Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 50
|
Фрунзенский район
Технологическая гимназия №13 г. Минска
Авторы:
ученик 9”Д” класса
ул. Горецкого 69-263
д.т. 215-84-33
Ермолицкий Алексей Александрович
ученик 9”Д” класса
ул. Сухаревская 7-46
д.т. 215-62-23
Тема:
Составление и решение нестандартных уравнений графоаналитическим методом Научный руководитель:
учитель высшей категории
Минск 2003
Содержание
Теоретическая часть научной работы………..……………………3
Цель и задача научной работы……………………………………...4 Примеры решения нестандартных уравнений…………………...6
Трехуровневый тест на решение нестандартных уравнений…20
Ответы на тест……………………………………………………….21
Список литературы…………………………………………………22
Составление уравнения данной задачи есть основной прием, посредством которого математика применяется к естествознанию и технике. Без уравнения нет математики как средства познания природы.
П.С. Александров
Пусть X и Y - два произвольных численных множества. Элементы этих множеств будем обозначать х
и у
соответственно и будем называть переменными.
Определение. Числовой функцией, определенной на множестве Х
и принимающей значения во множестве
Y
, называется соответствие (правило, закон), которое каждому х
из множества Х
сопоставляет одно и только одно значение у
из множества
Y
.
Переменную х
называют независимой переменной
или аргументом
, а переменную у
– зависимой переменной
. Говорят также, что переменная у
является функцией от переменной х
. Значения зависимой переменной называют значениями функции
.
Введенное понятие числовой функции является частным случаем общего понятия функции как соответствия между элементами двух или более произвольных множеств.
Пусть Х
и
Y
– два произвольных множества.
Определение. Функцией, определенной на множестве Х
и принимающей значения во множестве
Y
, называется соответствие, соотносящее с каждым элементом множества Х
один и только один элемент из множества
Y
.
Задать функцию – это значит указать область ее определения и соответствие (правило), при помощи которого по данному значению независимой переменной находятся соответствующие ему значения функции.
Графический способ. пусть на координатной плоскости изображена некоторая линия АВ
, пересекаемая любой прямой, перпендикулярной к оси абсцисс, не более чем в одной точке. Каждому значению абсциссы х
поставим в соответствие значение ординаты у
точки К
этой линии. Следовательно, с помощью линии АВ
определена функция
y
=
f
(
x
)
, где х
и у
– координаты точки К
линии АВ
.
Часто самопишущие приборы на экране осциллографа, дисплея вычерчивают кривые, которые изображают графически функциональную зависимость. Например, в медицине электрокардиограф вычерчивает электрокардиограмму – кривую изменения электрических импульсов сердечной мышцы во времени.
Графическое задание удобно тем, что по графику функции можно установить общее впечатление о том, как протекает моделируемый процесс.
Возьмем на плоскости прямоугольную систему координат хОу
и рассмотрим функцию
y
=
f
(
x
)
, определенную на некотором числовом множестве Х. Придавая х
последовательно значения х1
, х2
, …, х
n
из множества Х, получим соответствующие значения у1
, у2
, …, у
n
. Отметим на плоскости точки с координатами (х1
; у1
), (х2
; у2
), …, (
xn
;
yn
).
Множество таких точек называют графиком
данной функции.
Определение. Графиком функции
y
=
f
(
x
) называется множество всех точек {(
x
,
f
(
x
) |
x
На практике для построения графика некоторых функций составляют таблицу значений функции для некоторых значений аргумента, затем наносят соответствующие точки на координатную плоскость и последовательно соединяют их линией. При этом предполагается, что точки достаточно точно показывают ход изменения функции.
Заметим, что так как функция
f
сопоставляет каждому
x
Не всякое множество точек координатной плоскости является графиком какой-либо функции. Например, множество точек окружности не может быть графиком функции, поскольку значению абсциссы внутри окружности, соответствует два значения ординаты.
В общем случае уравнение с одной переменой х
можно записать в виде:
f (x) = g (x)
где
f
(
x
) и
g
(
x
) – некоторые функции. Функция
f
(
x
) называется левой
частью
, а
g
(
x
) – правой частью
уравнения.
Определение. Корнем (решением) уравнения
f
(
x
) =
g
(
x
) называется такое число, при подстановке которого в обе части уравнения вместо х
получается верное числовое равенство.
Решить данное уравнение
– значит найти множество всех его корней (решений). Множество корней (решений) может быть пустым
, конечным
или бесконечным
.
На практике довольно часто оказывается полезным графический метод
решения уравнений. Он заключается в следующем: для решения уравнения
f
(
x
) = 0
строят график функции
y
=
f
(
x
)
и находят абсциссы точек пересечения графика с осью х
; эти абсциссы и являются корнями уравнения.
С графическим методом решения уравнения
f
(
x
) =
g
(
x
)
связан функциональный метод
решения уравнения, основанный на том, что если одна из функций
f
(
x
)
или
g
(
x
)
возрастает, а другая убывает, то уравнение
f
(
x
) =
g
(
x
)
либо не имеет корней, либо имеет единственный корень.
Стандартный способ решения уравнений и неравенств в отдельных случаях приводит к сложным и утомительным преобразованиям. Процесс может быть тогда упрощен и, если применять так называемый графоаналитический метод
.
x
2
-6
x
+6=2{
x
}
Ответ:
x
1
=4-2
Ö
2
x
2
=4-
Ö
10
Ö
2x=[x]+3
Ответ
:
3{x}=|0.5x+0.5|
Ответ:
x
1
=1/6
x
2
=1 1/3
x
3
=2.5
x
4
=3 2/3
x
5
=4 5/6
(
Ö
x)2
=[x]
x
Î
[0;+
¥
)
Ç
Z
=>
Ответ:
{0;
N
}
|
x
2
-6
x
+6|=-|(
x
-3)3
|+3
Ответ:
x
1
=2
x
2
=3
х3
=4
|
x
/2+
x
|=2
x
+
Ö
x
Ответ:
x
=1
√(5-
x
)√(5+
x
)=-
x
+5
Ответ:
x
1
=0
x
2
=5
|
x
2
+6|
x
|+2|-3=5
x
2
x2
-4x+5=√|x-2|+1
x
1
=1
x
2
=2
x
3
=3
-√(4-
x
2
)=|
x
|-2
Ответ:
x
1
=-2
x
2
=0
x
3
=2
при а=3 х=0
при а>3
Æ
при а<3 один корень
при а<0 Æy
2
=
Ö
-
x
+1
-x+|y|=1
Ответ:
(0;1)
1-
x
2
=
y
|
x
|+|
y
|=5
Ответ:
(-2;-3)
(2;-3)
|
x
+1|=1-
y
-2
y
=
x
2
y
+2
xy
-
y
2
Ответ:
(-2;2)
(-1;1)
(0;2)
I
ypo
вень
1.Корень уравнения х2
+4х=√х3
равен:
А) –2 Б) –1 В)0 Г) 1 Д) 2
2.Сумма корней уравнения
x
2
-
x
-3=3 равна:
А) 4 Б) 2 В) –4 Г) 0 Д) –2
3.Произведение корней уравнения –0.5х2
+3=х2
-3
А) 2 Б) 1 В)6 Г) -2 Д) –4
4.Корни уравнения 2√
x
=2
x
принадлежат промежутку:
А) [0;1] Б) [–1;1] В)(0;1] Г) [1;3) Д) (2;5)
5.Система уравнений х2
+у2
=2х имеет:
Ö
y
=|
x
|
А)0 решений Б)1 решение В)2 решения Г)3 решения Д)4 решения 6.Система уравнений
y
2
-|
x
|=0 не имеет решения:
|
y
+1|=|
x
+1|
А)(-4;-2) Б)(-1;-1) В)(0;0) Г)(4;-2) Д)(1;-1) II
ypo
вень
1.Больший корень уравнения 2/х+1=х³+2 равен:
А) -3 Б) 4 В) 2 Г) 1 Д) –1
2.Сумма квадратов корней уравнения|х²-3|=|х³|+1 равна:
А) 4 Б) 8 В) 2 Г) 3 Д) 10
3.Сумма корней уравнения –0.25х²+1=|х²-6|х|+8| равна:
А) 0 Б) –1 В) 5 Г) 16 Д) -5
4.Разность большего и меньшего корней уравнения
|√|х-2|+1|=2 равна:
А) 8 Б) 1.5 В) 4 Г) 0 Д) 2
5.Уравнение -
|
х-1
|
³+2=а+1 имеет один корень при а, равном:
А) 2 Б) 0 В)5 Г) 1 Д) –3
III
ypo
вень
1. Произведение корней уравнения |
x
-2|-1=[
x
] равно:
А) -12 Б) 12 В) -6 Г) -9 Д) 8
2. Корни уравнения 4{
x
}=2 принадлежат множеству:
А)
Z
Б)
N
+0.2 В)
Z
+0.5 Г)
R
Д)
D
3. Сумма модулей корней уравнения-(√(5-
x
)√(5+
x
))+2=-1
равна:
А) 4 Б) 8 В)7 Г) 5 Д) 9
4. Корни уравнения
x
4
=|(-|
x
|+1)2
-1| принадлежат множеству:
А)(-1;1) Б) [-1;1] В){4;11} Г){-1;0;1} Д) (0;2]
5.Значение а, при котором уравнение 2/
Ö
х=
|
а-
|
х
||
имеет три корня, относится к промежутку:
А) (3;+
¥
) Б) [–1;12] В)(-
¥
;1) Г) [1;3) Д) (-
¥
;+
¥
)
ОТВЕТЫ:
☻☻☻☻☻☻☻ ☻☻☻☻☻☻☻ | |||||||||||||||||||||||||||||||||