Статистика (шпаргалка 2002г.) 1. Анализ рядов распределения Ряд распределения, графики в приложении. Группы Частота f S До 10 4 4 10-20 28 32 20-30 45 77 30-40 39 116 40-50 28 144 50-60 15 159 60 и выше 10 169 Итого 169 Мода: Медиана: Нижний квартиль: Верхний квартиль: Средний уровень признака: Группы Частота f x xf До 10 4 5 20 10-20 28 15 420 20-30 45 25 1125 30-40 39 35 1365 40-50 28 45 1260 50-60 15 55 825 60 и выше 10 65 650 Итого 169 - 5665 Средняя величина может рассматриваться в совокупности с другими обобщающими характеристиками, в частности, совместно с модой и медианой. Их соотношение указывает на особенность ряда распределения. В данном случае средний уровень больше моды и медианы. Асимметрия положительная, правосторонняя. Асимметрия распределения такова: => 27,39 31,4 33,52 Показатели вариации: 1) Размах вариации R 2) Среднее линейное отклонение (простая) Группы f x xf S f (x- )2 f(x- )2 x2 x2f До 10 4 5 20 4 114,08 28,52 813,43 3253,72 25 100 10-20 28 15 420 32 518,58 18,52 343,02 9604,47 225 6300 20-30 45 25 1125 77 383,43 8,52 72,60 3267,11 625 28125 30-40 39 35 1365 116 57,69 1,48 2,19 85,34 1225 47775 40-50 28 45 1260 144 321,42 11,48 131,77 3689,67 2025 56700 50-60 15 55 825 159 322,19 21,48 461,36 6920,39 3025 45375 60 и в. 10 65 650 169 314,79 31,48 990,95 9909,46 4225 42250 Итого 169 - 5665 - 2032,18 121,48 - 36730,18 226625 (взвешенная) 3) Дисперсия Другие методы расчета дисперсии: 1. Первый метод Группы f x До 10 4 5 -3 9 -12 36 10-20 28 15 -2 4 -56 112 20-30 45 25 -1 1 -45 45 30-40 39 35 0 0 0 0 40-50 28 45 1 1 28 28 50-60 15 55 2 4 30 60 60 и выше 10 65 3 9 30 90 Итого 169 - - - -25 371 Условное начало С = 35 Величина интервала d = 10 Первый условный момент: Средний уровень признака: Второй условный момент: Дисперсия признака: 2. Второй метод Методика расчета дисперсии альтернативного признака: Альтернативным называется признак, который принимает значение «да» или «нет». Этот признак выражает как количественный «да»-1, «нет»-0, это значение x , тогда для него надо определить среднюю и дисперсию. Вывод формулы: Признак х 1 0 всего Ч астота f вероятность p g p + g = 1 xf 1p 0g p + 0 = p Средняя альтернативного признака равна доле единиц, которые этим признаком обладают. - Дисперсия альтернативного признака. Она равна произведению доли единиц, обладающих признаком на ее дополнение до 1. Дисперсия альтернативного признака используется при расчете ошибки для доли. p g 0,1 0,9 0,09 0,2 0,8 0,16 0,3 0,7 0,21 0,4 0,6 0,24 0,5 0,5 max 0,25 0,6 0,4 0,24 , W – выборочная доля. Виды дисперсии и правило их сложения: Виды: 1. Межгрупповая дисперсия. 2. Общая дисперсия. 3. Средняя дисперсия. 4. Внутригрупповая дисперсия. У всей совокупности может быть рассчитана общая средняя и общая дисперсия. 1. общая и общая. 2. По каждой группе определяется своя средняя величина и своя дисперсия: a,a; б,б; i, i 3. Групповые средние i не одинаковые. Чем больше различия между группами, тем больше различаются групповые средние и отличаются от общей средней. Это позволяет рассчитать дисперсию, которая показывает отклонение групповых средних от общей средней: - межгрупповая дисперсия, где mi – численность единиц в каждой группе. В каждой группе имеется своя колеблемость – внутригрупповая . Она не одинакова, поэтому определяется средняя из внутригрупповых дисперсий: Эти дисперсии находятся в определенном соотношении. Общая дисперсия равна сумме межгрупповой и средней из внутригрупповых дисперсий: - правило сложения дисперсий. Соотношения дисперсий используются для оценки тесноты связей между факторами влияния изучаемого фактора – это межгрупповая дисперсия. Все остальные факторы – остаточные факторы. 2. Ряды динамики Ряд динамики, график ряда динамики в приложении. Год Уровень 1 40,6 2 41,5 3 49,5 4 43,6 5 39,2 6 40,7 7 38,2 8 36,5 9 38,0 10 38,7 11 39,4 Средняя хронологическая: Производные показатели ряда динамики: - коэффициент роста, базисный - коэффициент роста, цепной - коэффициент прироста - абсолютное значение одного процента прироста Год Уровень Темпы роста % Темпы прироста % А1% Базисные Цепные Базисные Цепные 1 40,6 - 100 - - - - 2 41,5 0,9 102,2167 102,2167 2,216749 2,216749 0,406 3 49,5 8 121,9212 119,2771 21,92118 19,27711 0,415 4 43,6 -5,9 107,3892 88,08081 7,389163 -11,9192 0,495 5 39,2 -4,4 96,55172 89,90826 -3,44828 -10,0917 0,436 6 40,7 1,5 100,2463 103,8265 0,246305 3,826531 0,392 7 38,2 -2,5 94,08867 93,85749 -5,91133 -6,14251 0,407 8 36,5 -1,7 89,90148 95,54974 -10,0985 -4,45026 0,382 9 38 1,5 93,59606 104,1096 -6,40394 4,109589 0,365 10 38,7 0,7 95,3202 101,8421 -4,6798 1,842105 0,38 11 39,4 0,7 97,04433 101,8088 -2,95567 1,808786 0,387 Взаимосвязь цепных и базисных коэффициентов роста: Произведение последовательных цепных коэффициентов равно базисному: и т. д. Частное от деления одного базисного равно цепному коэффициенту: и т. д. Средний абсолютный прирост: Средний годовой коэффициент роста: 1) 2) 3) Анализ тенденции изменений условий ряда: Анализ состоит в том, чтобы выявить закономерность. Метод – укрупнение интервалов и расчет среднего уровня Год Уровень Новые периоды Новые уровни 1 40,6 1 43,9 2 41,5 3 49,5 4 43,6 2 41,2 5 39,2 6 40,7 7 38,2 3 37,6 8 36,5 9 38,0 10 38,7 4 39,1 11 39,4 Тенденция изображена в виде ступенчатого графика (в приложении). Сезонные колебания: Месяц Годы Ср. уровень за каждый месяц Индекс сезонности 1998 1999 2000 1 242 254 249 248,3333 81,24318 2 236 244 240 240 78,5169 3 284 272 277 277,6667 90,83969 4 295 291 293 293 95,85605 5 314 323 331 322,6667 105,5616 6 328 339 344 337 110,2508 7 345 340 353 346 113,1952 8 362 365 364 363,6667 118,9749 9 371 373 369 371 121,374 10 325 319 314 319,3333 104,4711 11 291 297 290 292,6667 95,747 12 260 252 258 256,6667 83,96947 Индекс сезонности: График «Сезонная волна» в приложении. 3. Индексы Товар –представитель базисный год 1999 текущий год 2000 стоимость pq p0q1 p1q0 цена объем цена объем базис.год текущ.год А 12,5 420 10,7 462 5250 4943,4 5775 4494 Б 3,2 2540 4,5 2405 8128 10822,5 7696 11430 В 45,7 84 55,3 97 3838,8 5364,1 4432,9 4645,2 Г 83,5 156 82,5 162 13026 13365 13527 12870 p0 q0 P1 q1 p0q0 p1q1 p0q1 p1q0 Итого 30242,8 34495 31430,9 33439,2 Индивидуальные индексы: Товар ip iq А 85,6 110 Б 140,625 94,68504 В 121,0065646 115,4762 Г 98,80239521 103,8462 Расчет индивидуальных индексов ведется по формулам: ip = ; iq = Общий индекс физического объема: Iq = Общий индекс цен: 1) Ip = 2) Ip = 3) Ip(фишер) = Общий индекс стоимости: Ipq = Взаимосвязь индексов Ip , Iq , Ipq : Ip x Iq = Ipq (1,0975 x 1,0393) x 100 = 114,06 Влияние факторов на изменение стоимости: Общее изменение стоимости составило: pq = в том числе : - за счет роста цен на 9,75% дополнительно получено доходов: p = - за счет роста физического объема продаж на 3,93% дополнительные доходы получены в размере: q = Взаимосвязь p, q, pq : pq = p + q 4252,2 = 3064,1 + 1188,1 Методика преобразования общих индексов в среднюю из индивидуальных: Общие индексы – это относительные величины, в то же время, общие индексы являются средними из индивидуальных индексов, т.е. индивидуальный индекс i x, а Y . Вид общего индекса должен соответствовать агрегатной форме расчета. В этом случае сохраняется экономический смысл индекса и меняется только методика расчета. Алгоритм : 1. Индекс физического объема а) индивидуальный индекс физического объема: iq = Товар iq А 110 Б 94,68504 В 115,4762 Г 103,8462 б) Общий индекс физического объема: Iq = в) г) Iq = iq x (q0p0) f Таким образом, индекс физического объема представляет собой среднюю арифметическую из индивидуальных индексов, взвешенных по стоимости продукции базового периода. 2. Индекс цен Ласпейреса Ip = ip = Товар ip А 85,6 Б 140,625 В 121,007 Г 98,802 Индекс цен Ласпейреса – это средняя арифметическая из индивидуальных индексов, взвешанных по стоимости базового периода или удельному весу. 3. Индекс цен Пааше а) Индивидуальный индекс цены ip = б) Ip = в) p0 = Ip = Индекс цен Пааше является средней гармонической величиной из индивидуальных индексов, взвешенных по стоимости текущего периода. 7вопрос Относительные величины Статистика широко применяет относительные величины, потребность в которых возникает на стадии обобщения. Они помогают установить закономерности, в них заключен «молчаливый вывод»; являются самостоятельными статистическими показателями и имеют самостоятельную широкую сферу применения, например, уровень рождаемости, естественного прироста населения, рентабельность и т.д. Относительная величина – это статический показатель, полученный путем сопоставления двух других величин (абсолютных, средних и других относительных). При пользовании относительными величинами следует применять достаточное для целей исследования число значащих цифр. Поэтому существуют различные способы выражения относительных величин. Если сравниваемая величина больше базы y1 > y0, то удобно пользоваться коэффициентом К = у1/у0. Если между уровнями у1 и у0 различия абсолютных величин невелики, то удобно применять децили и проценты: Δ = 10 (у1/у0); Т = 100 (у1/у0). Если уровень у1 значительно меньше базы, то удобно применять промилле и продецимилле: П = 1000 (у1/у0); Пґ = 10000 (у1/у0). Например, рост цен может быть измерен и коэффициентом, и процентом (рост в 2,1 раза или 103,15%), рождаемость и естественный прирост определяют на 1000 чел. населения и т.д. 2.2. Виды относительных величин В зависимости от характера сравниваемых абсолютных величин можно выделить два типа относительных величин. Если сравниваются две абсолютные величины, имеющие одинаковые единицы измерения, то относительная величина показывает «отношение» и является безразмерной. Если сравниваются две абсолютные величины, у которых единицы измерения не совпадают, то относительные величины имеют размерность. Относительная величина структуры определяется как отношение числа единиц f или значения признака у изучаемой части к общему числу Σf: W = f / Σf; Относительная величина координации показывает отношение численности единиц одной части совокупности к численности единиц другой. Изменение уровня изучается во времени относительной величиной динамики. Например, уровень показателя 1999 г. (у1) сравнивается с уровнем того же показателя по тому же объекту 1990 г. (у0): К1 = у1/у0. Прогнозируемый уровень сравнивается с существующим – относительная величина прогноза: Кпр = упр/у0. Изменение уровня изучается по сравнению с предварительным прогнозом (нормой, планом) – относительная величина выполнения прогноза: Кв. пр. = у1/упр. Относительная величина интенсивности представляет собой сравнение двух разных статических показателей, которые имеют размерность. К таким показателям относится плотность населения, автомобильных дорог и т.д. Относительными величинами также являются индексы: биржевые, социальные, сезонности и т.д. iр = р1/р0; iq = q1/q0; iz = z1/z0 и т.д. Тема 3. Средние величины и показатели вариации 3.1. Сущность и значение средних величин Средняя величина отражает типичные размеры признака, характеризует качественные особенности явлений в количественном выражении. Средние характеризуют одной величиной значение изучаемого признака для всех единиц качественно однородной совокупности. К. Маркс отметил: «Средняя величина – всегда средняя многих различных индивидуальных величин одного и того же вида». Средняя величина – величина абстрактная, потому что характеризует значение абстрактной единицы, а значит, отвлекается от структуры совокупности. Понятие степенной средней, формула расчета, виды средних величин и область их применения, правило мажорантности средних Степенная средняя – это такая величина, которая рассчитана по индивидуальным значениям признака, возведенным в степень К, и приведена к линейным размерам: В зависимости от показателя степени К средняя может быть гармонической (К = -1), арифметической (К = 1), геометрической (К = 0), квадратической (К = 2), кубической (К = 3), биквадратической (К = 4). Каждая средняя обладает определенными свойствами и имеет свою сферу применения. Е сли К = 1, то средняя является арифметической: где n - число наблюдений. Массовые по численности совокупности обобщаются в виде ряда распределения. Характер распределения, частота повторения каждого признака оказывает влияние на среднюю, которая называется средней взвешенной: где f - частота повторения признака (статический вес). Если К = -1, средняя является гармонической. Это величина, обратная простой средней арифметической: Средняя гармоническая взвешенная определяется: где ΣW - суммарное значение признака. Если К = 0, то средняя является геометрической. Эта величина, полученная как корень m-й степени из произведения значений признака: Взвешенная - Если К = 2, то средняя является квадратичной: Простая - Взвешенная - и т.д. Если для одного и того же первичного ряда вычислить различные степенные средние, то чем больше показатель степени К, тем больше абсолютное значение средней: Правило называется мажорантности степенных средних. 3.3. Свойства средней арифметической Средняя величина арифметическая обладает рядом свойств, позволяющих ускорить расчет. Она не изменяется, если веса всех вариантов умножить или разделить на одно и то же число. Если все значения признака одинаковые, то средняя равна этой же величине. Средние суммы или разности равны сумме или разности средней: Если из всех значений Х вычесть постоянную величину С, то средняя уменьшается на это значение. Если все значения уменьшить в d раз (Х/d), то средняя уменьшится в d раз. Сумма отклонений значения признака равна 0. Сумма квадратов отклонений 3.4. Расчет моды и медианы Модой (М0) называется чаще всего встречающийся вариант или то значение признака, которое соответствует максимальной точке теоретической кривой распределения. В дискретном ряду мода – это вариант с наибольшей частотой. В интервальном вариационном ряду мода приближенно равна центральному варианту так называемого модального интервала. где хМ0 - нижняя граница модального интервала; iM0 - величина модального интервала; fM0 - частота, соответствующего модального интервала; fM0-1 - частота, предшествующая модальному интервалу; fM0+1 - частота интервала, следующего за модальным. Медиана (Ме) – это величина, которая делит численность упорядоченного вариационного ряда на 2 равные части: одна часть значения варьирующая признака меньшие, чем средний вариант, а другая часть – большие. Для ранжированного ряда с нечетным числом членов медианой является варианта, расположенная в центре ряда, а с четным числом членов медианой будет средняя арифметическая из двух смежных вариант. В интервальном вариационном ряду порядок нахождения медианы следующий: располагаем индивидуальные значения признака по ранжиру; определяем для данного ранжированного ряда накопленные частоты; по данным о накопленных частотах находим медианный интервал. Медиана делит численность ряда пополам, следовательно, она там, где накопительная частота составляет половину или больше половины всей суммы частот, а предыдущая (накопленная) частота меньше половины численности совокупности. Если предполагать, что внутри медианного интервала нарастание или убывание изучаемого признака происходит по прямой равномерно, то формула медианы в интервальном ряду распределения будет иметь следующий вид: где хме - нижняя граница медианного интервала; ime - величина медианного интервала; Σf/2 - полусумма частот ряда; Σfmе-1 - сумма накопительных частот, предшествующих медианному интервалу; fmе - частота медианного интервала. Квартили – это значения признака, которые делят ряд на 4 равные части. Различают нижний квартиль Q1, медиану Ме и верхний квартиль Q3. где xmin - минимальные границы квартильных интервалов; i - интервал ряда распределения ΣfQf-1; ΣfQ3-1 - суммы частот всех интервалов, предшествующих квартильным; fQ1; fQ3 - частоты квартильных интервалов Децили (D) – варианты, которые делят ранжированный ряд на 10 равных частей. Так, первый и второй децили могут быть вычислены по формулам: где xmin - минимальные границы децильных интервалов; i - интервал ряда распределения ΣfОf-1; ΣfО2-1 - суммы частот всех интервалов, предшествующих децильным; fD1; fD3 - частоты децильных интервалов 3.5. Понятие вариации признака, показатели вариации, дисперсия альтернативного признака. Упрощенный способ расчета дисперсии. Виды дисперсий в совокупности, разбитой на группы, правило сложения дисперсий Способность признака принимать различные значения называют вариацией признака. Для измерения вариации признака используют различные обобщающие показатели – абсолютные и относительные. Размах вариации – это разность максимального и минимального значений признака: R = хmax - хmin. Среднее линейное отклонение – это средняя из абсолютных значений отклонений признака от своей средней: Средняя из квадратов отклонений значений признака от своей средней, т.е. дисперсия: Дисперсия есть разность среднего квадрата и квадрата средней или - простая - взвешенная Дисперсия может быть определена методом условных моментов. Момент распределения – это средняя m отклонений значений признака от какой-либо величины А: если А = 0, то момент называется начальным; если А = , то моменты – центральными; если А = С, то моменты – условными. В зависимости от показателя степени К, в которую возведены отклонения (х – А)к, моменты называются моментами 1-го, 2-го и т.д. порядков. Расчет дисперсии методом условных моментов состоит в следующем: Выбор условного нуля С; Преобразование фактических значений признака х в упрощенные хґ путем отсчета от условного нуля С и уменьшения в d раз: Расчет 1-го условного момента: Расчет 2-го условного момента: Расчет 1-го порядка начального момента: Дисперсии Среднее квадратичное отклонение рассчитывается по данным о дисперсии  = 2 Относительные величины вариации Коэффициент осцилляции отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней Относительное линейное отклонение: Коэффициент вариации: Коэффициент асимметрии: Виды дисперсий и правило сложения дисперсий Общая дисперсия: где - общая средняя всей совокупности Межгрупповая дисперсия: где - средняя по отдельным группам Средняя внутри групповых дисперсий Общая дисперсия равна сумме из межгрупповой дисперсии и средней внутригрупповой дисперсии: Дисперсия альтернативного признака. Она равна произведению доли единиц, обладающих признаком и доли единиц, не обладающих им Тема 4. Ряды динамики 4.1. Понятие о рядах динамики, виды рядов динамики Ряды динамики – это последовательность упорядоченных во времени числовых показателей, характеризующих уровень развития изучаемого явления. Ряды динамики бывают: В зависимости от времени – моментные и интервальные ряды. От формы представления уровней – ряды абсолютных, относительных и средних величин. От расстояния между датами – полные и неполные хронологические ряды. От числа показателей – изолированные и комплексные ряды. 4.2.Производные показатели рядов динамики Показатели Базисный Цепной Абсолютный прирост уi – у0 уi – уi-1 Коэффициент роста (Кр) уi : у0 уi : уi-1 Темп роста (Тр) (уi : у0) · 100 (уi : уi-1) · 100 Коэффициент прироста (Кпр) Кр – 1; уi – у0 у0 Δбаз : у0 Кр – 1; уi – уi-1 уi-1 Δцеп : уi-1 4.3. Взаимосвязь цепных и базисных темпов роста Темп прироста (Тпр) Кпр · 100 : Тр - 100 Кпр · 100 : Тр - 100 Абсолютное значение 1-го процентного прироста (1%А) у0 : 100 уi-1 : 100; Δ : Тпр уi - уi-1 Тр - 100 Соотношения: у2/у1 · у3/у2 · у4/у3 · у5/у4 = у5/у1 у4/у1 : у3/у1 = у4/у3 4.4. Средние показатели ряда динамики Если ряд динамики интервальный и содержит все последовательные уровни, то средний уровень определяется как средняя арифметическая величина: Если ряд динамики моментный с одинаковыми промежутками времени между датами, то средняя хронологическая определяется как простая арифметическая: А если с разновеликими интервалами между датами, то как средняя арифметическая взвешенная по времени: где t - время, в течение которого уровень не менялся Средний абсолютный прирост: Средний темп роста: Средний темп прироста: 4.5. Измерение сезонности явлений. Индексы сезонности. Построение сезонной волны Метод простых средних: а) определяется средняя хронологическая для каждого месяца б) средняя хронологическая общая: Индекс сезонности: Метод сравнения фактического и сглаженного уровней а) метод скользящего среднего уровня: б) метод аналитического выравнивания: Колеблемость уровня ряда измеряется средним отклонением индекса сезонности iсез от 100%: Среднее квадратичное отклонение 4.6. Выравнивание рядов динамики Выравнивание рядов динамики производят одним из способов: а) Механическое выравнивание состоит в укрупнении интервала времени и расчете средней хронологической б) Аналитическое выравнивание – это описание тенденций с помощью подбора адекватной модели, представляющей математическую функцию зависимости среднего уровня от времени: По уравнению прямой: где a0 и а1 - это параметры уравнения, которые рассчитываются на основе фактических данных методом наименьших квадратов - это условное время принятое от какой-то базы. Выравнивание может выполняться по параболе 2-го порядка: а0, а1, а2 -параметры, определяемые с помощью системы уравнений: если Σt = 0, то Σt3 = 0 Если применяется показательная функция, то уравнения взаимосвязи следующая: , для решения такой модели переходят к логарифмам: Это уравнения прямой для логарифмов уравнений, поэтому выравнивание осуществляется аналогично прямой, но предварительно определяются логарифмы При выборе модели можно руководствоваться правилами , если абсолютные приросты колеблются около постоянной величины, то можно использовать модель прямой линии Δy = уi - уi-1; а0 - база; а1t - прирост. , если приросты приростов, т.е. ускорение колеблется около постоянной величины, то можно использовать параболу 2-го порядка: а0 - база; а1t - прирост; а2t2 - ускорение (Δу2 – Δу1) - ср. коэффициент роста, если ежегодные темпы роста примерно постоянны, то можно использовать модель показательной функции. 6. Индексы 6.1. Понятие индекса, индивидуальные и общие индексы, различие между