Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 50
Задача 1.
Генерация
случайных чисел
с заданным
законом распределения
с помощью случайных
чисел, равномерно
распределенных
на интервале
(0,1):
используя
центральную
предельную
теорему, с помощью
сумм 6 независимых
равномерно
распределенных
на интервале
(0,1) случайных
чисел получить
25 случайных
числа со стандартным
нормальным
законом распределения;
найти выборочное
среднее и выборочную
дисперсию;
получить 11
случайных
чисел с законом
распределения
Стьюдента с
10 степенями
свободы; найти
выборочное
среднее и выборочную
дисперсию.
Решение:
С помощью сумм
6 независимых
равномерно
распределенных
на интервале
(0,1) случайных
чисел получим
24 случайных
числа со стандартным
нормальным
законом распределения
по формуле
Получены следующие
числа: -1.235 -0.904 -1.674 1.918 -0.335 1.082 -0.584 -0.565 0.149 0.528 1.076 1.011 0.671 -1.011 -1.502 0.627 -0.489 -0.486 1.022 -0.472 -0.844 0.92 -0.583 0.645 -0.495
Найдем выборочное
среднее по
формуле
Найдем выборочную
дисперсию по
формуле
Получим 11 случайных
чисел с законом
распределения
Стьюдента с
10 степенями
свободы:
С
, где xi
– нормальные
независимые
случайные
величины.
Случайные
числа, распределенные
по закону Стьюдента
с 10 степенями
свободы:
,
Получены следующие
числа: -0.58 -2.496 -0.06 -0.932 1.547 0.418 1.658 1.51 -0.171 -0.821 -1.728
Найдем выборочное
среднее по
формуле
Найдем выборочную
дисперсию по
формуле
Задача 2.
Проверка
статистической
гипотезы:
получить 100
случайных
чисел {x1,…,x100},
распределенных
по показательному
закону с параметром
= 1/6, найти
такое наименьшее
целое число
N, что N
xk для всех k =
1,…,100;
разделить
отрезок [0, N] на
10 равных отрезков;
получить
группированную
выборку {n1,…,n10},
где ni – число
чисел, попавших
в i-ый интервал;
построить
гистограмму
относительных
частот; по
группированной
выборке найти
оценку В
параметра ;
проверить с
помощью критерия
«хи квадрат»
гипотезу о
соответствии
группированной
выборки показательному
распределению
с параметром
В при
уровне значимости
0.05.
Решение:
Получим 100 случайных
чисел {x1,…,x100},
распределенных
по показательному
закону с параметром
= 1/6: 4,9713 3,2905 2,7849 4,1093 2,1764 9,9659 10,343 4,6924 13,966 14,161 0,4258 0,6683 8,8884 5,3392 2,7906 4,7696 3,0867 0,9414 2,8222 3,4177 10,148 3,5312 8,4915 3,0179 3,2209 4,2259 1,8006 2,8645 1,3051 3,3094 0,5557 1,9075 2,4227 6,9307 7,1085 13,322 0,9665 11,19 15,203 2,6685 3,6408 5,3646 4,5871 11,277 1,823 1,142 0,8126 7,2223 12,371 1,4527 2,9692 15,762 2,5493 13,533 8,8944 0,5005 2,4678 4,2491 4,1972 4,0488 2,2424 3,0025 30,785 13,778 0,8824 1,7475 5,8036 3,5565 0,2718 10,404 12,166 0,297 21,487 17,302 12,166 0,875 1,9573 25,326 2,0727 9,1516 10,669 6,4555 6,005 1,3209 3,8486 1,3525 11,593 5,4617 11,946 16,293 3,3376 3,6084 7,0011 1,279 7,5471 0,6641 1,776 6,1109 8,857 8,8327
Находим такое
наименьшее
целое число
N, что N
xk для всех k =
1,…,100: N = 31
Разделяем
отрезок [0, 31]
на 10 равных отрезков
и получим
группированную
выборку {n1,…,n10},
где ni – число
чисел, попавших
в i-ый интервал: xi Xi+1 ni ni/n 0 3,1 39 0,39 3,1 6,2 25 0,25 6,2 9,3 12 0,12 9,3 12,4 12 0,12 12,4 15,5 6 0,06 15,5 18,6 3 0,03 18,6 21,7 1 0,01 21,7 24,8 0 0 24,8 27,9 1 0,01 27,9 31 1 0,01
Гистограмма
относительных
частот:
Находим выборочное
среднее по
формуле
По группированной
выборке находим
оценку В
параметра
по формуле
Проверяем с
помощью критерия
«хи квадрат»
гипотезу о
соответствии
группированной
выборки показательному
распределению
с параметром
В при
уровне значимости
0.05:
Находим вероятности
попадания X в
частичные
интервалы (xi,
xi+1) по формуле
Вычисляем
теоретические
частоты по
формуле
xi Xi+1 ni Pi fi (ni
- fi)2
/ fi 0 3,1 39 0,3955 39,55 0,0076 3,1 6,2 25 0,2391 23,91 0,0499 6,2 9,3 12 0,1445 14,45 0,4162 9,3 12,4 12 0,0874 8,74 1,2188 12,4 15,5 6 0,0528 5,28 0,0977 15,5 18,6 3 0,0319 3,19 0,0116 18,6 21,7 1 0,0193 1,93 0,4482 21,7 24,8 0 0,0117 1,17 1,1668 24,8 27,9 1 0,0071 0,71 0,1231 27,9 31 1 0,0043 0,43 0,7717
Находим наблюдаемое
значение критерия
по формуле
По таблице
критических
точек распределения
«хи квадрат»,
по заданному
уровню значимости
0.05 и числу
степеней свободы
8 находим критическую
точку
Гипотезу о
соответствии
группированной
выборки показательному
распределению
с параметром
В не
отвергаем.
Задача 3.
Проверка гипотезы
о равенстве
дисперсий:
получить 2 случайных
числа, распределенных
по стандартному
нормальному
закону с помощью
сумм 5 независимых
равномерно
распределенных
на интервале
(0, 1) случайных
чисел: аналогично,
получить 9 случайных
чисел, распределенных
по стандартному
нормальному
закону с помощью
сумм 9 независимых
равномерно
распределенных
на интервале
(0, 1) случайных
чисел;
проверить
гипотезу о
равенстве
генеральных
дисперсий
полученных
совокупностей
при уровне
значимости
0.1.
Решение:
Получим 2 случайных
числа, распределенных
по стандартному
нормальному
закону с помощью
сумм 5 независимых
равномерно
распределенных
на интервале
(0, 1) случайных
чисел по формуле
Получены следующие
числа: -0,848 -1,662
Получим 9 случайных
числа, распределенных
по стандартному
нормальному
закону с помощью
сумм 9 независимых
равномерно
распределенных
на интервале
(0, 1) случайных
чисел по формуле
Получены следующие
числа: 0.885 1.25 -0.365 -1.139 0.891 -1.176 0.237 1.807 -0.96
Проверим гипотезу
о равенстве
генеральных
дисперсий
полученных
совокупностей
при уровне
значимости
0.1:
Найдем выборочное
среднее первой
совокупности
по формуле
Найдем выборочное
среднее второй
совокупности
по формуле
Найдем исправленную
дисперсию
первой совокупности
по формуле
Найдем исправленную
дисперсию
второй совокупности
по формуле
Вычислим наблюдаемое
значение критерия
(отношение
большей исправленной
дисперсии к
меньшей) по
формуле
По таблице
критических
точек распределения
Фишера-Снедекора,
по заданному
уровню значимости
0.1 и числам степеней
свободы 1 и 9 найдем
критическую
точку
Гипотезу о
равенстве
генеральных
дисперсий
|