Построение линии пересечения 2-х конусов и цилиндра Министерство общего и профессионального образования РФ Брянский Государственный Технический Университет кафедра «Высшая математика» Расчетно-графическая работа №1 Вариант №103 Студент группы 97ДПМ-1 Копачев Д.В. Преподаватель Салихов В.Х. Брянск 1997 1. Описание изделия На рисунке 1 изображено в трех проекциях изделие - поверхность, состоящая из одного куска цилиндрической и двух кусков конической поверхностей (КоКоЦ). Дополнительные сведения: раствор конуса b = 300 радиус цилиндра R = 5 см расстояние от оси конуса до оси цилиндра l =2 см расстояние между осью цилиндра и вершиной каждого из конусов L = 6 см 2. Выбор системы координат В качестве начала координат возьмем точку пересечения осей конусов. Ось абсцисс пустим вдоль оси первого конуса, ось ординат - вдоль оси второго конуса, ось аппликат - параллельно оси цилиндра, причем так, чтобы система координат была правой. Расстояние d от вершин конусов до начала координат находим с помощью Теоремы Пифагора:2 + l = + 2 = 7.7 (см) таким образом ось цилиндра описывается следующим уравнением: Вершина первого конуса имеет следующие координаты - (-7.7; 0; 0), вершина второго конуса - (0; -7.7; 0). 3. Аналитическое описание несущих поверхностей Уравнение цилиндрической поверхности: (х +2)2 +(y+2)2 = R2 ( I ) Параметризация цилиндрической поверхности: ( II) Определение положения шва на цилиндрической детали: потребуем, чтобы параметр uÎ . При этих значениях u шов наиболее удален от конусов и описывается двойным уравнением x = y = - l -. Уравнение первой конической поверхности: (x + 7.7)2 tg2 b = y 2 + z2 ( III) Параметризация первой конической поверхности: ( IV) Определение положения шва на первой конической детали: потребуем, чтобы jÎ [- p sin b ; p sin b ] Тогда шов будет наиболее удален от второго конуса. Уравнение второй конической поверхности: (y+7.7)2 tg2 b=x2 +z2 (V) Параметризация второй конической поверхности аналогично первой ( IV ) : (VI) (Также можно обойтись и без нее за счет использования симметрии). 4. Описание линии пересечения цилиндра и первого конуса на выкройке цилиндра Подставим параметризацию цилиндра (II) в уравнение первого конуса (III ) , получаем уравнение: (-2+Rcos +7.7)2 tg2 b=(-2+Rsin )2 +v2 , которое в дальнейшем преобразуется к виду: v = v(u) = ± (VII) Знак «+ » соответствует «верхней» половине линий отреза, Z ³ 0 , знак «- » - «нижней» половине этой линии. При некоторых значениях параметра u подкоренное выражение отрицательно, что соответствует отсутствию пересечения образующей цилиндра с первым конусом. 5. Описание линии пересечения цилиндра и второго конуса на выкройке цилиндра Линию пересечения цилиндра с первым конусом следует строить только при u . Отражая эту линию симметрично относительно прямой u = , получаем линию пересечения цилиндра со вторым конусом. 6. Описание линии пересечения цилиндра и первого конуса на выкройке конуса Подставляя параметризацию первого конуса(IV) в уравнение цилиндра( I) , получаемуравнение: (-7.7+rcosb+2)2 +(rsinbcos +2)2 = R2 преобразуем: (rcosb-5.7)2 +(rsinbcos +2)2 = R2 r2 cos2 b-2*5.7*rcosb+32.49+r2 sin2 bcos2 +4rsinbcos +4-R2 = 0 r2 (cos2b+sin2 bcos2 )+2r(-5.7cosb+2 sinbcos )+36.49-R2 = 0 Отсюда r=r(j)= ( IX) a(j)=1- sin2 bsin2 ; b(j)=2(2sinbcos -5.7cosb); c=36.49-R2 . Линия пересечения симметрична относительно луча j=0; ветвь, соответствующая знаку «- » в формуле(IX) , посторонняя. 7. Описание линии пересечения конусов на выкройке первого конуса Подставляя параметризацию первого конуса(IX) , в уравнение второго конуса(V) , получаем уравнение: (rsinbcos +7.7)2 tg2 b=(-7.7+rcosb)2+r2 sin2 bsin2 квадратное уравнениеотносительно переменной r. После упрощения получим: r2 (sin2 bcos2 tg2 b- cos2 b-sin2 bsin2 )+r(2d(sinbcos tg2 b+cosb))+d2 (tg2 b-1)=0 r= , (X) где а = sin2 bcos2 tg2 b- cos2 b- sin2 bsin2 ; b = d(sinbcos tg2 b+cosb); c = d2 (tg2 b-1). 8. Выкройка второго конуса Она идентична выкройке первого конуса. 9. Расчет выкройки цилиндрической детали Подставляем в формулу( VII) конкретные числовые данные и рассчитываем несколькоточек (u, v). Результаты отчета заносим втаблицу 1. Строим выкройку цилиндрической детали, учитывая, что линию пересечения цилиндра с первым конусом следует строить симметрично относительно прямой u£ ; отражая эту линию пересечения относительно прямой u= , получаем линию пересечения цилиндра со вторым конусом. Полувысоту цилиндра примем равной 8 см. 10. Расчет выкройки конических деталей Произведем расчет по формулам (j; r) по формулам( IX, X) . Результаты расчетов заносимвтаблицы 2 и 3. Возьмем сектор радиуса r0 =26см., и, учитывая симметричность относительно луча j=0, построим выкройку конической детали. 11. Изготовление выкроек деталей, сборка изделия Изготовим выкройки деталей с припусками на соединение их в изделие, учитывая предыдущее описание. Вырежем и склеим.