; 3) а≠0, а≠2 Рассмотрим эти случаи. 1) При а= 0уравнение (2) принимает вид 0 х = — 2. Это уравнение не имеет корней. 2) При а= 2уравнение (2) принимает вид 0 х =0. Корнем этого уравнения является любое действительное число. 3) При а≠0, а≠2 из уравнения (2) получаем, х= откуда х= . 0 т в е т: 1) если а= 0, то корней нет; 2) если а= 2, то х — любое действительное число; 3) если а ≠0, а ≠2 , то х = П р и ме р . Решим уравнение (а — 1) х 2 +2 (2а +1) х +(4а +3) =0; (3) Р е ш е н и е. В данном случае контрольным является значение a =1. Дело в том, что при a =1 уравнение (3) является линейным, а при а≠ 1 оно квадратное (в этом и состоит качественное изменение уравнения). Значит, целесообразно рассмотреть уравнение (3) как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра: 1) а =l; 2) а ≠1. Рассмотрим эти случаи. 1) При a =1 уравнение (3) примет вид бх +7=0. Из этого уравнения находим х= - . 2) Из множества значений параметра а≠ 1 выделим те значения, при которых дискриминант уравнения (3) обращается в 0. Дело в том, что если дискриминант D=0 при а=ао , то при переходе значения D через точку ао дискриминант может изменить знак (например, при а<ао D< 0, а при а>ао D>0). Вместе с этим при переходе через точку ао меняется и число действительных корней квадратного уравнения (в нашем примере при а<ао корней нет, так как D< 0, а при а>ао D>0 уравнение имеет два корня). Значит, можно говорить о качественном изменении уравнения. Поэтому значения параметра, при которых обращается в 0 дискриминант квадратного уравнения, также относят к контрольным значениям. Составим дискриминант уравнения (3): =(2а+ l)2 — (а — 1) (4а+3). После упрощений получаем = 5а+4. Из уравнения =0 находим а= — второе контрольное значение параметра а. При этом если а < , то D <0; если a ≥ , , то D≥0. a ≠ 1 Таким образом, осталось решить уравнение (3) в случае, когда а < и в случае, когда { a ≥ , a ≠ 1 }. Если а < , то уравнение (3) не имеет действительных корней; если же { a ≥ , a ≠ 1 }, то находим Ответ: 1) если а < , то корней нет ; 2) если а = 1, то х = - ; 3) a ≥ , то a ≠ 1 Дробно-рациональные уравнения с параметрами, сводящиеся к линейным. Процесс решения дробных уравнений протекает по обычной схеме: дробное уравнение заменяется целым путем умножения обеих частей уравнения на общий знаменатель левой и правой его частей. После чего учащиеся решают известным им способом целое уравнение, исключая посторонние корни, т. е. числа, которые обращают общий знаменатель в нуль. В случае уравнений с параметрами эта задача более сложная. Здесь, чтобы исключить посторонние корни, требуется находить значение параметра, обращающее общий знаменатель в нуль, т. е. решать соответствующие уравнения относительно параметра. П р и м ер . Решим уравнение (4) Р е ш е н и е. Значение а=0 является контрольным. При a =0 уравнение (4) теряет смысл и, следовательно, не имеет корней. Если а≠0, то после преобразований уравнение (4) примет вид: х 2 +2 (1 — а ) х +а 2 — 2а — 3= 0. (5) Найдем дискриминант уравнения (5) = (1 — a )2 — (a 2 — 2а — 3) = 4. Находим корни уравнения (5): х 1 =а + 1, х 2 = а — 3. При переходе от уравнения (4) к уравнению (5) расширилась область определения уравнения (4), что могло привести к появлению посторонних корней. Поэтому необходима проверка. П р о в е р к а. Исключим из найденных значений х такие, при которых х 1 +1=0, х 1 +2=0, х 2 +1=0, х 2 +2=0. Если х 1 +1=0, т. е. (а +1)+1=0, то а= — 2. Таким образом, при а= — 2 х 1 — посторонний корень уравнения (4). Если х 1 +2=0, т. е. (а +1)+2=0, то а= — 3. Таким образом, при а= — 3 x 1 — посторонний корень уравнения (4). Если х 2 +1 =0, т. е. (а — 3)+1=0, то а= 2. Таким образом, при а= 2 х 2 — посторонний корень уравнения (4)'. Если х 2 +2=0, т. е. (а — 3)+2=0, то а =1. Таким образом, при а= 1 х 2 — посторонний корень уравнения (4). Для облегчения выписывания ответа сведем полученные результаты на рисунке . только х 2 только х 2 корней нет только х 1 только х 1 х 1,2 х 1,2 х 1,2 х 1,2 х 1,2 х 1,2 -3 -2 0 1 2 а В соответствии с этой иллюстрацией при а= — 3 получаем х = — 3 — 3= — 6; при a = — 2 х = — 2 — 3= — 5; при a =1 х = 1+1=2; при a=2 х =2+1=3. Итак, можно записать От в ет: 1) если a = — 3, то х = — 6; 2) если a = — 2, то х = — 5; 3) если a =0, то корней нет; 4) если a = l, то х =2; 5) если а=2, то х =3; 6) если а ≠ -3 ; а ≠ -2 ; а ≠ 0 ; то х 1 = а + 1, а ≠ 1 ; х 2 = а – 3. а ≠ 2, Иррациональные уравнения с параметрами. Существует несколько способов решения иррациональных уравнений с параметрами. Познакомимся с ними, разобрав следующий пример. П р и м ер . Решить уравнение х - = 1. (6) Решение: Возведем в квадрат обе части иррационального уравнения с последующей проверкой полученных решений. Перепишем исходное уравнение в виде: = х – 1 (7) При возведении в квадрат обеих частей исходного уравнения и проведения тождественных преобразований получим: 2 х 2 – 2х + (1 - а ) = 0, D = 2а – 1. Особое значение : а = 0,5. Отсюда : 1) при а > 0,5 х 1,2 = 0,5 ( 1 ± ); 2) при а = 0,5 х = 0,5 ; 3) при а <0,5 уравнение не имеет решений. Проверка: 1) при подстановке х = 0,5 в уравнение (7), равносильное исходному, получим неверное равенство. Значит, х = 0,5 не является решением (7) и уравнения (6). 2) при подстановке х1 = 0,5 ( 1 ± ) в (7) получим: -0,5 ( 1 + ) = – ( 0,5 ( 1 - ))2 Так как левая часть равенства отрицательна, то х1 не удовлетворяет исходному уравнению. 3) Подставим х 2 в уравнение (7): = Проведя равносильные преобразования, получим: Если , то можно возвести полученное равенство в квадрат: Имеем истинное равенство при условии, что Это условие выполняется, если а ≥1. Так как равенство истинно при а ≥1, а х2 может быть корнем уравнения (6) при а > 0,5, следовательно, х2 – корень уравнения при а ≥1. Тригонометрические уравнения. Большинство тригонометрических уравнений с параметрами сводится к решению простейших тригонометрических уравнений трех типов. При решении таких уравнений необходимо учитывать ограниченность тригонометрических функций у = sinx и y = cosx. Рассмотрим примеры. Пример . Решить уравнение: cos =2а . Решение: Так как Е (соst )=[-1; 1], то имеем два случая. 1. При |a | > 0,5 уравнение не имеет решений. 2. При |a | ≤0,5 имеем: а ) =arccos2a+2πn. Так как уравнение имеет решение, если arccos2а +2π n ≥0, то n может принимать значения n =0, 1, 2, 3,.... Решением уравнения является х = 1+(2π n +аrссоs2а )2 б) =-аrссоs2а +πn . Так как уравнение имеет решение при условии, что -аrссоs2а +2πn >0, то n =1, 2, 3,..., и решение уравнения. х =1+(2πn -arccos2a )2 . Ответ: если |a | > 0,5, решений нет; если |a | ≤0,5 , х = 1+(2π n +аrссоs2а )2 при n = 0, 1, 2,... и х =1+(2πn -arccos2a )2 при n N. Пример . Решить уравнение: tgax 2 = Решение: . ах 2 = +π n , n Z Если коэффициент при неизвестном зависит от параметра, то появляется особое значение параметра. В данном случае: 1. Если а =0, то уравнение не имеет решений. 2. Если а 0, то х 2 = , n Z Уравнение имеет решение, если ≥0. Выясним, при каких значениях n и а выполняется это условие: ≥0 откуда n ≥ и а > 0 или n ≤ и а < 0. Итак, уравнение имеет решение х = ± , если 1) а > 0 и n = 1,2,3,… или 2) а < 0 и n Z . Ответ: при а = 0 решений нет; при а > 0 и n = 1,2,3,… или а < 0 и n Z х = ± . Пример. Решите уравнение: а sinbx = 1 Решение: Особое значение параметра а : а = 0. 1. При а = 0 решений нет. 2. При а 0 sinbx = . Имеем 2 случая: 2.1. Если > 1, то решений нет. 2.2. Если ≤ 1, то особое значение b = 0: 2.2.1. Если b = 0, то решений нет. 2.2.2. Если b 0, то х = Ответ: при а = 0 или > 1 и а 0 или а 0 b = 0 решений нет; при а 0 и ≤ 1 и b 0 х = Показательные уравнения с параметрами. Многие показательные уравнения с параметрами сводятся к элементарным показательным уравнениям вида а f ( x) = bφ(х ) (*), где а > 0, b > 0. Область допустимых значений такого уравнения находится как пересечение областей допустимых значений функций f( x) и φ (х). Для решения уравнения (*) нужно рассмотреть следующие случаи: 1) При а = b = 1 решением уравнения (*) является область его допустимых значений D . 2) При а = 1, b ≠ 1 решением уравнения (*) служит решение уравнения φ(х) = 0 на области допустимых значений D . 3) При а ≠ 1, b = 1 решение уравнения (*) находится как решение уравнения f(х) = 0 на области D . 4) При а = b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) уравнение (*) равносильно уравнению f(х) = φ(х) на области D . 5) При а ≠ b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) уравнение (*) тождественно уравнению logc a f( x) = logc b φ( x) (c > 0, c ≠ 1) на области D . Пример. Решите уравнение: а х + 1 = b 3 – х Решение. ОДЗ уравнения: х R , а > 0, b >0. 1) При а ≤ 0, b ≤ 0 уравнение не имеет смысла. 2) При а = b = 1, х R. 3) При а = 1, b ≠ 1 имеем: b 3 – х = 1 или 3 – х = 0 х = 3. 4) При а ≠ 1, b = 1 получим: а х + 1 = 1 или х + 1 = 0 х = -1. 5) При а = b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) имеем: х + 1 =3 – х х = 1. 6) При а ≠ b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) прологарифмируем исходное уравнение по основанию а, получим: , х + 1 = ( 3 – х ) loga b , Ответ: при а ≤ 0, b ≤ 0 уравнение не имеет смысла; при а = b = 1, х R; при а = 1, b ≠ 1 х = 3. при а ≠ 1, b = 1 х = -1 при а = b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) х = 1 при а ≠ b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) Логарифмические уравнения с параметром. Решение логарифмических уравнений с параметрами сводится к нахождению корней элементарного логарифмического уравнения. Важным моментом решения уравнений такого типа является проверка принадлежности найденных корней ОДЗ исходного уравнения. Пример. Решите уравнение 2 – log (1 + х ) = 3 logа - log ( х 2 – 1 )2 Решение. ОДЗ: х > 1, а > 0, а ≠ 1. Осуществим на ОДЗ цепочку равносильных преобразований исходного уравнения: logа а 2 + log ( х 2 - 1) = logа ( )3 + loga , logа ( а 2 (х 2 - 1)) = logа (( )3 ), а 2 (х 2 - 1) = (х - 1) , а 2 (х - 1) (х + 1) = (х - 1) Так как х ≠ -1 и х ≠ 1, сократим обе части уравнения на (х - 1) а 2 = Возведем обе части полученного уравнения в квадрат: а 4 (х + 1) = х – 1 а 4 х + а 4 = х – 1 х ( 1 - а 4 ) = а 4 + 1 Так как а ≠ -1 и а ≠ 1, то Для того чтобы значения х являлось решением уравнения, должно выполняться условие х > 1, то есть Выясним, при каких значениях параметра а это неравенство истинно: , Так как а > 0, то полученная дробь положительна, если 1 – а 4 > 0, то есть при а < 1. Итак, при 0 < a < 1, x > 1, значит при 0 < a < 1 х является корнем исходного уравнения. Ответ: при а ≤ 0, а = 1 уравнение не имеет смысла; при а > 1 решений нет; при 0 < a < 1 ГЛАВА 2 §1. Разработка факультативных занятий по теме. В общеобразовательных классах данная тема не берется в явном виде. Она рассматривается в заданиях более сложного характера. Например, при изучении темы "Квадратные уравнения", можно встретить следующие задания: 1) При каком р уравнение х 2 – 2х + 1 = р имеет один корень ? 2) При каких значениях параметра р сумма корней квадратного уравнения х 2 + ( р 2 + 4р – 5 ) х – р = 0 равна нулю ? В классах с углубленным изучением математики уравнения с параметрами целенаправленно начинают изучать с 8 класса. Именно в этот период вводится понятие "параметр". Основная задача – научить учащихся решать уравнения с одним параметром. Ученики должны уяснить, что уравнения с параметром – это семейство уравнений, определяемых параметром. Отсюда и вытекает способ решения: в зависимости от структуры уравнения выделяются подмножества множества допустимых значений параметра и для каждого такого подмножества находится соответствующее множество корней уравнения. Нужно обратить внимание на запись ответа. В нем должно быть указано для каждого значения параметра (или множества его значений), сколько корней имеет это уравнение и какого вида. На факультативных занятиях следует разобрать следующие виды задач: 1) на разрешимость: определить параметры, при которых задача имеет хотя бы одно решение или не имеет решений вовсе. 2) на разрешимость на множестве: определить все параметры, при которых задача имеет m решений на множестве М или не имеет решений на множестве М. 3) на исследование: для каждого параметра найти все решения заданной задачи. Разработка факультативных занятий приведена в приложении. Структура следующая: Занятие№1. Решение линейных и квадратных уравнений с параметрами. Занятие№2. Решение линейных и квадратных уравнений с параметрами. Занятие№3. Решение дробно-рациональных и иррациональных уравнений с параметрами. Занятие№4. Тест Занятие№5. Решение тригонометрических уравнений с параметрами. Занятие№6. Решение тригонометрических уравнений с параметрами. Занятие№7. Решение показательных и логарифмических уравнений с параметрами. Занятие№8. Тест Занятие№1 Занятие№2 Занятие №3 Занятие № 4. Вариант I. Решите уравнение k(x - 4) + 2 ( х + 1) = 1 относительно х. а) при k=-2 корней нет; при k =-2 ; б) при k -2 корней нет; при k=-2 ; в) при k=-2 корней нет; при k =-2 и k =0,25 . Решите уравнение 2а( а - 2)х = а2 – 5а+6 относительно х а) при а=2 х R ; при а=0 корней нет; при а 0 и а 2 ; б) при а=2 х R ; при а=0 корней нет; при а 0 и а 2 ; в) при а=2 х R ; при а=0 корней нет; при а 0 и а 2 . При каких значениях b уравнение 1+2х – bx = 4+х имеет отрицательное решение. а) b<1 ; б) b>1 ; в) b=1 При каких значениях а парабола у = ах2 – 2х +25 касается оси х? а) а=25 ; б) а=0 и а= 0,04 ; в) а=0,04. При каких значениях k уравнение (k - 2)x2 = (4 – 2k)x+3 = 0 имеет единственное решение? а) k=-5, k= -2 ; б) k=5 ; в) k=5, k= 2 . Решите относительно х уравнение а)при b +1, b ; при b= реш.нет; при b=±1 нет смысла; б)при b ; при b= реш.нет; при b=±1 нет смысла; в)при b= ; при b=±1 нет смысла. При каких значениях параметра а уравнение имеет решение а) а≥ 3 ; б) а=4 ; в) а≥ 0 При каких значениях а уравнение имеет 2 корня? а) –0,25≤а≤ 0 ; б) –0,25<а≤ 0 ; в) –0,25<а< 0 При каких значениях параметра с уравнение имеет 2 корня? а) с ( - ∞ ; -1,5√3)U(1.5√3; + ∞); б) при с = ±1,5√3; в) с ( - ∞ ; -1,5√3) Вариант II. Решите уравнение 2х( а+1)= 3а(х+1)+7 относительно х. а) при а=-2 корней нет; при а -2 ; б) при а -2 корней нет; при а=-2 ; в) при а -2 и а - корней нет; при а=-2 . Решите уравнение (а 2 - 81)х = а2 + 7а - 18 относительно х а) при а=-9 х R ; при а=9 корней нет; при а -9 и а 9 ; б) при а=9 х R ; при а=-9 корней нет; при а -9 и а 9 ; в) при а= -9 х R ; при а=9 корней нет; при а -9 ; При каких значениях b уравнение 2+4х-bx=3+х имеет отрицательное решение? а) b<3 ; б) b<2 ; в) b>3 При каких значениях k уравнение kx2 – (k - 7)x + 9 =0 имеет два равных положительных корня? а) k=49, k= 1 ; б) k=1 ; в) k=49 . При каких значениях а уравнение ax2 - 6x+а = 0 имеет два различных корня? а) а ( - 3 ; 0)U(0; 3 ); б) при а ( - 3 ; 3) ; в) с ( - ∞ ; - 3)U ( 3 ; +∞) Решите относительно х уравнение а)при а 1,а 2,25, а -0,4, ; а=2,25, а=-0,4,реш.нет; при а=1 нет смысла; б) при а 2,25, а -0,4, ; а=2,25, а=-0,4,реш.нет; при а=1 нет смысла; в) при а 1, а -0,4, ; а=-0,4,реш.нет; при а=1 нет смысла. При каких значениях параметра а уравнение имеет решение ? а) а≥ 2/3 ; б) а≥ 2/3 √6 ; в) а≤ 2/3 √6 При каких значениях а уравнение имеет 2 корня? а) а≥ 0 ; б) ни при каких ; в) а≥ 1 При каких значениях параметра с уравнение имеет 2 корня? а) с ( - ∞ ; -1,5√3)U(1.5√3; + ∞); б) при с = ±1,5√3; в) с ( - ∞ ; -1,5√3) Занятие №5-6 Занятие №7 Занятие №8. Вариант I. Решите уравнение 3 cosx = 4b + 1 для всех значений параметра. а) при b ( -1; 0,5 ) х = ± arcos ; при b (-∞;-1]U[0,5;+∞) реш.нет; б) приb [ -1; 0,5 ] х = ± arcos ; при b (-∞;-1)U(0,5;+∞) реш.нет; в)b (-∞;-1]U[0,5;+∞) х = ± arcos ; b ( -1; 0,5 ) при реш.нет; Найдите все действительные значения параметра а , при которых уравнение sin2 x – 3sinx + a =0. а) a [ -4; 2 ] ; б) а ( -4 ; 2) ; в) а [ - 4; 2 ). При каких значениях а уравнение cos4 x + sin4 x = a имеет корни? а) a [ 0,5; 1 ] ; б) а [ -1 ; 0,5 ] ; в) а [ - 0,5; 1 ). Решите уравнение а) при а ≤ 0 х R ; при а > 0, а 1 х = 2; при а = 1 не имеет смысла. б) при а > 0 х R ; при а = 1 х = 2; при а ≤ 0 не имеет смысла. в) при а = 1 х R ; при а > 0, а 1 х = 2; при а ≤ 0 не имеет смысла. При каких значениях параметра уравнение 4х – а 2х +1 – 3а 2 + 4а = 0 имеет единственное решение? а) 2; б) 1 ; в) -1. Решите уравнение loga x 2 + 2 loga ( x + 2) = 1. а) при а ≤ 1 х = 0,5( 2+ ) ; при а =100 х = 1. б) при а > 100 реш. нет; при 1<a <100 х = 0,5( 2+ ); при а =100 х = 1; при а ≤ 1 не имеет смысла . в) при а > 100 реш.нет ; при 1<a <100 х = 0,5( 2+ ) ; при а ≤ 1 не имеет смысла . 7. Найдите все значения параметра, для которых данное уравнение имеет только один корень 1+ log2 (ax ) = 2 log2 (1 - x ) а) а > 0, а = 2 ; б) а > 0, а = - 2 ; в) а < 0, а = - 2 . Решите уравнение а > 0, а 1 а) а ; ; б) а2 ; - ; в ) а2 ; Вариант II. Решите уравнение cos (3x +1 ) = b для всех значений параметра. а) при |b | ≤ 1 х = ; при |b | > 1 реш.нет; б) при |b | ≤ 1 и b =0 х = ; при |b | > 1 реш.нет; в)при |b | > 1 х = ; при |b | < 1 реш.нет; Найдите все действительные значения параметра а , при которых уравнение cos2 x + a sinx =2 a -7. а) a ( 2 ; 6 ) ; б) а ( 2 ; 4 ] ; в) а [ 2 ; 6 ]. При каких значениях а уравнение cos6 x + sin6 x = a имеет корни? а) a [ 0,25; 0,5 ] ; б) а [ 0,25 ; 1 ] ; в) а [ - 0,25; 1 ]. Решите уравнение а) при а ≤ 0 х R ; при а > 0, х = 1; при а = 1 не имеет смысла. б) при а = 1 х R ; при а > 0, а 1 х = 1; при а ≤ 0 не имеет смысла. в) при а > 0х R ; при а = 1 , х = 1; при а ≤ 0 не имеет смысла. При каких значениях параметра уравнение а( 2х + 2-х ) = 5 имеет единственное решение? а) -2,5; 2,5 ; б) 2; 2,5 ; в) –2,5. Решите уравнение 3 lg (x – а ) - 10 lg ( x - а )+1 = 0. а) х = а + 1000, х = а + 3 √10 ; б) х = а - 3 √10 , х = а –1000 ; в) х = а - 3 √10 , х = а + 1000 . 7. Найдите все значения параметра, для которых данное уравнение имеет только один корень а) 4 ; б) - 4 ; в) - 2 . Решите уравнение а > 0, а 1 а) -1 ; а ; б) 1 ; - а ; в ) 1 ; а Заключение. При решении приведенных выше задач с параметрами происходит повторение и, как следствие, более глубокое прочное усвоение программных вопросов. Ученики расширяют свой математический кругозор, тренируют мышцы интеллекта, при этом происходит развитие математического, логического мышления, умения анализировать, сравнивать и обобщать. Решение задач с параметрами на факультативных занятиях это помощь при подготовке к экзаменам. Происходит формирование таких качеств личности, как трудолюбие, целеустремленность, усидчивость, сила воли и точность. Литература. С.И. Новоселов. Специальный курс элементарной алгебры. Москва-1962. Е.Ю. Никонов. Параметр. Самара – 1998. Еженедельная учебно-методическая газета "Математика" №36/2001; №4/2002; №22/2002; №23/2002; №33/2002.